複素根ふくそこんと強制振動きょうせいしんどう

date2026-07-16document_iddoc_c7ae4eca84321aca843a5775decb483adescription二階線型定数係数方程式の複素根と周期外力への応答を、自由振動・過渡応答・定常応答・共振の区別に基づいて説明する。prerequisites二階線型定数係数微分方程式の拡張理論 / 複素数と複素平面type講義content_typelecturestatusactive

mathdifferential-equationsoscillationlecture

1導入どうにゅう

この講義こうぎでは、特性方程式とくせいほうていしきの複素根ふくそこんから自由振動じゆうしんどうを構成こうせいし、周期外力しゅうきがいりょくに対たいする過渡応答かとおうとうと定常応答ていじょうおうとうを区別くべつする。さらに、減衰げんすいの有無うむによって共振きょうしんの意味いみが相違そういすることを、振幅しんぷくの厳密式げんみつしきから説明せつめいする。

2標準形ひょうじゅんけいと用語ようご

質点しつてんばね系けいの自由振動じゆうしんどうは

m y^{'}' + c y^{'} + k y = 0

で表あらわされる。ここで、 $y (t)$ は平衡位置へいこういちからの変位へんい、 $m > 0$ は質量しつりょう、 $c [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"ge\")")] 0$ は粘性減衰係数ねんせいげんすいけいすう、 $k > 0$ はばね定数ていすうである。周期外力しゅうきがいりょくを加くわえた強制振動きょうせいしんどうは

m y^{'}' + c y^{'} + k y = F_{0} \cos ω t, F_{0} > 0

で表あらわされる。 $F_{0} > 0$ は外力振幅がいりょくしんぷく、 $ω [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"ge\")")] 0$ は外力がいりょくの角周波数かくしゅうはすうである。初期条件しょきじょうけんによって定さだまる同次解どうじかいを自由応答じゆうおうとうhomogeneous free responseと呼よぶ。この自由応答じゆうおうとうが減衰げんすいする場合ばあいには、過渡応答かとおうとうtransient responseとも呼よぶ。外力がいりょくと同おなじ角周波数かくしゅうはすうで持続じぞくする一ひとつの特殊解とくしゅかいを定常応答ていじょうおうとうsteady-state responseと呼よぶ。

3複素根ふくそこんと自由振動じゆうしんどう

特性根とくせいこんが $α \pm i β$ 、 $β > 0$ なら、実数値じっすうちの同次解どうじかいは

y_{h} = e^{α t} (C_{1} \cos β t + C_{2} \sin β t)

である。 $α < 0$ なら振幅しんぷくは指数的しすうてきに減衰げんすいし、 $α = 0$ なら減衰げんすいしない周期運動しゅうきうんどうとなる。 $β$ は自由振動じゆうしんどうの角周波数かくしゅうはすうであり、周期しゅうきは $2 π / β$ である。

質点しつてんばね系けいで $0 < c < 2 \sqrt{m k}$ の場合ばあい、特性根とくせいこんは

- \frac{c}{2 m} \pm i ω_{d}, ω_{d} = \sqrt{\frac{k}{m} - \frac{c^{2}}{4 m^{2}}}

である。 $ω_{n} = \sqrt{k / m}$ を無減衰固有角周波数むげんすいこゆうかくしゅうはすうundamped natural angular frequency、 $ω_{d}$ を減衰固有角周波数げんすいこゆうかくしゅうはすうdamped natural angular frequencyと呼よぶ。両者りょうしゃは一般いっぱんに一致いっちしない。

4定常応答ていじょうおうとうの振幅しんぷく

$c > 0$ とし、定常応答ていじょうおうとうを

y_{s} = A \cos ω t + B \sin ω t

と仮定かていする。係数けいすうを比較ひかくすると

(\begin{matrix} k - m ω^{2} & c ω \\ - c ω & k - m ω^{2} \end{matrix}) (\begin{matrix} A \\ B \end{matrix}) = (\begin{matrix} F_{0} \\ 0 \end{matrix})

を得える。したがって

A = \frac{F_{0} (k - m ω^{2})}{(k - m ω^{2})^{2} + (c ω)^{2}}, B = \frac{F_{0} c ω}{(k - m ω^{2})^{2} + (c ω)^{2}} .

