アフィン空間くうかんと条件決定じょうけんけってい

date2026-07-07document_iddoc_432a7005dfd4e2433b9671a4523b069adescription線型作用素方程式の解集合をアフィン空間として説明し、任意定数が条件からできる正則な行列によって一意に決まる理由を証明する。prerequisites線型作用素方程式 / ベクトル空間 / 連立一次方程式type講義content_typelecturestatusactive

mathlinear-operatoraffine-spaceboundary-conditionslecture

1導入どうにゅう

このページの目的もくてきは、非同次方程式ひどうじほうていしきの解かい集合しゅうごう

x_{p} + \ker L

を、アフィン空間くうかんとして丁寧ていねいに読よむことである。

結論けつろんを先さきに言いうと、一般解いっぱんかいに $n$ 個この任意定数にんいていすうが現あらわれるのは、核かくが $n$ 次元じげんだからである。しかし、 $n$ 個この条件じょうけんを書かけば自動的じどうてきに決きまるわけではない。条件じょうけんを代入だいにゅうしてできる連立一次方程式れんりついちじほうていしきの係数行列けいすうぎょうれつが正則せいそくであるときにだけ、任意定数にんいていすうは一意いちいに決きまる。

ただし、ここでいう独立どくりつな条件じょうけんとは、言葉ことばの雰囲気ふんいきではない。任意定数にんいていすうに関かんする連立一次方程式れんりついちじほうていしきの係数行列けいすうぎょうれつが正則せいそくである、という意味いみである。

なぜアフィン空間くうかんという言葉ことばを持もち出だすのか。理由りゆうは、非同次方程式ひどうじほうていしきの解かいを 2 つ比くらべると、差さは必かならず同次方程式どうじほうていしきの解かいになるからである。解かいそのものは足たしても解かいにならないが、解かいどうしの差さは核かくに入はいる。この観察かんさつを形かたちにすると、「1 つの特殊解とくしゅかいを基準点きじゅんてんにして、核かくの方向ほうこうへ動うごかす」という図ずになる。この図ずがアフィン空間くうかんである。

条件じょうけんについても同おなじである。一般解いっぱんかいに任意定数にんいていすうが残のこっているとき、条件じょうけんを代入だいにゅうすると、その任意定数にんいていすうについての方程式ほうていしきが出でる。条件じょうけんが独立どくりつなら、違ちがう方向ほうこうの自由度じゆうどを別々べつべつに止とめられる。ここでの本質ほんしつは、条件じょうけんの本数ほんすうではなく、条件行列じょうけんぎょうれつが逆行列ぎゃくぎょうれつを持もつことである。

data/lecture/math/linear-operator/linear-operator-equation-basics.lecture.n.md

2定義ていぎ：アフィン空間くうかん

$V$ をベクトル空間くうかん、 $U$ を $V$ の部分空間ぶぶんくうかん、 $x_{0} \in V$ とする。このとき

x_{0} + U = {x_{0} + u ∣ u \in U}

を、 $U$ を方向ほうこうにもつアフィン空間くうかんという。

ここで $x_{0}$ は基準点きじゅんてんであり、 $U$ は動うごける方向ほうこうの集合しゅうごうである。ベクトル空間くうかんは $0$ を含ふくむが、アフィン空間くうかんは一般いっぱんには $0$ を含ふくまない。

たとえば、 $R^{2}$ の中なかの

{(1, t) ∣ t \in R}

は縦方向たてほうこうに伸のびる直線ちょくせんである。この直線ちょくせんは原点げんてんを通とおらないので、ベクトル空間くうかんではない。しかし、 $(1, 0)$ に部分空間ぶぶんくうかん ${(0, t) ∣ t \in R}$ を足たしたものなので、アフィン空間くうかんである。

3命題めいだい 1：アフィン空間くうかんでは点てんの差さが方向ほうこうになる

3.1主張しゅちょう

$A = x_{0} + U$ とする。 $x, y \in A$ なら

x - y \in U

である。逆ぎゃくに、 $x \in A$ で $u \in U$ なら $x + u \in A$ である。

3.2証明しょうめい

$x, y \in A$ だから、ある $u, v \in U$ が存在そんざいして

x = x_{0} + u, y = x_{0} + v

と書かける。したがって

x - y = (x_{0} + u) - (x_{0} + v) = u - v

である。 $U$ は部分空間ぶぶんくうかんなので $u - v \in U$ である。よって $x - y \in U$ である。

逆ぎゃくに、 $x \in A$ なら $x = x_{0} + v$ と書かける。 $u \in U$ なら

x + u = x_{0} + (v + u)

であり、 $v + u \in U$ だから $x + u \in A$ である。□

この命題めいだいの意味いみは、アフィン空間くうかんでは点てんそのものではなく、点てんどうしの差さがベクトル空間くうかんの方向ほうこうとして現あらわれる、ということである。

