ノルムと三角不等式さんかくふとうしき

1導入どうにゅう

この講義こうぎで重要じゅうようなのは、ノルムは「長ながさ」を抽象化ちゅうしょうかした関数かんすうであり、三角不等式さんかくふとうしきによって距離きょりとしての振舞ふるまいが保証ほしょうされるということである。

内積ないせきinner productから $$\parallel v\parallel =\sqrt{⟨v,v⟩}$$\|v\|=\sqrt{\langle v,v\rangle} と定義ていぎするだけでは、まだ「長ながさ」として十分じゅうぶんかどうかは明確めいかくでない。長ながさなら、0 以上いじょうであり、スカラー倍ばいで比例ひれいし、2 つのベクトルを足たした長ながさが各かく長ながさの和わを超こえない必要ひつようがある。この最後さいごの条件じょうけんが三角不等式さんかくふとうしきである。

2用語ようごと定義ていぎ

ノルムNorm とは、ベクトル空間くうかん $$V$$V から非負実数ひふじつすうへの関数かんすう $$\parallel ·\parallel$$\|\cdot\| であり、任意にんいの $$u,v\in V$$u,v\in V とスカラー $$a$$a について、次つぎを満みたすものである。

三角不等式さんかくふとうしきTriangle inequality とは、上うえの 3 番目ばんめの不等式ふとうしきである。

距離きょりMetric は、ノルムから $$d(u,v)=\parallel u-v\parallel$$d(u,v)=\|u-v\| と定義ていぎできる。

3方針ほうしん

まずノルムの公理こうりを確認かくにんし、つぎに内積ないせきinner productから定義ていぎしたノルムがその公理こうりを満みたすことを示しめす。三角不等式さんかくふとうしきだけは自明じめいでないため、コーシー・シュワルツの不等式ふとうしきを用もちいて導出どうしゅつする。

4直感的ちょっかんてきな説明せつめい

三角不等式さんかくふとうしきは、「迂回経路うかいけいろの距離きょりは、直行ちょっこうする距離きょりより短みじかくならない」という幾何学的きかがくてきな事実じじつの抽象形ちゅうしょうけいである。

ベクトルでは、$$u$$u だけ移動いどうし、つぎに $$v$$v だけ移動いどうする経路けいろと、$$u+v$$u+v へ一度いちどに移動いどうする経路けいろを比較ひかくする。直接ちょくせつの移動いどうは寄より道みちより長ながくならない。これが $$\parallel u+v\parallel \text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("le")")]}\parallel u\parallel +\parallel v\parallel$$\|u+v\|\le\|u\|+\|v\| である。

5厳密げんみつな説明せつめい

5.11. 内積ないせきinner productからノルムを定義ていぎする

内積空間ないせきくうかんinner product spaceでは

と定義ていぎする。正定値性せいていちせいにより $$⟨v,v⟩\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ge")")]}0$$\langle v,v\rangle\ge0 であり、$$⟨v,v⟩=0$$\langle v,v\rangle=0 は $$v=0$$v=0 と同値どうちequivalentである。したがって非負性ひふせいと零れいベクトルの判定はんていは成立せいりつする。

スカラー $$a$$a については、

であるから、

を得える。

5.22. 三角不等式さんかくふとうしきを導出どうしゅつする

実内積空間じつないせきくうかんでは、

である。展開てんかいすると、

コーシー・シュワルツの不等式ふとうしきより $$⟨u,v⟩\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("le")")]}|⟨u,v⟩|\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("le")")]}\parallel u\parallel \parallel v\parallel$$\langle u,v\rangle\le |\langle u,v\rangle|\le \|u\|\|v\| である。したがって

両辺りょうへんは非負ひふなので、平方根へいほうこんを適用てきようして

を得える。

複素ふくそcomplex内積空間ないせきくうかんinner product spaceでは、展開てんかいに $$2\mathrm{Re}⟨u,v⟩$$2\operatorname{Re}\langle u,v\rangle が現あらわれるが、$$\mathrm{Re}⟨u,v⟩\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("le")")]}|⟨u,v⟩|$$\operatorname{Re}\langle u,v\rangle\le |\langle u,v\rangle| により同様どうように証明しょうめいできる。

6具体例ぐたいれい

$$R^2$$\mathbb R^2 の標準内積ひょうじゅんないせきでは、

である。$$u=(1,0)$$u=(1,0)、$$v=(0,1)$$v=(0,1) とすると、

であり、$$\sqrt{2}\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("le")")]}2$$\sqrt{2}\le2 が三角不等式さんかくふとうしきに対応たいおうする。

7別べつの観点かんてん

ノルムが与あたえられると、まず

によって距離きょりが定義ていぎされる。非負性ひふせい、対称性たいしょうせい、三角不等式さんかくふとうしきにより、これは距離関数きょりかんすうとして機能きのうする。

解析的かいせきてきには、ノルムは極限きょくげんや収束しゅうそくを定義ていぎするための道具どうぐである。$$d(v_n,v)=\parallel v_n-v\parallel \to 0$$d(v_n,v)=\|v_n-v\|\to0 と記述きじゅつできるとき、ベクトル列れつcolumn $$v_n$$v_n が $$v$$v に近ちかづくことを意味いみする。

幾何的きかてきには、ノルムは原点げんてんからの距離きょりである。三角不等式さんかくふとうしきは、この距離きょりが幾何学的きかがくてきな直観ちょっかんと整合せいごうすることを保証ほしょうする。

8判定基準はんていきじゅん

• 長ながさ、距離きょり、収束しゅうそく、誤差ごさを対象たいしょうにするなら、ノルムを確認かくにんする。
• 内積ないせきinner productが与あたえられているなら、まず $$\parallel v\parallel =\sqrt{⟨v,v⟩}$$\|v\|=\sqrt{\langle v,v\rangle} を構成こうせいする。
• 不等式ふとうしきの証明しょうめいでは、コーシー・シュワルツの不等式ふとうしきから三角不等式さんかくふとうしきへ接続せつぞくする。

9どこまで成立せいりつするか

内積ないせきinner productから得えられるノルムは必かならず三角不等式さんかくふとうしきを満みたす。一方いっぽうで、すべてのノルムが内積ないせきinner productから生しょうじるわけではない。たとえば $$R^n$$\mathbb R^n の $${\ell }^1$$\ell^1 ノルムや $${\ell }^{\mathrm{\infty }}$$\ell^\infty ノルムは重要じゅうようだが、一般いっぱんには標準内積ひょうじゅんないせきから直接ちょくせつ導出どうしゅつされるものではない。

10最終形さいしゅうけい

11一言ひとことでいうと

• ノルムは長ながさを抽象化ちゅうしょうかした関数かんすうであり、三角不等式さんかくふとうしきにより距離きょりとして作用さようする。

12演習えんしゅうリンク

13関連かんれんリンク