定常応答ていじょうおうとうを $y_{s} = M (ω) \cos (ω t - δ)$ と表あらわすと、その変位振幅へんいしんぷくは厳密げんみつに

M (ω) = \sqrt{A^{2} + B^{2}} = \frac{F_{0}}{\sqrt{(k - m ω^{2})^{2} + (c ω)^{2}}}

である。これは単たんなる比例関係ひれいかんけいではなく、外力振幅がいりょくしんぷくを含ふくむ等式とうしきである。位相差いそうさは、象限しょうげんを保持ほじする関数かんすうを用もちいて

δ = atan [PARSE ERROR: Undefined("RBrace")] (c ω, k - m ω^{2})

と表あらわせる。一般解いっぱんかいは $y = y_{h} + y_{s}$ であり、 $c > 0$ の場合ばあいには $y_{h}$ が減衰げんすいするため、長時間後ちょうじかんごには定常応答ていじょうおうとうが支配的しはいてきとなる。

5減衰系げんすいけいの共振周波数きょうしんしゅうはすう

変位振幅へんいしんぷく $M (ω)$ の最大化さいだいかは、分母ぶんぼの平方へいほう

D (ω) = (k - m ω^{2})^{2} + c^{2} ω^{2}

の最小化さいしょうかと同値どうちである。 $ω > 0$ における停留条件ていりゅうじょうけんは

D^{'} (ω) = 2 ω (2 m^{2} ω^{2} + c^{2} - 2 m k) = 0

である。したがって、 $c^{2} < 2 m k$ の場合ばあいに限かぎり、正せいの変位共振角周波数へんいきょうしんかくしゅうはすう

ω_{r} = \sqrt{\frac{k}{m} - \frac{c^{2}}{2 m^{2}}}

が存在そんざいする。これは一般いっぱんに $ω_{n} = \sqrt{k / m}$ とも $ω_{d}$ とも一致いっちしない。 $c^{2} [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"ge\")")] 2 m k$ なら、変位振幅へんいしんぷくは $ω = 0$ から単調たんちょうに減少げんしょうし、正せいの共振峰きょうしんほうを持もたない。なお、速度振幅そくどしんぷくや加速度振幅かそくどしんぷくを最大化さいだいかする周波数しゅうはすうは変位振幅へんいしんぷくの場合ばあいと相違そういするため、共振周波数きょうしんしゅうはすうを述のべる際さいには対象量たいしょうりょうを明示めいじする必要ひつようがある。

6無減衰共振むげんすいきょうしんの境界きょうかい

$c = 0$ の場合ばあい、 $ω \neq ω_{n}$ なら定常特殊解ていじょうとくしゅかい

y_{s} = \frac{F_{0}}{k - m ω^{2}} \cos ω t

が存在そんざいする。一方いっぽう、 $ω = ω_{n}$ では分母ぶんぼが 0 となり、外力項がいりょくこうが同次解どうじかいと重複ちょうふくする。この境界きょうかいでは有界ゆうかいな周期定常応答しゅうきていじょうおうとうは存在そんざいせず、一ひとつの特殊解とくしゅかいは

y_{p} = \frac{F_{0}}{2 m ω_{n}} t \sin ω_{n} t

となる。その包絡振幅ほうらくしんぷくは時間じかんに比例ひれいして増加ぞうかする。これは無減衰線型むげんすいせんけいモデルにおける共振きょうしんであり、 $c > 0$ の有限ゆうげんな共振峰きょうしんほうとは区別くべつしなければならない。

7具体例ぐたいれい

$y^{'}' + 4 y = 0$ の特性根とくせいこんは $\pm 2 i$ であり、

y_{h} = C_{1} \cos 2 t + C_{2} \sin 2 t

である。これに共振外力きょうしんがいりょくを加くわえた

y^{'}' + 4 y = \cos 2 t

では、 $m = 1$ 、 $F_{0} = 1$ 、 $ω_{n} = 2$ である。上うえの無減衰共振式むげんすいきょうしんしきから

y_{p} = \frac{1}{4} t \sin 2 t

を得える。実際じっさい、 $y_{p^{'}}' + 4 y_{p} = \cos 2 t$ である。

8単位たんいの整合性せいごうせい

変位へんいを $[y] = m$ 、時間じかんを $[t] = s$ とすれば、

[m] = k g, [c] = N s / m, [k] = N / m, [F_{0}] = N, [ω] = s^{- 1} .