4命題めいだい 2：基準点きじゅんてんの選えらび方かたは本質ほんしつではない

4.1主張しゅちょう

$A = x_{0} + U$ とし、 $x_{1} \in A$ とする。このとき

A = x_{1} + U

である。

4.2証明しょうめい

$x_{1} \in A$ だから、ある $u_{1} \in U$ が存在そんざいして

x_{1} = x_{0} + u_{1}

と書かける。

まず $z \in x_{0} + U$ とする。すると $z = x_{0} + u$ と書かける。ここで

z = x_{0} + u = x_{1} + (u - u_{1})

であり、 $u - u_{1} \in U$ だから $z \in x_{1} + U$ である。よって $x_{0} + U \subset x_{1} + U$ である。

逆ぎゃくに、 $z \in x_{1} + U$ とする。すると $z = x_{1} + v$ と書かける。 $x_{1} = x_{0} + u_{1}$ なので

z = x_{0} + (u_{1} + v)

であり、 $u_{1} + v \in U$ だから $z \in x_{0} + U$ である。よって $x_{1} + U \subset x_{0} + U$ である。

したがって $x_{0} + U = x_{1} + U$ である。□

これは微分方程式びぶんほうていしきで「特殊解とくしゅかいは 1 個こ見みつければよい」と言いう理由りゆうである。特殊解とくしゅかいを別べつのものに替かえても、そこに同次解どうじかいを足たした全体ぜんたいは変かわらない。

5定理ていり 1：線型作用素方程式せんけいさようそほうていしきの解かい集合しゅうごうはアフィン空間くうかんである

5.1主張しゅちょう

$L : V \to W$ を線型作用素せんけいさようそとし、 $L x = y$ が解かい $x_{p}$ を持もつとする。このとき解かい集合しゅうごうは

x_{p} + \ker L

であり、 $\ker L$ を方向ほうこうにもつアフィン空間くうかんである。

5.2証明しょうめい

$h \in \ker L$ なら

L (x_{p} + h) = L x_{p} + L h = y + 0 = y

なので $x_{p} + h$ は解かいである。

逆ぎゃくに、 $x$ が $L x = y$ の解かいなら

L (x - x_{p}) = L x - L x_{p} = y - y = 0

なので $x - x_{p} \in \ker L$ である。したがって、ある $h \in \ker L$ によって

x = x_{p} + h

と書かける。よって解かい集合しゅうごうは $x_{p} + \ker L$ である。これは定義ていぎよりアフィン空間くうかんである。□

6任意定数にんいていすうはどこから来くるか

$\ker L$ が $n$ 次元じげんで、基底きていが

h_{1}, [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"dots\")")], h_{n}

であるとする。このとき、すべての同次解どうじかい $h \in \ker L$ は

h = c_{1} h_{1} + \dots + c_{n} h_{n}

と一意いちいに書かける。したがって、非同次方程式ひどうじほうていしき $L x = y$ の一般解いっぱんかいは

x = x_{p} + c_{1} h_{1} + \dots + c_{n} h_{n}

である。

ここで $c_{1}, [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"dots\")")], c_{n}$ が $n$ 個この任意定数にんいていすうである。任意定数にんいていすうは計算けいさんの副産物ふくさんぶつではない。 $\ker L$ の次元じげんを座標ざひょうで表あらわしたものである。

7定理ていり 2：条件行列じょうけんぎょうれつが正則せいそくなら任意定数にんいていすうは一意いちいに決きまる

7.1主張しゅちょう

一般解いっぱんかいが

x = x_{p} + c_{1} h_{1} + \dots + c_{n} h_{n}

と書かけているとする。 $B_{1}, [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"dots\")")], B_{n} : V \to K$ を線型写像せんけいしゃぞうとし、条件じょうけん

B_{i} (x) = β_{i} (i = 1, [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"dots\")")], n)

を課かす。

行列ぎょうれつ $A = (a_{i j})$ を

a_{i j} = B_{i} (h_{j})

で定義ていぎする。この $A$ が正則せいそくなら、条件じょうけんを満みたす任意定数にんいていすう $c_{1}, [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"dots\")")], c_{n}$ は一意いちいに決きまる。

このとき、 $B_{1}, [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"dots\")")], B_{n}$ は $h_{1}, [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"dots\")")], h_{n}$ の方向ほうこうを区別くべつできる独立どくりつな条件じょうけんである、という。

7.2証明しょうめい

一般解いっぱんかいを条件じょうけんに代入だいにゅうする。 $B_{i}$ は線型せんけいなので

B_{i} (x) = B_{i} (x_{p}) + c_{1} B_{i} (h_{1}) + \dots + c_{n} B_{i} (h_{n})

である。したがって条件じょうけん $B_{i} (x) = β_{i}$ は

c_{1} B_{i} (h_{1}) + \dots + c_{n} B_{i} (h_{n}) = β_{i} - B_{i} (x_{p})

