線型作用素方程式せんけいさようそほうていしきの可解性かかいせいと一意性いちいせい

date2026-07-14document_iddoc_836054355dbea229eed304482604714bdescription線型作用素方程式 Lx=y の解の個数、一意性、階数退化次数定理、逆作用素、行列との対応を、核と像から判定する講義である。prerequisites線型作用素方程式 / アフィン空間 / 基底と次元 / 連立一次方程式type講義content_typelecturestatusactive

mathlinear-operatorsolvabilityuniquenessrank-nullitylecture

1導入どうにゅう

このページの目的もくてきは、

L x = y

を見みたときに、

解かいはあるか。
解かいは 1 つに決きまるか。
解かいにどれだけ自由度じゆうどがあるか。
任意にんいの右辺うへんで解とけるか。

を判定はんていすることである。

線型作用素方程式せんけいさようそほうていしきの基本きほんページでは、可解性かかいせいは像ぞう、自由度じゆうどは核かくで決きまることを証明しょうめいした。このページでは、その基本定理きほんていりを使つかって、解かいの個数こすう、階数かいすう、逆作用素ぎゃくさようそ、行列ぎょうれつとの対応たいおうを整理せいりする。

data/lecture/math/linear-operator/linear-operator-equation-basics.lecture.n.md

2方針ほうしん

最初さいしょから逆作用素ぎゃくさようそを探さがすのではなく、次つぎの順じゅんで見みる。

$y \in Im L$ か。右辺うへんが到達可能とうたつかのうかを見みる。
$\ker L = {0}$ か。同おなじ右辺うへんへ潰つぶれる方向ほうこうがあるかを見みる。
有限次元ゆうげんじげんなら、 $\dim \ker L$ と $\dim Im L$ を数かぞえる。
任意にんいの $y \in W$ で解ときたいなら、 $Im L = W$ かを見みる。

この順序じゅんじょにする理由りゆうは、存在そんざいと一意性いちいせいが別べつの問題もんだいだからである。存在そんざいは「届とどくか」、一意性いちいせいは「同おなじ場所ばしょへ潰つぶれる違ちがいがあるか」である。

3命題めいだい 1：解かいの個数こすうは像ぞうと核かくで分類ぶんるいできる

3.1主張しゅちょう

$L : V \to W$ を線型作用素せんけいさようそとする。このとき、 $L x = y$ について次つぎが成立せいりつする。

y \notin Im L \Rightarrow 解なし

y \in Im L, \ker L = {0} \Rightarrow ただ つ の 解 [PARSE ERROR: Undefined("RBrace")]

y \in Im L, \ker L \neq {0} \Rightarrow 複数の解

3.2証明しょうめい

$y \notin Im L$ なら、像ぞうの定義ていぎより $L x = y$ となる $x$ は存在そんざいしない。したがって解かいはない。

$y \in Im L$ なら、ある特殊解とくしゅかい $x_{p}$ が存在そんざいする。線型作用素方程式せんけいさようそほうていしきの基本きほんページの定理ていりより、解かい全体ぜんたいは

x_{p} + \ker L

である。

ここで $\ker L = {0}$ なら、 $x_{p} + \ker L = {x_{p}}$ なので解かいは 1 つだけである。

一方いっぽう、 $\ker L \neq {0}$ なら、 $0$ でない $h \in \ker L$ が存在そんざいする。このとき $x_{p}$ と $x_{p} + h$ は異ことなる解かいである。したがって解かいは複数ふくすうある。□

4補足ほそく：アフィン空間くうかんとして見みる

有限次元ゆうげんじげんで $\dim \ker L = k$ なら、解かいが存在そんざいするときの解かい集合しゅうごうは $k$ 次元じげんのアフィン空間くうかん

x_{p} + \ker L

である。

ここで大切たいせつなのは、「非同次ひどうじ解かい集合しゅうごうそのものがベクトル空間くうかんになる」のではないという点てんである。解かいどうしの差さが核かくに入はいるので、特殊解とくしゅかいを基準点きじゅんてんとするアフィン空間くうかんになる。

data/lecture/math/linear-operator/affine-spaces-and-condition-determination.lecture.n.md

