図形ずけいの領域りょういき

1導入どうにゅう

本講義ほんこうぎでは、2 変数へんすうの不等式ふとうしきを平面上へいめんじょうの点てんの条件じょうけんとして解釈かいしゃくする。一次式いちじしきと中心ちゅうしんからの距離きょりの二乗にじょうについて、等式とうしきが境界きょうかいを表あらわし、不等号ふとうごうが境界きょうかいのどちら側がわを選択せんたくするかを説明せつめいする。

2領域りょういきと境界きょうかい

ある条件じょうけんを満みたす平面上へいめんじょうの点てんの集合しゅうごうを領域りょういきregionという。領域りょういきの内外ないがいを分わける点てんの集合しゅうごうを境界きょうかいboundaryという。一般いっぱんの不等式ふとうしきでは、対応たいおうする等式とうしきの解集合かいしゅうごうがそのまま境界きょうかいになるとは限かぎらない。以下いかでは、境界きょうかいを正確せいかくに特定とくていできる一次式いちじしきと円えんを扱あつかう。

3直線ちょくせんが定さだめる半平面はんへいめん

$(a,b)\ne (0,0)$(a,b)\ne(0,0) とし、

とする。$b\ne 0$b\ne0 のとき、$L(x,y)=b\{y-(-ax-c)/b\}$L(x,y)=b\{y-(-ax-c)/b\} であるため、直線ちょくせん $y=(-ax-c)/b$y=(-ax-c)/b の上下じょうげで $L$L の符号ふごうが一定いっていとなり、直線ちょくせんを横断おうだんすると符号ふごうが反転はんてんする。$b=0$b=0 のときは $a\ne 0$a\ne0 であり、$L(x,y)=a(x+c/a)$L(x,y)=a(x+c/a) であるため、鉛直線えんちょくせん $x=-c/a$x=-c/a の左右さゆうについて同様どうようである。したがって、直線ちょくせん $L(x,y)=0$L(x,y)=0 は平面へいめんを 2 つの半平面はんへいめんhalf-planesに分割ぶんかつし、$L(x,y)\ge 0$L(x,y)\geq0 は一方いっぽうの半平面はんへいめんとその境界線きょうかいせんを表あらわす。

境界線上きょうかいせんじょうにない代表点だいひょうてんを 1 つ選えらび、その座標ざひょうを $L$L に代入だいにゅうすれば、どちらの半平面はんへいめんが不等式ふとうしきを満みたすかを判定はんていできる。原点げんてんが境界線上きょうかいせんじょうにない場合ばあいは、$(0,0)$(0,0) が簡便かんべんな代表点だいひょうてんとなる。

3.1例れい

の境界きょうかいは $x+y=2$x+y=2 である。$(0,0)$(0,0) を代入だいにゅうすると $0\le 2$0\leq2 が成立せいりつするため、求もとめる領域りょういきは原点げんてんを含ふくむ側がわであり、境界線きょうかいせんも含ふくむ。

4円えんが定さだめる領域りょういき

は、点てん $(x,y)$(x,y) と中心ちゅうしん $(a,b)$(a,b) の距離きょりの二乗にじょうである。したがって、

は円えんの内部ないぶ、$D(x,y)=r^2$D(x,y)=r^2 は円周えんしゅう、$D(x,y)>r^2$D(x,y)>r^2 は円えんの外部がいぶを表あらわす。$D(x,y)\le r^2$D(x,y)\leq r^2 は内部ないぶと円周えんしゅうの和集合わしゅうごう、すなわち閉円板へいえんばんを表あらわす。

5複数条件ふくすうじょうけんの共通部分きょうつうぶぶん

複数ふくすうの不等式ふとうしきを同時どうじに満みたす領域りょういきは、各不等式かくふとうしきが表あらわす領域りょういきの共通部分きょうつうぶぶんである。各境界かくきょうかいを特定とくていし、各条件かくじょうけんが選択せんたくする側がわを判定はんていした後あとに、それらの共通部分きょうつうぶぶんを採用さいようする。

6要約ようやく

• 本講義ほんこうぎで扱あつかう一次式いちじしきと円えんでは、対応たいおうする等式とうしきが領域りょういきの境界きょうかいを与あたえる。
• 代表点だいひょうてんへの代入だいにゅうにより、一次不等式いちじふとうしきが指定していする半平面はんへいめんを判定はんていできる。
• 円えんに関かんする不等式ふとうしきは、中心ちゅうしんからの距離きょりと半径はんけいの比較ひかくとして解釈かいしゃくする。
• 複数条件ふくすうじょうけんを同時どうじに課かす場合ばあい、求もとめる領域りょういきは各領域かくりょういきの共通部分きょうつうぶぶんである。

Geometric Regions

1Introduction

This lecture interprets inequalities in two variables as conditions on points in the plane. For linear expressions and squared distances from a center, it explains how an equation specifies a boundary and an inequality selects one side of that boundary.

2Regions and boundaries

A region is a set of points in the plane satisfying a condition. Its boundary is the set separating points inside the region from points outside it. For a general inequality, the solution set of the corresponding equation need not be exactly the boundary. The cases below are restricted to linear expressions and circles, for which the boundary can be identified precisely.

3Half-planes determined by a line

Let $(a,b)\ne (0,0)$(a,b)\ne(0,0) and define

If $b\ne 0$b\ne0, then $L(x,y)=b\{y-(-ax-c)/b\}$L(x,y)=b\{y-(-ax-c)/b\}. Its sign is constant on each side of the line $y=(-ax-c)/b$y=(-ax-c)/b and reverses upon crossing the line. If $b=0$b=0, then $a\ne 0$a\ne0 and $L(x,y)=a(x+c/a)$L(x,y)=a(x+c/a), which gives the same conclusion on the two sides of the vertical line $x=-c/a$x=-c/a. Thus $L(x,y)=0$L(x,y)=0 divides the plane into two half-planes, and $L(x,y)\ge 0$L(x,y)\geq0 represents one half-plane together with its boundary line.

Choose a test point that does not lie on the boundary and substitute its coordinates into $L$L. The resulting sign identifies the half-plane satisfying the inequality. When the origin is not on the boundary, $(0,0)$(0,0) is often a convenient test point.

3.1Example

The boundary of

is $x+y=2$x+y=2. Substitution of $(0,0)$(0,0) gives $0\le 2$0\leq2, so the required region is the side containing the origin, including the boundary line.

4Regions determined by a circle

The quantity

is the squared distance from $(x,y)$(x,y) to the center $(a,b)$(a,b). Therefore $D(x,y)<r^2$D(x,y)<r^2 describes the interior of the circle, $D(x,y)=r^2$D(x,y)=r^2 its circumference, and $D(x,y)>r^2$D(x,y)>r^2 its exterior. The inequality $D(x,y)\le r^2$D(x,y)\leq r^2 describes the closed disk: the union of the interior and circumference.

5Intersections of conditions

The region satisfying several inequalities simultaneously is the intersection of their individual regions. Identify every boundary, determine the side selected by each condition, and then retain their common part.

6Summary

• In the linear and circular cases treated here, the corresponding equation specifies the boundary of the region.
• Substitution of a test point determines the half-plane selected by a linear inequality.
• A circular inequality compares the distance from the center with the radius.
• Simultaneous conditions describe the intersection of their regions.