という任意定数にんいていすうについての連立一次方程式れんりついちじほうていしきになる。

右辺うへんを

b_{i} = β_{i} - B_{i} (x_{p})

と置おけば、これは

A (\begin{matrix} c_{1} \\ ⋮ \\ c_{n} \end{matrix}) = (\begin{matrix} b_{1} \\ ⋮ \\ b_{n} \end{matrix})

である。 $A$ が正則せいそくなら逆行列ぎゃくぎょうれつ $A^{- 1}$ が存在そんざいするので、

(\begin{matrix} c_{1} \\ ⋮ \\ c_{n} \end{matrix}) = A^{- 1} (\begin{matrix} b_{1} \\ ⋮ \\ b_{n} \end{matrix})

と一意いちいに決きまる。□

8条件じょうけんが独立どくりつでないとどうなるか

条件じょうけんが $n$ 個こあっても、独立どくりつでなければ一意いちいには決きまらない。

たとえば

y = A x + B

に対たいして

y^{'} (0) = 0, y^{'} (1) = 0

を課かすと、どちらの条件じょうけんも $A = 0$ だけを意味いみする。 $B$ は決きまらない。つまり、条件じょうけんは 2 個こあっても、任意定数にんいていすう $A, B$ を区別くべつする情報じょうほうとしては 1 個こ分ぶんしかない。

一方いっぽう、

y (0) = 0, y (1) = 1

なら、 $B = 0$ 、 $A + B = 1$ となり、 $A = 1, B = 0$ が一意いちいに決きまる。この 2 個この条件じょうけんは、 $A$ と $B$ の両方りょうほうを区別くべつできる。

data/lecture/math/differential-equations/initial-and-boundary-value-problems.lecture.n.md

9微分方程式びぶんほうていしきでの読よみ替かえ

$n$ 階かいの線型微分方程式せんけいびぶんほうていしきで同次解どうじかいの空間くうかんが $n$ 次元じげんなら、一般解いっぱんかいには $n$ 個この任意定数にんいていすうが現あらわれる。

初期条件しょきじょうけん

y (x_{0}) = a_{0}, y^{'} (x_{0}) = a_{1}, [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"dots\")")], y^{(n - 1)} (x_{0}) = a_{n - 1}

を課かすとする。同次方程式どうじほうていしきの基本解きほんかいを $h_{1}, [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"dots\")")], h_{n}$ とすれば、任意定数にんいていすうの係数行列けいすうぎょうれつは

(\begin{matrix} h_{1} (x_{0}) & h_{2} (x_{0}) & \dots & h_{n} (x_{0}) \\ h_{1^{'}} (x_{0}) & h_{2^{'}} (x_{0}) & \dots & h_{n^{'}} (x_{0}) \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ h_{1^{(n - 1)}} (x_{0}) & h_{2^{(n - 1)}} (x_{0}) & \dots & h_{n^{(n - 1)}} (x_{0}) \end{matrix})

である。この行列ぎょうれつの行列式ぎょうれつしきをWronskianWronskianという。したがって、初期条件しょきじょうけんで任意定数にんいていすうが一意いちいに決きまる理由りゆうは、「任意定数にんいていすうが $n$ 個こで条件じょうけんも $n$ 個こだから」ではない。その点てんで Wronskian が 0 でなく、条件行列じょうけんぎょうれつが正則せいそくだからである。

標準的ひょうじゅんてきな線型せんけい ODE では、係数けいすうが連続れんぞくで、 $h_{1}, [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"dots\")")], h_{n}$ が基本解系きほんかいけいであれば、Wronskian は考かんがえている区間くかんで 0 にならない。この非零性ひれいせいが、初期条件しょきじょうけんから任意定数にんいていすうを解とける根拠こんきょである。

ただし、境界条件きょうかいじょうけんでは条件じょうけんの本数ほんすうだけでは十分じゅうぶんでない。同おなじ情報じょうほうを重複ちょうふくしている条件じょうけん、互たがいに矛盾むじゅんする条件じょうけん、または固有値問題こゆうちもんだいのように非自明解ひじめいかいが出でる条件じょうけんがあるからである。

10次つぎに読よむページ

解かいの個数こすう、一意性いちいせい、階数かいすう、逆作用素ぎゃくさようそ、行列ぎょうれつとの対応たいおうを、核かくと像ぞうから判定はんていする。

data/lecture/math/linear-operator/solvability-and-uniqueness-of-linear-operator-equations.lecture.n.md

11一言ひとことでいうと

非同次ひどうじ線型方程式せんけいほうていしきの解かい集合しゅうごうは、特殊解とくしゅかいを基準点きじゅんてんとし、核かくを方向ほうこうにもつアフィン空間くうかんである。任意定数にんいていすうは核かくの座標ざひょうであり、条件行列じょうけんぎょうれつが正則せいそくな条件じょうけんはその座標ざひょうを一意いちいに決きめる。ODE では、この正則性せいそくせいを Wronskian が 0 でないこととして確認かくにんする。