5定理ていり 1：階数退化次数定理かいすうたいかじすうていりrank-nullity theorem

5.1主張しゅちょう

$V$ が有限次元ゆうげんじげんで、 $L : V \to W$ が線型作用素せんけいさようそなら

\dim V = \dim \ker L + \dim Im L

である。

5.2証明しょうめい

$\ker L$ の基底きていを

k_{1}, [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"dots\")")], k_{m}

とする。これを $V$ の基底きていへ拡張かくちょうして

k_{1}, [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"dots\")")], k_{m}, v_{1}, [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"dots\")")], v_{r}

を $V$ の基底きていにする。このとき

\dim V = m + r, \dim \ker L = m

である。

ここで $L v_{1}, [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"dots\")")], L v_{r}$ が $Im L$ の基底きていであることを示しめす。

まず、任意にんいの $x \in V$ は

x = \sum_{i = 1}^{m} a_{i} k_{i} + \sum_{j = 1}^{r} b_{j} v_{j}

と書かける。 $L k_{i} = 0$ なので

L x = \sum_{j = 1}^{r} b_{j} L v_{j}

である。したがって $L v_{1}, [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"dots\")")], L v_{r}$ は $Im L$ を張はる。

次つぎに、線型独立せんけいどくりつであることを示しめす。

\sum_{j = 1}^{r} c_{j} L v_{j} = 0

とする。すると

L (\sum_{j = 1}^{r} c_{j} v_{j}) = 0

なので、 $\sum c_{j} v_{j} \in \ker L$ である。したがって、ある $d_{i}$ により

\sum_{j = 1}^{r} c_{j} v_{j} = \sum_{i = 1}^{m} d_{i} k_{i}

と書かける。これを移項いこうすると

\sum_{j = 1}^{r} c_{j} v_{j} - \sum_{i = 1}^{m} d_{i} k_{i} = 0

である。 $k_{1}, [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"dots\")")], k_{m}, v_{1}, [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"dots\")")], v_{r}$ は $V$ の基底きていなので線型独立せんけいどくりつであり、すべての $c_{j}$ と $d_{i}$ は 0 である。よって $L v_{1}, [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"dots\")")], L v_{r}$ は線型独立せんけいどくりつである。

したがって $\dim Im L = r$ であり、

\dim V = m + r = \dim \ker L + \dim Im L

である。□

6意味いみ：消きえる自由度じゆうどと残のこる自由度じゆうど

階数退化次数定理かいすうたいかじすうていりは、

入力の自由度 = 核へ送られる自由度 + 像として残る自由度

という式しきである。

$\ker L$ が大おおきいほど、入力にゅうりょくの多おおくの方向ほうこうが $0$ へ送おくられる。その分ぶん、 $Im L$ は小ちいさくなり、到達とうたつできる右辺うへんが少すくなくなる。

7定理ていり 2：逆作用素ぎゃくさようそinverse operatorが存在そんざいする条件じょうけん

7.1主張しゅちょう

$L : V \to W$ について、逆写像ぎゃくしゃぞう $L^{- 1} : W \to V$ が存在そんざいすることは、

\ker L = {0} かつ Im L = W

と同値どうちである。

7.2証明しょうめい

まず、 $L$ に逆写像ぎゃくしゃぞうが存在そんざいするとする。このとき $L x = 0$ なら、両辺りょうへんに $L^{- 1}$ を作用さようさせて

x = L^{- 1} 0 = 0

である。したがって $\ker L = {0}$ である。また、任意にんいの $y \in W$ に対たいして $x = L^{- 1} y$ と置おけば $L x = y$ である。よって $Im L = W$ である。