したがって $m y^{'}'$ 、 $c y^{'}$ 、 $k y$ 、 $F_{0} \cos ω t$ はすべて力ちからの単位たんい $N$ を持もつ。また、振幅式しんぷくしきの分母ぶんぼは $N / m$ 、分子ぶんしは $N$ であるため、 $[M] = m$ となる。さらに $c^{2} / (m^{2})$ と $k / m$ はともに $s^{- 2}$ であり、 $ω_{d}$ と $ω_{r}$ の式しきも次元的じげんてきに整合せいごうする。

9適用範囲てきようはんいと限界げんかい

以上いじょうの振幅式しんぷくしきと共振条件きょうしんじょうけんは、線型せんけい・定数係数ていすうけいすう・正弦外力せいげんがいりょくのモデルを前提ぜんていとする。非線型振動ひせんけいしんどうでは周波数しゅうはすうが振幅しんぷくに依存いぞんする場合ばあいや、複数ふくすうの安定周期軌道あんていしゅうききどうが生しょうじる場合ばあいがある。現実げんじつの系けいでは減衰げんすい、非線型性ひせんけいせい、材料限界ざいりょうげんかい、外力がいりょくの有限持続時間ゆうげんじぞくじかんが作用さようするため、無減衰共振むげんすいきょうしんにおける時間じかんに比例ひれいする非有界ひゆうかいな増大ぞうだいは、理想化りそうかしたモデルの結論けつろんである。

10前まえの講義こうぎ

data/lecture/math/differential-equations/extensions-of-second-order-linear-odes.lecture.n.md

11次つぎの講義こうぎ

data/lecture/math/differential-equations/nonhomogeneous-equations-and-undetermined-coefficients.lecture.n.md

12演習えんしゅう

data/exercise/math/differential-equations/second-order-linear-constant-coefficient-odes.exercise.n.md data/exercise/math/differential-equations/second-order-linear-odes.exercise.n.md

Complex Roots and Forced Oscillations

1Introduction

This lecture constructs free oscillations from complex characteristic roots and distinguishes transient from steady-state responses to periodic forcing. It then derives from the exact amplitude formula the different meanings of resonance in damped and undamped systems.

2Standard Form and Terminology

The free motion of a mass--spring system is governed by

m y^{'}' + c y^{'} + k y = 0,

where $y (t)$ is displacement from equilibrium, $m > 0$ is mass, $c [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"ge\")")] 0$ is the viscous damping coefficient, and $k > 0$ is the spring constant. With periodic forcing, the equation becomes

m y^{'}' + c y^{'} + k y = F_{0} \cos ω t, F_{0} > 0,

where $F_{0} > 0$ is the forcing amplitude and $ω [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"ge\")")] 0$ is the forcing angular frequency. The homogeneous solution determined by the initial conditions is the {homogeneous free response}. When this free response decays, it is also called the {transient response}. A particular solution that persists at the forcing frequency is the {steady-state response}.

3Complex Roots and Free Oscillation

If the characteristic roots are $α \pm i β$ with $β > 0$ , the real-valued homogeneous solution is

y_{h} = e^{α t} (C_{1} \cos β t + C_{2} \sin β t) .

The amplitude decays exponentially when $α < 0$ and remains periodic without decay when $α = 0$ . The angular frequency of the free oscillation is $β$ , and its period is $2 π / β$ .

For a mass--spring system with $0 < c < 2 \sqrt{m k}$ , the characteristic roots are

- \frac{c}{2 m} \pm i ω_{d}, ω_{d} = \sqrt{\frac{k}{m} - \frac{c^{2}}{4 m^{2}}} .

The quantity $ω_{n} = \sqrt{k / m}$ is the {undamped natural angular frequency}, and $ω_{d}$ is the {damped natural angular frequency}. They are not equal in general.

4Amplitude of the Steady-State Response

Assume $c > 0$ and set

y_{s} = A \cos ω t + B \sin ω t .

