像ぞうimageと逆像ぎゃくぞうpreimage 基本きほん演習えんしゅう

Images像ぞう and preimages逆像ぎゃくぞう: basic exercises

1対応たいおうする講義こうぎlecture

1Corresponding lectures講義こうぎ

2問題もんだい1：像ぞうimageを求もとめる

$$A=\{1,2,3,4\}$$A=\{1,2,3,4\}、$$B=\{0,1\}$$B=\{0,1\} とし、写像しゃぞうmap $$f:A\to B$$f:A\to B を、$$f\left(x\right)$$f(x) は $$x$$x を 2 で割わった余あまり、と定さだめる。$$S=\{1,2,4\}$$S=\{1,2,4\} の像ぞうimage $$f\left(S\right)$$f(S) を求もとめよ。

2.1解答かいとう

$$f\left(1\right)=1$$f(1)=1、$$f\left(2\right)=0$$f(2)=0、$$f\left(4\right)=0$$f(4)=0 なので、

である。

2.2解説かいせつ

像ぞうimageは、部分集合ぶぶんしゅうごうsubsetの各かく元げんelementを実際じっさいに写うつして得えられる集合しゅうごうsetである。重複ちょうふくして同おなじ値あたいになっても、集合しゅうごうsetでは 1 回かいだけ数かぞえる。

2Problem 1: find an image像ぞう

Let $$A=\{1,2,3,4\}$$A=\{1,2,3,4\} and $$B=\{0,1\}$$B=\{0,1\}. Define the map写像しゃぞう $$f:A\to B$$f:A\to B by letting $$f\left(x\right)$$f(x) be the remainder when $$x$$x is divided by $$2$$2. Find the image像ぞう $$f\left(S\right)$$f(S) of $$S=\{1,2,4\}$$S=\{1,2,4\}.

2.1Answer

Since $$f\left(1\right)=1$$f(1)=1, $$f\left(2\right)=0$$f(2)=0, and $$f\left(4\right)=0$$f(4)=0,

2.2Explanation

The image像ぞう is the set集合しゅうごう actually obtained by applying the map to each element元げん of the subset部分集合ぶぶんしゅうごう. If several inputs give the same value, that value appears only once in the set.

3問題もんだい2：逆像ぎゃくぞうpreimageを求もとめる

問題もんだい1の写像しゃぞうmap $$f$$f について、$$T=\left\{0\right\}$$T=\{0\} の逆像ぎゃくぞうpreimage $$f^{-1}\left(T\right)$$f^{-1}(T) を求もとめよ。

3.1解答かいとう

$$f\left(x\right)=0$$f(x)=0 となるのは $$x=2,4$$x=2,4 である。したがって

である。

3.2解説かいせつ

逆像ぎゃくぞうpreimageは、指定していされた出力しゅつりょくoutputの集合しゅうごうsetに入はいる入力にゅうりょくinput全体ぜんたいである。逆写像ぎゃくしゃぞうinverse mapがあるかどうかとは無関係むかんけいに定義ていぎできる。

逆像ぎゃくぞうpreimageは、終域しゅういきcodomain側がわの集合しゅうごうに入はいる出力しゅつりょくを持もつ入力にゅうりょくを集あつめる操作そうさである。逆写像ぎゃくしゃぞうinverse mapが存在そんざいするかどうかとは別べつの概念がいねんなので、全単射ぜんたんしゃbijectionでなくても逆像ぎゃくぞうは求もとめられる。

3Problem 2: find a preimage逆像ぎゃくぞう

For the map写像しゃぞう $$f$$f in Problem 1, find the preimage逆像ぎゃくぞう $$f^{-1}\left(T\right)$$f^{-1}(T) of $$T=\left\{0\right\}$$T=\{0\}.

3.1Answer

The inputs with $$f\left(x\right)=0$$f(x)=0 are $$x=2,4$$x=2,4. Therefore

3.2Explanation

A preimage逆像ぎゃくぞう is the set of all inputs入力にゅうりょく whose outputs出力しゅつりょく lie in the specified output-side set. It is defined independently of whether an inverse map逆写像ぎゃくしゃぞう exists.

A preimage逆像ぎゃくぞう collects inputs whose outputs lie in a subset on the codomain終域しゅういき side. It is a different concept from the existence of an inverse map逆写像ぎゃくしゃぞう, so a preimage can be found even when the map is not a bijection全単射ぜんたんしゃ.

