不等式ふとうしきの基本きほん

date2026-07-02document_iddoc_8c7981571d29e9f862d4fb3760e56e0edescription不等式を、大小関係を保つ変形と場合分けの見方から整理し、二次不等式や文字の条件つき変形まで説明する。prerequisites一次方程式 / 二次関数の基本 / 数の大小関係type講義content_typelecturestatusactive

mathalgebrahighschoollecture

1導入どうにゅう

この講義こうぎで中心ちゅうしんに置おく発想はっそうは、等式とうしきと同おなじ感覚かんかくで変形へんけいせず、どの操作そうさが大小関係だいしょうかんけいを保たもち、どの操作そうさで向むきが変かわるかを意識いしきすることである。

不等式ふとうしきで誤あやまりやすいのは、両辺りょうへんを負ふの数かずで掛かけたり割わったりしても、そのまま不等号ふとうごうの向むきを変かえないことである。この講義こうぎでは、変形へんけいの可否かひと場合分ばあいわけを中心ちゅうしんに整理せいりする。

2用語ようごと定義ていぎ

不等式ふとうしきInequality とは、2 つの量りょうの大小関係だいしょうかんけいを $<, [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"le\")")], >, [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"ge\")")]$ で表あらわしたものである。

3方針ほうしん

まず、等式とうしきと同おなじように足たしてよいか、掛かけてよいかを確認かくにんする。そのあと、式しきの符号ふごうが変かわりうる場所ばしょでは場合分ばあいわけをする。

4直感的ちょっかんてきな説明せつめい

不等式ふとうしきは「数直線すうちょくせんのどちら側がわにあるか」を表あらわしている。したがって負ふの数かずを掛かけると、数直線すうちょくせんを 0 を中心ちゅうしんに裏返うらがえすことになり、向むきが逆ぎゃくになる。

5厳密げんみつな説明せつめい

5.11. 保たもたれる操作そうさ

$a < b$ のとき、どんな実数じっすう $c$ に対たいしても

a + c < b + c

である。また $c > 0$ なら

a c < b c

である。

5.22. 向むきが変かわる操作そうさ

$c < 0$ なら

a c > b c

である。したがって、負ふの数かずで掛かけたり割わったりするときは、不等号ふとうごうの向むきが反転はんてんする。

5.33. 二次にじ不等式ふとうしき

たとえば

x^{2} - 3 x + 2 > 0

は

(x - 1) (x - 2) > 0

と因数分解いんすうぶんかいできるので、積せきが正せいになる範囲はんいを考かんがえる。これはグラフで見みれば、放物線ほうぶつせんが $x$ 軸じくより上うえにある範囲はんいである。

6別べつの見方みかた

代数的だいすうてきには因数分解いんすうぶんかいや変形へんけいで符号ふごうを追おう分野ぶんやである。図形的ずけいてきには、数直線すうちょくせんやグラフのどちら側がわにあるかを見みる分野ぶんやである。

複数ふくすうの変数へんすうを含ふくむ不等式ふとうしきでは、同次性どうじせいも重要じゅうようである。両辺りょうへんが同おなじ次数じすうなら、全体ぜんたいを正せいの倍率ばいりつで拡大縮小かくだいしゅくしょうしても真偽しんぎが変かわらないため、 $x + y = 1$ や $y = 1$ のように規模きぼを固定こていして考かんがえられる場合ばあいがある。ただし、固定こていする量りょうが 0 にならないこと、正せいの倍率ばいりつでその値あたいへ到達とうたつできることを確認かくにんする。

data/lecture/math/algebra/homogeneous-functions-and-inequalities.lecture.n.md data/lecture/math/algebra/completing-squares-and-quadratic-forms.lecture.n.md data/lecture/math/algebra/mean-inequalities-and-homogeneity.lecture.n.md data/lecture/math/algebra/homogeneity-and-standard-inequality-techniques.lecture.n.md

7見分みわけ方かた

文字もじで割わるときは、その文字もじの符号ふごうが確定かくていしているかを先さきに確認かくにんする。
二次にじ不等式ふとうしきが出でたら、因数分解いんすうぶんかいかグラフで範囲はんいを見みる。
両辺りょうへんが同おなじ次数じすうなら、同次性どうじせいを確認かくにんし、正せいの倍率ばいりつで正規化せいきかできるかを考かんがえる。

8最終形さいしゅうけい

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] 負の数を掛ける・割ると不等号は反転する

9一言ひとことでいうと

不等式ふとうしきでは、変形へんけいそのものよりも「その変形へんけいが大小関係だいしょうかんけいをどう変かえるか」を見みることが大切たいせつである。