逆ぎゃくに、 $\ker L = {0}$ かつ $Im L = W$ とする。 $Im L = W$ より、任意にんいの $y \in W$ に対たいして $L x = y$ を満みたす $x$ が存在そんざいする。もし $L x_{1} = y$ 、 $L x_{2} = y$ なら

L (x_{1} - x_{2}) = 0

である。 $\ker L = {0}$ より $x_{1} - x_{2} = 0$ 、すなわち $x_{1} = x_{2}$ である。したがって各かく $y$ に対たいしてただ 1 つの $x$ が決きまるので、 $L^{- 1}$ を定義ていぎできる。□

8行列ぎょうれつとの対応たいおう

$A$ を $m \times n$ 行列ぎょうれつとすると、 $A$ は

L_{A} : K^{n} \to K^{m}, L_{A} x = A x

という線型作用素せんけいさようそを定さだめる。このとき

\ker L_{A} = {x \in K^{n} ∣ A x = 0}

であり、これは $A$ の零空間れいくうかんnull spaceである。また

Im L_{A} = Col (A)

であり、これは $A$ の列空間れつくうかんcolumn spaceである。

したがって $A x = b$ が解かいを持もつ条件じょうけんは

b \in Col (A)

である。

9命題めいだい 2：行基本変形ぎょうきほんへんけいは解集合かいしゅうごうを保たもつ

9.1主張しゅちょう

$P$ を可逆行列かぎゃくぎょうれつとする。このとき

A x = b

と

P A x = P b

は同おなじ解集合かいしゅうごうを持もつ。

9.2証明しょうめい

$A x = b$ なら、両辺りょうへんに $P$ を掛かけて $P A x = P b$ である。

逆ぎゃくに、 $P A x = P b$ とする。 $P$ は可逆かぎゃくなので、両辺りょうへんに $P^{- 1}$ を掛かけると

A x = b

である。したがって 2 つの方程式ほうていしきの解集合かいしゅうごうは一致いっちする。□

この命題めいだいが、掃はき出だし法ほうで行基本変形ぎょうきほんへんけいを使つかえる根拠こんきょである。行基本変形ぎょうきほんへんけいは、終域しゅういき側がわの方程式ほうていしきの組くみ合あわせを変かえるだけで、同おなじ $x$ を解かいとして残のこす。

data/lecture/math/linear-algebra/linear-systems-and-gaussian-elimination.lecture.n.md

10注意ちゅうい：列基本変形れつきほんへんけいは意味いみが違ちがう

列基本変形れつきほんへんけいelementary column operationは、定義域ていぎいき側がわの座標ざひょうや生成元せいせいげんを変かえる操作そうさである。そのため、同おなじ未知数みちすう $x$ についての解集合かいしゅうごうをそのまま保たもつとは限かぎらない。

たとえば $A$ の列れつを入いれ替かえることは、 $x$ の成分せいぶんの役割やくわりを入いれ替かえることに対応たいおうする。行ぎょうの操作そうさは方程式ほうていしきの表あらわし方かたを変かえるが、列れつの操作そうさは入力空間にゅうりょくくうかんの見方みかたを変かえる。この違ちがいを混同こんどうしない。

11次つぎに読よむページ

$x$ と $x^{'}$ が $x - x^{'} \in \ker L$ を満みたすとき、 $L x = L x^{'}$ である。つまり、 $L$ は $\ker L$ 方向ほうこうの違ちがいを見分みわけられない。この見方みかたをさらに抽象化ちゅうしょうかすると、商空間しょうくうかんと第一同型定理だいいちどうけいていりへ進すすむ。

data/lecture/math/linear-operator/quotient-spaces-and-first-isomorphism-theorem.lecture.n.md

12一言ひとことでいうと

$L x = y$ の判定はんていでは、像ぞうが存在そんざいを、核かくが一意性いちいせいと自由度じゆうどを決きめる。有限次元ゆうげんじげんでは、階数退化次数定理かいすうたいかじすうていりが「消きえる自由度じゆうど」と「残のこる自由度じゆうど」の合計ごうけいを数かぞえる。