4問題もんだい3：逆像ぎゃくぞうpreimageが共通部分きょうつうぶぶんintersectionを保たもつことを示しめす

$$f:A\to B$$f:A\to B、$$T_1,T_2\subseteq B$$T_1,T_2\subseteq B とする。

を示しめせ。

4.1解答かいとう

任意にんいの $$x\in A$$x\in A について、

は、定義ていぎより

と同値どうちである。これは

と同値どうちであり、さらに

と同値どうちである。したがって

である。任意にんいの $$x$$x で所属条件しょぞくじょうけんが同値どうちなので、2 つの集合しゅうごうsetは等ひとしい。

4.2解説かいせつ

集合しゅうごうsetの等号とうごうは、任意にんいの元げんelementについて所属条件しょぞくじょうけんが同値どうちであることを示しめせばよい。ここでは割わり算ざんを使つかっていないので、零除算れいじょざんの確認かくにんは書かかない。

4Problem 3: prove that preimages逆像ぎゃくぞう preserve intersections共通部分きょうつうぶぶん

Let $$f:A\to B$$f:A\to B and $$T_1,T_2\subseteq B$$T_1,T_2\subseteq B. Prove

4.1Answer

For arbitrary $$x\in A$$x\in A,

is equivalent by definition to

This is equivalent to

and hence equivalent to

Therefore

Since the membership conditions are equivalent for every $$x$$x, the two sets集合しゅうごう are equal.

4.2Explanation

To prove equality of sets集合しゅうごう, show that every element元げん satisfies equivalent membership conditions on both sides. No division is used in this proof, so there is no zero-division condition to check.

5証明しょうめい演習えんしゅう：逆像ぎゃくぞうpreimageが集合演算しゅうごうえんざんset operationsを保存ほぞんすること

5.1問題もんだい

$$f:X\to Y$$f:X\to Y、$$B_1,B_2\subseteq Y$$B_1,B_2\subseteq Y とする。つぎを証明しょうめいせよ。

5Proof exercise: preimages逆像ぎゃくぞう preserve set operations集合演算しゅうごうえんざん

5.1Problem

Let $$f:X\to Y$$f:X\to Y and $$B_1,B_2\subseteq Y$$B_1,B_2\subseteq Y. Prove the following identities.

5.2解答かいとう

$$x\in f^{-1}(B_1\cup B_2)$$x\in f^{-1}(B_1\cup B_2) とする。これは $$f\left(x\right)\in B_1\cup B_2$$f(x)\in B_1\cup B_2 という意味いみである。したがって $$f\left(x\right)\in B_1$$f(x)\in B_1 または $$f\left(x\right)\in B_2$$f(x)\in B_2 である。よって $$x\in f^{-1}\left(B_1\right)$$x\in f^{-1}(B_1) または $$x\in f^{-1}\left(B_2\right)$$x\in f^{-1}(B_2) であり、$$x\in f^{-1}\left(B_1\right)\cup f^{-1}\left(B_2\right)$$x\in f^{-1}(B_1)\cup f^{-1}(B_2) である。逆向ぎゃくむきも同おなじ言いい換かえを逆ぎゃくに読よめばよい。

共通部分きょうつうぶぶんintersectionについても、$$f\left(x\right)\in B_1\cap B_2$$f(x)\in B_1\cap B_2 が $$f\left(x\right)\in B_1$$f(x)\in B_1 かつ $$f\left(x\right)\in B_2$$f(x)\in B_2 と同値どうちであることから従したがう。

5.3解説かいせつ

逆像ぎゃくぞうpreimageは「行いき先さきが条件じょうけんを満みたす元もとの集合しゅうごうset」なので、論理ろんりの and と or がそのまま集合演算しゅうごうえんざんset operationsへ移うつる。

5.2Answer

Suppose $$x\in f^{-1}(B_1\cup B_2)$$x\in f^{-1}(B_1\cup B_2). This means $$f\left(x\right)\in B_1\cup B_2$$f(x)\in B_1\cup B_2. Hence $$f\left(x\right)\in B_1$$f(x)\in B_1 or $$f\left(x\right)\in B_2$$f(x)\in B_2. Therefore $$x\in f^{-1}\left(B_1\right)$$x\in f^{-1}(B_1) or $$x\in f^{-1}\left(B_2\right)$$x\in f^{-1}(B_2), so $$x\in f^{-1}\left(B_1\right)\cup f^{-1}\left(B_2\right)$$x\in f^{-1}(B_1)\cup f^{-1}(B_2). The reverse inclusion is the same chain of equivalences read backward.

For the intersection identity, use that $$f\left(x\right)\in B_1\cap B_2$$f(x)\in B_1\cap B_2 is equivalent to $$f\left(x\right)\in B_1$$f(x)\in B_1 and $$f\left(x\right)\in B_2$$f(x)\in B_2.

5.3Explanation

A preimage逆像ぎゃくぞう is the set集合しゅうごう of original elements whose destinations satisfy a condition. Therefore the logical words “and” and “or” transfer directly into set operations集合演算しゅうごうえんざん.