群ぐんの基本きほん

群ぐんGroup

集合しゅうごう $G$G と二項演算にこうえんざん $\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ast")")]}$\ast の組く $(G,\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ast")")]})$(G, \ast) が群ぐんGroupであるとは、以下いかの 4 公理こうりが成立せいりつすることである：

1. 閉包性へいほうせい：$a,b\in G⟹a\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ast")")]}b\in G$a, b \in G \implies a \ast b \in G
2. 結合法則けつごうほうそく：$\left(a\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ast")")]}b\right)\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ast")")]}c=a\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ast")")]}\left(b\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ast")")]}c\right)$(a \ast b) \ast c = a \ast (b \ast c)
3. 単位元たんいげんの存在そんざい：$e\in G$e \in G が存在そんざいし $e\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ast")")]}a=a\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ast")")]}e=a$e \ast a = a \ast e = a（すべての $a\in G$a \in G に対たいして）
4. 逆元ぎゃくげんの存在そんざい：各かく $a\in G$a \in G に対たいし $a\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ast")")]}{a}^{-1}=a^{-1}\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ast")")]}a=e$a \ast a^{-1} = a^{-1} \ast a = e となる $a^{-1}\in G$a^{-1} \in G が存在そんざいする

さらに $a\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ast")")]}b=b\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ast")")]}a$a \ast b = b \ast a（可換かかん）が成なり立たつとき可換群かかんぐんAbelian group（またはアーベル群ぐん）という。

位数いすうOrder

群ぐん $G$G の要素ようその個数こすう $\left|G\right|$|G| を $G$G の位数いすうOrderという。有限ゆうげんの位数いすうを持もつ群ぐんを有限群ゆうげんぐんFinite groupという。元げん $a\in G$a \in G の位数いすうとは $a^n=e$a^n = e となる最小さいしょうの正整数せいせいすう $n$n（存在そんざいしない場合ばあいは $\mathrm{\infty }$\infty）をいう。

1. なぜこの 4 公理こうりなのか

閉包性へいほうせいが必要ひつような理由りゆう：演算えんざんの結果けっかが $G$G の外そとへ出でると、その値あたいに対たいしてさらに演算えんざんすることができなくなる。$G=\{1,-1\}$G = \{1, -1\} と掛かけ算ざんはこれを満みたすが、$G=\left\{1\right\}$G = \{1\} と足たし算ざんは $1+1=2\notin G$1 + 1 = 2 \notin G のため成立せいりつしない。

結合法則けつごうほうそくが必要ひつような理由りゆう：$a\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ast")")]}b\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ast")")]}c$a \ast b \ast c の計算けいさん順序じゅんじょが括弧かっこの位置いちに依存いぞんしないことを保証ほしょうする。これがないと $n$n 個この元げんの積せきが一意いちいに定さだまらない。

単位元たんいげんが必要ひつような理由りゆう：「何なにもしない操作そうさ」の代表だいひょう。$a^0=e$a^0 = e、$a^{-n}=(a^{-1}{)}^n$a^{-n} = (a^{-1})^n などが意味いみを持もつ。

逆元ぎゃくげんが必要ひつような理由りゆう：方程式ほうていしき $a\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ast")")]}x=b$a \ast x = b が $G$G の中なかで解かい $x=a^{-1}\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ast")")]}b$x = a^{-1} \ast b を持もつことを保証ほしょうする。逆元ぎゃくげんがなければ「取とり消けし」ができない。

2. 主要しゅような群ぐんの一覧いちらん

$(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}{)}^{\times }$(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^\times の解説かいせつ：$p$p が素数そすうのとき $\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("gcd")")]}(a,p)=1$\gcd(a, p) = 1 な $\left[a\right]$[a] はすべて逆元ぎゃくげんを持もち（フェルマーの小定理しょうていり）、この集合しゅうごうは乗法じょうほうについて位数いすう $p-1$p-1 の群ぐんをなす。

3. 部分群ぶぶんぐん

$H\subseteq G$H \subseteq G が部分群ぶぶんぐんSubgroupであるとは：

判定条件はんていじょうけん（一行判定いちぎょうはんてい）：$H\ne \mathrm{\varnothing }$H \neq \emptyset かつ $a,b\in H⟹a{b}^{-1}\in H$a, b \in H \implies ab^{-1} \in H ならば $H$H は部分群ぶぶんぐん。

例れい：$2\mathbb{Z}=\{2k\mid k\in \mathbb{Z}\}$2\mathbb{Z} = \{2k \mid k \in \mathbb{Z}\}（偶数ぐうすう全体ぜんたい）は $(\mathbb{Z},+)$(\mathbb{Z}, +) の部分群ぶぶんぐん。

ラグランジュの定理ていり：$G$G が有限群ゆうげんぐんで $H$H が部分群ぶぶんぐんのとき $\left|H\right|$|H| は $\left|G\right|$|G| を割わり切きる。

4. 巡回群じゅんかいぐんと位数いすう

$G$G の元げん $a$a が生成せいせいする部分群ぶぶんぐん $⟨a⟩=\{a^n\mid n\in \mathbb{Z}\}$\langle a \rangle = \{a^n \mid n \in \mathbb{Z}\} を巡回群じゅんかいぐんCyclic groupという。元げん $a$a の位数いすうが $m$m のとき $|⟨a⟩|=m$|\langle a \rangle| = m。

例れい：$\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$\mathbb{Z}/6\mathbb{Z} では $\left[1\right]$[1] の位数いすうは 6、$\left[2\right]$[2] の位数いすうは 3（$\left[2\right]+\left[2\right]+\left[2\right]=\left[6\right]=\left[0\right]$[2]+[2]+[2]=[6]=[0]）、$\left[3\right]$[3] の位数いすうは 2。

5. 群準同型ぐんじゅんどうけい

写像しゃぞう $\phi :G\to H$\varphi: G \to H が

を満みたすとき群準同型ぐんじゅんどうけいGroup homomorphismという。準同型じゅんどうけいは単位元たんいげんを単位元たんいげんへ、逆元ぎゃくげんを逆元ぎゃくげんへ送おくる。全単射準同型ぜんたんしゃじゅんどうけいを群同型ぐんどうけいIsomorphismといい、$G\cong H$G \cong H と書かく。

ケイリーの定理ていり：任意にんいの群ぐん $G$G はある対称群たいしょうぐん $S_{\left|G\right|}$S_{|G|} の部分群ぶぶんぐんと同型どうけいである—群ぐんは常つねに「置換ちかんの群ぐん」として実現じつげんできる。

6. 群ぐんの現あらわれる場面ばめん

• 整数論せいすうろん：$(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}{)}^{\times }$(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^\times はフェルマーの小定理しょうていり・RSA暗号あんごうの基盤きばん
• 幾何きか：回転かいてんの群ぐん $SO\left(n\right)$SO(n)、対称たいしょうの群ぐん（結晶群けっしょうぐん）
• 物理ぶつり：リー群ぐん（$SU\left(2\right)$SU(2), $U\left(1\right)$U(1)）による素粒子そりゅうしの分類ぶんるい
• 方程式ほうていしき論ろん：ガロア群ぐんが方程式ほうていしきの根号こんごうによる解かいの存在そんざいを決きめる