二次関数にじかんすうの基本きほん

date2026-07-02document_iddoc_fb0368dba32e8925bde68496bbc300aadescription二次関数を、グラフの形を平方完成で読む見方から整理し、頂点・軸・最大最小と方程式不等式のつながりまで説明する。prerequisites平方完成 / 一次関数 / 座標平面の基本type講義content_typelecturestatusactive

mathalgebrahighschoollecture

1導入どうにゅう

この講義こうぎで中心ちゅうしんに置おく発想はっそうは、二次関数にじかんすうを $y = a x^{2} + b x + c$ の係数けいすうだけで見みるのでなく、平方完成へいほうかんせいして頂点ちょうてんと軸じくを読よむことである。

二次関数にじかんすうの問題もんだいは、最大値さいだいち・最小値さいしょうち、共有点きょうゆうてん、不等式ふとうしきなど見みかけが違ちがっても、結局けっきょくは放物線ほうぶつせんの位置いちと向むきを見みている。この講義こうぎでは、その見方みかたを固かためる。

2用語ようごと定義ていぎ

二次関数にじかんすうQuadratic function とは、 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ の形かたちの関数かんすうである。

頂点ちょうてんVertex とは、放物線ほうぶつせんの向むきが切きり替かわる点てんである。

3方針ほうしん

まず平方完成へいほうかんせいで

y = a (x - p)^{2} + q

の形かたちへ直なおする。すると頂点ちょうてん $(p, q)$ 、軸じく $x = p$ 、開ひらく向むきがすぐ見みえる。そのうえで方程式ほうていしきや不等式ふとうしきをグラフの交点こうてんや上下関係じょうげかんけいとして読よむ。

4直感的ちょっかんてきな説明せつめい

二次関数にじかんすうは「U 字じか逆向ぎゃくむきの U 字じの曲線きょくせん」である。したがって、真まん中なかにある頂点ちょうてんがどこか、どちら向むきに開ひらくかが分わかれば、増減ぞうげんも最大最小さいだいさいしょうもかなり決きまる。

5厳密げんみつな説明せつめい

5.11. 平方完成へいほうかんせい

y = a x^{2} + b x + c

を平方完成へいほうかんせいすると

y = a {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a}

である。したがって頂点ちょうてんは

(- \frac{b}{2 a}, - \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a})

である。

5.22. 最大値さいだいちと最小値さいしょうち

$a > 0$ なら下したに凸とつなので最小値さいしょうちを持もち、 $a < 0$ なら上うえに凸とつなので最大値さいだいちを持もつ。つまり、係数けいすう $a$ の符号ふごうで上下じょうげの向むきが決きまる。

5.33. 方程式ほうていしき・不等式ふとうしきとのつながり

a x^{2} + b x + c = 0

は、放物線ほうぶつせんと $x$ 軸じくの交点こうてんを問とう式しきである。また

a x^{2} + b x + c > 0

は、放物線ほうぶつせんが $x$ 軸じくより上うえにある部分ぶぶんを問とっている。

6別べつの見方みかた

計算けいさんとしては平方完成へいほうかんせいで頂点ちょうてんを出だす分野ぶんやである。図形ずけいとしては、放物線ほうぶつせんの位置いちと軸じくを読よんで問題もんだいを解とく分野ぶんやである。

7見分みわけ方かた

最大最小さいだいさいしょうが出でたら、まず頂点ちょうてんを調しらべる。
不等式ふとうしきが出でたら、グラフと $x$ 軸じくの上下関係じょうげかんけいへ直なおする。
共有点きょうゆうてんが出でたら、2 つの式しきを連立れんりつして交点こうてんとして見みる。

8最終形さいしゅうけい

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] y = a (x - p)^{2} + q

9一言ひとことでいうと

二次関数にじかんすうでは、平方完成へいほうかんせいでグラフの骨格こっかくを先さきに見みることが基本きほんである。