Comparison of coefficients gives

(\begin{matrix} k - m ω^{2} & c ω \\ - c ω & k - m ω^{2} \end{matrix}) (\begin{matrix} A \\ B \end{matrix}) = (\begin{matrix} F_{0} \\ 0 \end{matrix}),

and hence

A = \frac{F_{0} (k - m ω^{2})}{(k - m ω^{2})^{2} + (c ω)^{2}}, B = \frac{F_{0} c ω}{(k - m ω^{2})^{2} + (c ω)^{2}} .

Writing $y_{s} = M (ω) \cos (ω t - δ)$ gives the exact displacement amplitude

M (ω) = \sqrt{A^{2} + B^{2}} = \frac{F_{0}}{\sqrt{(k - m ω^{2})^{2} + (c ω)^{2}}} .

This is an equality containing the forcing amplitude, not merely a proportionality. A quadrant-sensitive expression for the phase lag is

δ = atan [PARSE ERROR: Undefined("RBrace")] (c ω, k - m ω^{2}) .

The general solution is $y = y_{h} + y_{s}$ . When $c > 0$ , the transient response $y_{h}$ decays, so the steady-state response dominates at long times.

5Resonance Frequency in a Damped System

Maximizing the displacement amplitude is equivalent to minimizing

D (ω) = (k - m ω^{2})^{2} + c^{2} ω^{2.}

For $ω > 0$ , the stationary condition is

D^{'} (ω) = 2 ω (2 m^{2} ω^{2} + c^{2} - 2 m k) = 0.

Consequently, a positive displacement-resonance angular frequency exists only when $c^{2} < 2 m k$ , and it is

ω_{r} = \sqrt{\frac{k}{m} - \frac{c^{2}}{2 m^{2}}} .

In general, this frequency equals neither $ω_{n} = \sqrt{k / m}$ nor $ω_{d}$ . If $c^{2} [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"ge\")")] 2 m k$ , the displacement amplitude decreases monotonically from $ω = 0$ and has no positive-frequency resonance peak. Frequencies maximizing velocity or acceleration amplitudes differ from the displacement-resonance frequency, so the response quantity must be specified whenever a resonance frequency is quoted.

6Boundary of Undamped Resonance

When $c = 0$ and $ω \neq ω_{n}$ , a steady-state particular solution is

y_{s} = \frac{F_{0}}{k - m ω^{2}} \cos ω t .

At $ω = ω_{n}$ , the denominator vanishes because the forcing overlaps the homogeneous solution. No bounded periodic steady-state response exists at this boundary. Instead, one particular solution is

y_{p} = \frac{F_{0}}{2 m ω_{n}} t \sin ω_{n} t,

whose envelope grows linearly in time. This undamped resonance of the ideal linear model must be distinguished from the finite resonance peak obtained when $c > 0$ .

7Example

For $y^{'}' + 4 y = 0$ , the characteristic roots are $\pm 2 i$ and

y_{h} = C_{1} \cos 2 t + C_{2} \sin 2 t .

For the resonantly forced equation

y^{'}' + 4 y = \cos 2 t,

we have $m = 1$ , $F_{0} = 1$ , and $ω_{n} = 2$ . The undamped-resonance formula gives

y_{p} = \frac{1}{4} t \sin 2 t,

and direct substitution confirms that $y_{p^{'}}' + 4 y_{p} = \cos 2 t$ .

8Dimensional Consistency

If displacement and time have units $[y] = m$ and $[t] = s$ , then

[m] = k g, [c] = N s / m, [k] = N / m, [F_{0}] = N, [ω] = s^{- 1} .

Thus, $m y^{'}'$ , $c y^{'}$ , $k y$ , and $F_{0} \cos ω t$ all have units of force, $N$ . The denominator in the amplitude formula has units $N / m$ and the numerator has units $N$ , so $[M] = m$ . Moreover, both $c^{2} / m^{2}$ and $k / m$ have units $s^{- 2}$ , confirming the dimensional consistency of the formulas for $ω_{d}$ and $ω_{r}$ .

9Scope and Limitations

The amplitude formula and resonance conditions above assume a linear constant-coefficient model with sinusoidal forcing. In nonlinear oscillations, frequency may depend on amplitude and multiple stable periodic orbits may occur. Real systems also involve damping, nonlinearities, material limits, and forcing of finite duration. The unbounded linear growth of undamped resonance is therefore a conclusion of an idealized model.

10Previous Lecture

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11Next Lecture

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12Exercises

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