置換積分ちかんせきぶんと部分積分ぶぶんせきぶん―基本演習きほんえんしゅう

1問題もんだい 1

を計算けいさんし、解答かいとうを微分びぶんして検算けんざんせよ。

1.1解答例かいとうれい

$f\left(u\right)=\sin u$f(u)=\sin u、$g\left(x\right)=x^2$g(x)=x^2 とすれば、被積分関数ひせきぶんかんすうは $f\left(g\right(x\left)\right)g^{\prime }\left(x\right)$f(g(x))g'(x) の形かたちであり、$g^{\prime }\left(x\right)=2x$g'(x)=2x である。$u=x^2$u=x^2 と置おくと $du=2xdx$du=2x\,dx であるから、

となる。また、

であるため、元もとの被積分関数ひせきぶんかんすうが回復かいふくする。

1.2解説かいせつ

置換積分ちかんせきぶんは連鎖律れんさりつの逆ぎゃくである。被積分関数ひせきぶんかんすうが合成関数ごうせいかんすう $f\left(g\right(x\left)\right)$f(g(x)) と内部関数ないぶかんすうの導関数どうかんすう $g^{\prime }\left(x\right)$g'(x) を因子いんしとして含ふくむことを確認かくにんする。

2問題もんだい 2

を計算けいさんし、解答かいとうを微分びぶんして検算けんざんせよ。

2.1解答例かいとうれい

$u=x$u=x、$v^{\prime }=\cos x$v'=\cos x と選択せんたくすると、$u^{\prime }=1$u'=1、$v=\sin x$v=\sin x である。部分積分ぶぶんせきぶんにより、

となる。また、

である。

2.2解説かいせつ

部分積分ぶぶんせきぶんは積せきの微分公式びぶんこうしきの逆ぎゃくである。多項式因子たこうしきいんし $x$x を微分びぶんすると 1 に単純化たんじゅんかし、$\cos x$\cos x の原始関数げんしかんすうは容易よういに計算けいさんできる。

3総合演習そうごうえんしゅう

4関連講義かんれんこうぎ

Substitution and Integration by Parts — Basic Exercises

1Problem 1

Evaluate

and verify the answer by differentiation.

1.1Sample Solution

Let $f\left(u\right)=\sin u$f(u)=\sin u and $g\left(x\right)=x^2$g(x)=x^2. The integrand then has the form $f\left(g\right(x\left)\right)g^{\prime }\left(x\right)$f(g(x))g'(x), with $g^{\prime }\left(x\right)=2x$g'(x)=2x. Let $u=x^2$u=x^2, so $du=2xdx$du=2x\,dx. Then

Moreover,

which recovers the original integrand.

1.2Explanation

Substitution reverses the chain rule. Check that the integrand contains both a composite function $f\left(g\right(x\left)\right)$f(g(x)) and the derivative $g^{\prime }\left(x\right)$g'(x) of its inner function as factors.

2Problem 2

Evaluate

and verify the answer by differentiation.

2.1Sample Solution

Choose $u=x$u=x and $v^{\prime }=\cos x$v'=\cos x, so $u^{\prime }=1$u'=1 and $v=\sin x$v=\sin x. Integration by parts gives

Furthermore,

2.2Explanation

Integration by parts reverses the product rule. Differentiating the polynomial factor $x$x simplifies it to $1$1, while an antiderivative of $\cos x$\cos x is readily available.

3Comprehensive Exercises

4Related Lectures