環かんの基本きほん

環かんRing

集合しゅうごう $R$R に加法かほう $+$+ と乗法じょうほう $·$\cdot が定義ていぎされていて、以下いかを満みたすとき $(R,+,·)$(R, +, \cdot) を環かんRingという：

1. $(R,+)$(R, +) は可換群かかんぐん（加法かほうの閉包へいほう・結合けつごう・単位元たんいげん $0$0・逆元ぎゃくげん $-a$-a・可換性かかんせい）
2. 乗法じょうほうの閉包性へいほうせい：$a,b\in R⟹ab\in R$a, b \in R \implies ab \in R
3. 乗法じょうほうの結合法則けつごうほうそく：$\left(ab\right)c=a\left(bc\right)$(ab)c = a(bc)
4. 分配法則ぶんぱいほうそく：$a(b+c)=ab+ac$a(b+c) = ab + ac、$(a+b)c=ac+bc$(a+b)c = ac + bc

さらに 乗法じょうほうの単位元たんいげん $1$1 が存在そんざいするとき単位元付たんいげんつき環かんRing with unity（または単純たんじゅんに環かん）という。$ab=ba$ab = ba が常つねに成立せいりつするとき可換環かかんかんCommutative ringという。

零因子ぜろいんしZero divisorと整域せいいきIntegral domain

$a\ne 0$a \neq 0、$b\ne 0$b \neq 0 だが $ab=0$ab = 0 となる元げんを零因子ぜろいんしZero divisorという。零因子ぜろいんしのない可換環かかんかん（ただし $1\ne 0$1 \neq 0）を整域せいいきIntegral domainという。

直感ちょっかん：整域せいいきでは $ab=0⟹a=0$ab = 0 \implies a = 0 または $b=0$b = 0 が成立せいりつし、「因数いんすうが 0 でなければ積せきは 0 にならない」という自然しぜんな性質せいしつが保証ほしょうされる。

1. なぜ加法かほうは可換群かかんぐんで乗法じょうほうはそうでないのか

整数せいすうでは $a+b=b+a$a + b = b + a だが、行列ぎょうれつの環かん $M_n\left(\mathbb{R}\right)$M_n(\mathbb{R}) では $AB\ne BA$AB \neq BA が一般いっぱんに成立せいりつする。掛かけ算ざんの可換性かかんせいを要求ようきゅうしないことで行列ぎょうれつも環かんの一例いちれいとして取とり込こめる。

また整数せいすうでは 2 の乗法じょうほう逆元ぎゃくげん $1/2$1/2 は存在そんざいしない。乗法じょうほうに逆元ぎゃくげんを要求ようきゅうしないことで整数せいすうを環かんとして扱あつかえる—これを要求ようきゅうすると体たいになる。

2. 主要しゅような環かんの比較ひかく

$\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$\mathbb{Z}/6\mathbb{Z} の零因子ぜろいんしの例れい：$\left[2\right]·\left[3\right]=\left[6\right]=\left[0\right]$[2] \cdot [3] = [6] = [0] だが $\left[2\right]\ne \left[0\right]$[2] \neq [0]、$\left[3\right]\ne \left[0\right]$[3] \neq [0]。原因げんいんは $\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("gcd")")]}(2,6)=2\ne 1$\gcd(2, 6) = 2 \neq 1 と $\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("gcd")")]}(3,6)=3\ne 1$\gcd(3, 6) = 3 \neq 1。素数そすう法ほうでは零因子ぜろいんしが生うじない。

3. 多項式環たこうしきかん $R\left[x\right]$R[x]

環かん $R$R 上うえの多項式たこうしきの集合しゅうごう $R\left[x\right]$R[x] も環かんをなす。$\mathbb{Z}\left[x\right]$\mathbb{Z}[x] では整数せいすう係数けいすうの多項式たこうしきが、$\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\left[x\right]$\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}[x] では mod $p$p 係数けいすうの多項式たこうしきが扱あつかえる。これが代数的だいすうてき符号ふごう理論りろん（BCH符号ふごうなど）の基盤きばんとなる。

4. イデアルと商環しょうかん

$I\subseteq R$I \subseteq R が両側りょうがわイデアルIdealであるとは：

例れい：$n\mathbb{Z}=\{nk\mid k\in \mathbb{Z}\}$n\mathbb{Z} = \{nk \mid k \in \mathbb{Z}\} は $\mathbb{Z}$\mathbb{Z} のイデアル。

商環しょうかん $R/I$R/I は剰余類じょうよるいの集合しゅうごうに演算えんざんを誘導ゆうどうしたものであり、$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} はその典型例てんけいれい（$I=n\mathbb{Z}$I = n\mathbb{Z}）である。

対応たいおうの整理せいり：

5. 環かんの準同型じゅんどうけい

写像しゃぞう $\phi :R\to S$\varphi: R \to S が

を満みたすとき環準同型かんじゅんどうけいという。$\ker \phi =\{a\in R\mid \phi (a)=0\}$\ker\varphi = \{a \in R \mid \varphi(a) = 0\} はイデアルになり、第一準同型定理だいいちじゅんどうけいていり $R/\ker \phi \cong \mathrm{I}\mathrm{m}\phi$R/\ker\varphi \cong \mathrm{Im}\,\varphi が成立せいりつする。