リーマン和わRiemann sumと定積分ていせきぶんdefinite integral-基本演習きほんえんしゅう

date2026-07-15document_iddoc_194ff020c5fa8c6d3da5c15c1d5e32e5descriptionリーマン和、定積分、符号付き面積、幾何学的面積の違いを確認する基本演習である。prerequisites積分の定義：リーマン和と符号付き面積type問題演習content_typeexercisestatusactive

mathcalculusexerciseriemann-sum

data/lecture/math/calculus/integral-definition-riemann-sums-and-signed-area.lecture.n.md

1問題もんだい 1

任意にんいの分割ぶんかつ $0 = x_{0} < \dots < x_{n} = 1$ と代表点だいひょうてん $ξ_{i} \in [x_{i - 1}, x_{i}]$ に対たいし、リーマン和わRiemann sumが $1 / 2$ へ収束しゅうそくすることを示しめし、 $\int_{0}^{1} x d x$ を求もとめよ。

1.1解答例かいとうれい

各小区間かくしょうくかんの中点ちゅうてんを $m_{i} = (x_{i - 1} + x_{i}) / 2$ 、幅はばを $Δ x_{i} = x_{i} - x_{i - 1}$ とする。このとき

\sum_{i = 1}^{n} m_{i} Δ x_{i} = \frac{1}{2} \sum_{i = 1}^{n} (x_{i^{2}} - x_{{i - 1}^{2}}) = \frac{1}{2}

である。また、 $| ξ_{i} - m_{i} | [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"le\")")] Δ x_{i} / 2$ であるから、

| \sum_{i = 1}^{n} ξ_{i} Δ x_{i} - \frac{1}{2} | [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"le\")")] \frac{1}{2} \sum_{i = 1}^{n} (Δ x_{i})^{2} [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"le\")")] \frac{| P |}{2} \sum_{i = 1}^{n} Δ x_{i} = \frac{| P |}{2} \to 0.

したがって、分割ぶんかつと代表点だいひょうてんの選択せんたくに依存いぞんせず、 $\int_{0}^{1} x d x = 1 / 2$ である。

1.2解説かいせつ

誤差評価ごさひょうか $| P | / 2 \to 0$ により、1 つの特定とくていの分割列ぶんかつれつだけでなく、任意にんいの分割ぶんかつと代表点だいひょうてんに対たいする収束しゅうそくが保証ほしょうされる。

2問題もんだい 2

$\int_{- 2}^{2} x d x$ と幾何学的面積きかがくてきめんせきを求もとめよ。

2.1解答例かいとうれい

定積分ていせきぶんdefinite integralは 0 である。幾何学的面積きかがくてきめんせきは $\int_{- 2}^{2} | x | d x = 4$ である。

2.2解説かいせつ

定積分ていせきぶんdefinite integralは符号付ふごうつき面積めんせきsigned areaである。