商空間しょうくうかんと第一同型定理だいいちどうけいていり

date2026-07-14document_iddoc_06a6539bef30d035d0bab943b0bae232description線型作用素が核方向の違いを見分けられないことを、商空間と第一同型定理として定義から証明する講義である。prerequisites線型作用素方程式 / アフィン空間 / 部分空間 / 同値関係type講義content_typelecturestatusactive

mathlinear-operatorquotient-spaceisomorphismlecture

1導入どうにゅう

この講義こうぎでは、線型作用素せんけいさようそlinear operator $L : V \to W$ が「核かく方向ほうこうの違ちがいを見分みわけられない」という事実じじつを、空間くうかんそのものの言葉ことばで表あらわすことを説明せつめいする。

前まえのページでは、 $L x = y$ の解かい集合しゅうごうが

x_{p} + \ker L

というアフィン空間くうかんになることを見みた。ここでは、解かいの個々ここの代表だいひょうではなく、「核かく方向ほうこうだけ違ちがうものは同おなじと見みる」という整理せいりを行おこなう。

data/lecture/math/linear-operator/affine-spaces-and-condition-determination.lecture.n.md

2なぜ商空間しょうくうかんを考かんがえるのか

$L x = L x^{'}$ なら

L (x - x^{'}) = 0

なので

x - x^{'} \in \ker L

である。逆ぎゃくに、 $x - x^{'} \in \ker L$ なら $L x = L x^{'}$ である。

つまり、 $L$ にとって $x$ と $x^{'}$ は、差さが $\ker L$ に入はいる限かぎり同おなじ出力しゅつりょくを与あたえる。この観察かんさつから、入力にゅうりょくを 1 個こずつ区別くべつするのではなく、 $\ker L$ 方向ほうこうに動うごかして得えられる集あつまりを 1 つの単位たんいとして扱あつかいたくなる。

この単位たんいが商空間しょうくうかんの元げんである。

3定義ていぎ：商空間しょうくうかん

$V$ をベクトル空間くうかん、 $U$ を $V$ の部分空間ぶぶんくうかんとする。 $x, x^{'} \in V$ に対たいして

x \sim x^{'} ⟺ x - x^{'} \in U

と定義ていぎする。このとき、 $x$ と同値どうちな元げんの集合しゅうごう

x + U = {x + u ∣ u \in U}

を $x$ の剰余類じょうよるいcosetまたは同値類どうちるいという。

すべての同値類どうちるいの集合しゅうごう

V / U = {x + U ∣ x \in V}

を、 $U$ による商空間しょうくうかんquotient spaceという。

4命題めいだい 1： $\sim$ は同値関係どうちかんけいである

4.1主張しゅちょう

$x \sim x^{'}$ を $x - x^{'} \in U$ で定義ていぎすると、 $\sim$ は同値関係どうちかんけいである。

4.2証明しょうめい

反射律はんしゃりつを示しめす。 $x - x = 0$ であり、 $U$ は部分空間ぶぶんくうかんだから $0 \in U$ である。よって $x \sim x$ である。

対称律たいしょうりつを示しめす。 $x \sim x^{'}$ とする。すると $x - x^{'} \in U$ である。 $U$ は部分空間ぶぶんくうかんなので、その負ふである $x^{'} - x = - (x - x^{'})$ も $U$ に入はいる。よって $x^{'} \sim x$ である。

推移律すいいりつを示しめす。 $x \sim x^{'}$ 、 $x^{'} \sim x^{'}'$ とする。すると $x - x^{'} \in U$ 、 $x^{'} - x^{'}' \in U$ である。 $U$ は和わで閉とじているので

x - x^{'}' = (x - x^{'}) + (x^{'} - x^{'}') \in U

である。よって $x \sim x^{'}'$ である。□

5定義ていぎ： $V / U$ の足たし算ざんと定数倍ていすうばい

商空間しょうくうかん $V / U$ では

(x + U) + (z + U) = (x + z) + U

α (x + U) = (α x) + U

と定義ていぎする。

ここで確認かくにんすべきことは、 $x$ や $z$ の代表だいひょうを変かえても結果けっかが変かわらないことである。この性質せいしつを well-defined、つまり定義ていぎが代表だいひょうの選えらび方かたに依存いぞんしない、という。

6命題めいだい 2：商空間しょうくうかんの演算えんざんは well-defined である

6.1主張しゅちょう

$x + U = x^{'} + U$ 、 $z + U = z^{'} + U$ なら

(x + z) + U = (x^{'} + z^{'}) + U

である。また、 $x + U = x^{'} + U$ なら

α x + U = α x^{'} + U

である。

6.2証明しょうめい

$x + U = x^{'} + U$ とは $x - x^{'} \in U$ であることと同値どうちであり、 $z + U = z^{'} + U$ とは $z - z^{'} \in U$ であることと同値どうちである。したがって

