図形ずけいと方程式ほうていしきの基本きほん

1導入どうにゅう

本講義ほんこうぎでは、平面上へいめんじょうの点てん $P(x,y)$P(x,y) が満みたす条件じょうけんを方程式ほうていしきへ変換へんかんし、その方程式ほうていしきが表あらわす図形ずけいを解釈かいしゃくする。この対応たいおうを直線ちょくせん、円えん、距離条件きょりじょうけんについて説明せつめいする。

2軌跡きせきと方程式ほうていしき

ある条件じょうけんを満みたすすべての点てんからなる集合しゅうごうを、その点てんの軌跡きせきlocusという。$P(x,y)$P(x,y) の条件じょうけんと方程式ほうていしき $F(x,y)=0$F(x,y)=0 が同値どうちであるとき、

が成立せいりつする。この双方向そうほうこうを確認かくにんすることにより、方程式ほうていしきが余分よぶんな点てんを含ふくまず、必要ひつような点てんを欠かかないことが保証ほしょうされる。

3二点間にてんかんの距離きょり

2 点てん $A(x_1,y_1)$A(x_1,y_1)、$B(x_2,y_2)$B(x_2,y_2) の距離きょりdistanceは、三平方さんへいほうの定理ていりにより

である。この公式こうしきは、幾何学的きかがくてきな距離条件きょりじょうけんを方程式ほうていしきへ変換へんかんする基礎きそとなる。

4直線ちょくせん

$x$x 座標ざひょうが 1 増加ぞうかすると $y$y 座標ざひょうが $m$m 増加ぞうかする直線ちょくせんは、$y=mx+n$y=mx+n と表あらわされる。$m$m を傾かたむき、$n$n を $y$y 切片せっぺんという。ただし、鉛直線えんちょくせんはこの形かたちでは表現ひょうげんできず、$x=a$x=a と表あらわす。両者りょうしゃを含ふくむ一般形いっぱんけいは

である。

5円えん

中心ちゅうしん $C(a,b)$C(a,b) からの距離きょりが $r>0$r>0 である点てん $P(x,y)$P(x,y) の軌跡きせきを円えんという。距離公式きょりこうしきから

であり、両辺りょうへんが非負ひふであるため、二乗にじょうしても同値性どうちせいが保存ほぞんされる。したがって、

を得える。逆ぎゃくに、この方程式ほうていしきを満みたす点てんでは $CP=r$CP=r が成立せいりつするため、この方程式ほうていしきは円全体えんぜんたいを正確せいかくに表あらわす。

6平方完成へいほうかんせいによる標準形ひょうじゅんけい

たとえば、

において

と平方完成へいほうかんせいすると、

を得える。したがって、この方程式ほうていしきは中心ちゅうしん $(1,-2)$(1,-2)、半径はんけい $3$3 の円えんを表あらわす。

7要約ようやく

• 軌跡きせきを求もとめるには、点てん $P(x,y)$P(x,y) の条件じょうけんと方程式ほうていしきの同値性どうちせいを確認かくにんする。
• 直線ちょくせんの一般形いっぱんけいは $ax+by+c=0$ax+by+c=0 であり、鉛直線えんちょくせんも含ふくむ。
• 円えんの標準形ひょうじゅんけいは $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2 であり、平方完成へいほうかんせいにより中心ちゅうしんと半径はんけいを特定とくていできる。

Coordinate Geometry Basics

1Introduction

This lecture converts conditions satisfied by a point $P(x,y)$P(x,y) in the plane into equations and interprets the geometric sets represented by those equations. The correspondence is developed for lines, circles, and distance conditions.

2Loci and equations

The locus of a point is the set of all its positions satisfying a given condition. If a condition on $P(x,y)$P(x,y) is equivalent to an equation $F(x,y)=0$F(x,y)=0, then

Both directions must be verified: the equation must neither introduce extraneous points nor omit required points.

3Distance between two points

For $A(x_1,y_1)$A(x_1,y_1) and $B(x_2,y_2)$B(x_2,y_2), the Pythagorean theorem gives the distance

This formula converts geometric distance conditions into equations.

4Lines

A nonvertical line whose $y$y-coordinate increases by $m$m whenever its $x$x-coordinate increases by one has equation $y=mx+n$y=mx+n. Here $m$m is the slope and $n$n is the $y$y-intercept. A vertical line cannot be expressed in this form and instead has equation $x=a$x=a. The general form covering both cases is

5Circles

A circle with center $C(a,b)$C(a,b) and radius $r>0$r>0 is the locus of points $P(x,y)$P(x,y) whose distance from $C$C is $r$r. Hence

Both sides are nonnegative, so squaring preserves equivalence and gives

Conversely, every point satisfying this equation has $CP=r$CP=r. Thus the equation represents precisely the entire circle.

6Completing the square

For example, completing the square in

gives

and therefore

The equation represents the circle with center $(1,-2)$(1,-2) and radius $3$3.

7Summary

• To determine a locus, verify the equivalence between the condition on $P(x,y)$P(x,y) and its equation.
• The general line equation $ax+by+c=0$ax+by+c=0 includes vertical lines.
• The standard circle equation is $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2; completing the square identifies its center and radius.