二階線型にかいせんけいsecond-order linear定数係数ていすうけいすうconstant coefficient方程式ほうていしき-基本演習きほんえんしゅう

date2026-07-16document_iddoc_9b0e7b344f85d5d5f0105a99ec3db525description二階線型定数係数微分方程式を特性方程式で解き、根の重なりと複素根を確認する基本演習。prerequisites二階線型定数係数微分方程式の基本 / 複素数の基本type問題演習content_typeexercisestatusactive

mathdifferential-equationsexercisesecond-orderconstant-coefficient

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1演習えんしゅうの方針ほうしん

定数係数ていすうけいすうconstant coefficientの二階線型にかいせんけいsecond-order linearでは、 $e^{r x}$ を入いれて特性方程式とくせいほうていしきcharacteristic equationを作つくる。根こんが異ことなるか、重かさなるか、複素根ふくそこんcomplex rootかで解かいの形かたちが変かわる。

2問題もんだい 1

次つぎの微分方程式びぶんほうていしきdifferential equationを解とけ。

y^{'}' - 5 y^{'} + 6 y = 0

2.1解答例かいとうれい

○

y = C_{1} e^{2 x} + C_{2} e^{3 x}

2.2解説かいせつ

特性方程式とくせいほうていしきcharacteristic equationは $r^{2} - 5 r + 6 = 0$ である。 $r = 2, 3$ は異ことなる実根じっこんなので、 $e^{2 x}, e^{3 x}$ が独立どくりつな基本解きほんかいになる。

3問題もんだい 2

重解じゅうかいが出でる場合ばあいを解とけ。

y^{'}' - 4 y^{'} + 4 y = 0

3.1解答例かいとうれい

○

y = (C_{1} + C_{2} x) e^{2 x}

3.2解説かいせつ

特性方程式とくせいほうていしきcharacteristic equationは $(r - 2)^{2} = 0$ である。 $e^{2 x}$ だけでは二次元にじげんの解空間かいくうかんsolution spaceを埋うめられないので、 $x e^{2 x}$ を第だい2の基本解きほんかいとして加くわえる。

4問題もんだい 3

次つぎの式しきを実数値じっすうちの形かたちで解とけ。

y^{'}' + 4 y = 0

4.1解答例かいとうれい

○

y = C_{1} \cos 2 x + C_{2} \sin 2 x

4.2解説かいせつ

特性方程式とくせいほうていしきcharacteristic equationは $r^{2} + 4 = 0$ なので $r = \pm 2 i$ である。複素指数関数ふくそしすうかんすうcomplex exponentialから実部じつぶと虚部きょぶを取とると、 $\cos 2 x$ と $\sin 2 x$ が得えられる。

5講義こうぎリンク

data/lecture/math/differential-equations/second-order-linear-constant-coefficient-odes.lecture.n.md data/lecture/math/differential-equations/complex-roots-and-forced-oscillations.lecture.n.md