(x + z) - (x^{'} + z^{'}) = (x - x^{'}) + (z - z^{'}) \in U

である。よって $(x + z) + U = (x^{'} + z^{'}) + U$ である。

また、 $x - x^{'} \in U$ なら、 $U$ は定数倍ていすうばいで閉とじているので

α x - α x^{'} = α (x - x^{'}) \in U

である。よって $α x + U = α x^{'} + U$ である。□

7定理ていり：線型作用素せんけいさようその第一同型定理だいいちどうけいていり

7.1主張しゅちょう

$L : V \to W$ を線型作用素せんけいさようそlinear operatorとする。このとき

V / \ker L ≅ Im L

である。

7.2証明しょうめい

写像しゃぞう

Φ : V / \ker L \to Im L, Φ (x + \ker L) = L x

を考かんがえる。

まず、 $Φ$ が well-defined であることを示しめす。 $x + \ker L = x^{'} + \ker L$ とする。これは $x - x^{'} \in \ker L$ を意味いみする。したがって

L (x - x^{'}) = 0

であり、 $L x = L x^{'}$ である。よって代表だいひょうを変かえても $Φ$ の値あたいは変かわらない。

つぎに、 $Φ$ は線型せんけいである。商空間しょうくうかんの演算えんざんの定義ていぎと $L$ の線型性せんけいせいより

\begin{aligned} \Phi(\alpha(x+\ker L)+\beta(z+\ker L)) &=\Phi((\alpha x+\beta z)+\ker L)\\ &=L(\alpha x+\beta z)\\ &=\alpha Lx+\beta Lz\\ &=\alpha\Phi(x+\ker L)+\beta\Phi(z+\ker L) \end{aligned}\begin{aligned} \Phi(\alpha(x+\ker L)+\beta(z+\ker L)) &=\Phi((\alpha x+\beta z)+\ker L)\\ &=L(\alpha x+\beta z)\\ &=\alpha Lx+\beta Lz\\ &=\alpha\Phi(x+\ker L)+\beta\Phi(z+\ker L) \end{aligned}

である。

つぎに、 $Φ$ は全射ぜんしゃである。任意にんいの $w \in Im L$ に対たいして、像ぞうの定義ていぎより、ある $x \in V$ が存在そんざいして $w = L x$ である。すると $Φ (x + \ker L) = w$ である。

最後さいごに、 $Φ$ は単射たんしゃである。 $Φ (x + \ker L) = 0$ とする。すると $L x = 0$ なので $x \in \ker L$ である。したがって

x + \ker L = 0 + \ker L

である。よって $Φ$ の核かくは $0 + \ker L$ だけであり、 $Φ$ は単射たんしゃである。

以上いじょうより、 $Φ$ は線型せんけいな全単射ぜんたんしゃである。したがって

V / \ker L ≅ Im L

である。□

8意味いみ

$V / \ker L$ は、 $L$ が見分みわけられない入力にゅうりょくどうしを 1 つに潰つぶした空間くうかんである。潰つぶした後あとに残のこる本質的ほんしつてきな入力にゅうりょくは、ちょうど $Im L$ と同おなじ情報じょうほうを持もつ。

これは階数退化次数定理かいすうたいかじすうていりの直感ちょっかんとも一致いっちする。入力にゅうりょくの自由度じゆうどのうち、 $\ker L$ 方向ほうこうは出力しゅつりょくに現あらわれず、残のこった自由度じゆうどが像ぞうとして現あらわれる。

9一言ひとことでいうと

商空間しょうくうかん $V / \ker L$ は、 $L$ が区別くべつできない核かく方向ほうこうを同一視どういつしした空間くうかんである。第一同型定理だいいちどうけいていりは、その空間くうかんが $Im L$ と同型どうけいであることを述のべている。

商空間しょうくうかんと第一同型定理だいいちどうけいていり

1導入どうにゅう

2なぜ商空間しょうくうかんを考かんがえるのか

3定義ていぎ：商空間しょうくうかん

4命題めいだい 1：∼\sim は同値関係どうちかんけいである

4.1主張しゅちょう

4.2証明しょうめい

5定義ていぎ：V/UV/U の足たし算ざんと定数倍ていすうばい

6命題めいだい 2：商空間しょうくうかんの演算えんざんは well-defined である

6.1主張しゅちょう

6.2証明しょうめい

7定理ていり：線型作用素せんけいさようその第一同型定理だいいちどうけいていり

7.1主張しゅちょう

7.2証明しょうめい

8意味いみ

9一言ひとことでいうと

4命題めいだい 1： $\sim$ は同値関係どうちかんけいである

5定義ていぎ： $V / U$ の足たし算ざんと定数倍ていすうばい