平方和完成へいほうわかんせいと二次形式にじけいしき

date2026-07-14document_iddoc_260a8d1557e07aa790053fb6fdfc87abdescription平方完成を平方和完成へ拡張し、二次式が常に非負になる条件を二次形式の符号判定として整理する講義である。prerequisites二次関数の基本 / 不等式の基本 / 多項式type講義content_typelecturestatusactive

mathalgebraquadratic-forminequalitylecture

1導入どうにゅう

この講義こうぎでは、二次式にじしきを平方へいほうの和わに直なおせると、符号ふごうが見みえることを説明せつめいする。

1 変数へんすうでは、

a x^{2} + b x + c

を

a {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} + \frac{4 a c - b^{2}}{4 a}

と平方完成へいほうかんせいする。多変数たへんすうでは、これを平方和完成へいほうわかんせいとして行おこなう。

2なぜ平方へいほうを作つくるのか

平方へいほうは常つねに 0 以上いじょうである。したがって、式しきを

(何か)^{2} + (何か)^{2}

の形かたちにできれば、不等式ふとうしきや最小値さいしょうちが見みえやすくなる。

この発想はっそうは、線型代数せんけいだいすうの二次形式にじけいしきにつながる。

data/lecture/math/linear-algebra/quadratic-forms-and-positive-definite-matrices.lecture.n.md

3公式こうしき 1：1 変数へんすうの平方完成へいほうかんせい

3.1仮定かてい

$a \neq 0$ とする。

3.2結論けつろん

a x^{2} + b x + c = a {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} + \frac{4 a c - b^{2}}{4 a}

である。

3.3証明しょうめい

右辺うへんを展開てんかいする。

\begin{aligned} a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2+\frac{4ac-b^2}{4a} &=a\left(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{b^2}{4a^2}\right)+\frac{4ac-b^2}{4a}\\ &=ax^2+bx+\frac{b^2}{4a}+\frac{4ac-b^2}{4a}\\ &=ax^2+bx+c. \end{aligned}\begin{aligned} a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2+\frac{4ac-b^2}{4a} &=a\left(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{b^2}{4a^2}\right)+\frac{4ac-b^2}{4a}\\ &=ax^2+bx+\frac{b^2}{4a}+\frac{4ac-b^2}{4a}\\ &=ax^2+bx+c. \end{aligned}

よって等式とうしきが成立せいりつする。□

4公式こうしき 2：2 変数へんすうの二次形式にじけいしきの平方和完成へいほうわかんせい

4.1仮定かてい

q (x, y) = a x^{2} + 2 b x y + c y^{2}

とし、 $a \neq 0$ とする。

4.2結論けつろん

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] q (x, y) = a {(x + \frac{b}{a} y)}^{2} + (c - \frac{b^{2}}{a}) y^{2}

である。

4.3証明しょうめい

右辺うへんを展開てんかいする。

\begin{aligned} a\left(x+\frac{b}{a}y\right)^2+ \left(c-\frac{b^2}{a}\right)y^2 &=a\left(x^2+\frac{2b}{a}xy+\frac{b^2}{a^2}y^2\right) +cy^2-\frac{b^2}{a}y^2\\ &=ax^2+2bxy+\frac{b^2}{a}y^2+cy^2-\frac{b^2}{a}y^2\\ &=ax^2+2bxy+cy^2. \end{aligned}\begin{aligned} a\left(x+\frac{b}{a}y\right)^2+ \left(c-\frac{b^2}{a}\right)y^2 &=a\left(x^2+\frac{2b}{a}xy+\frac{b^2}{a^2}y^2\right) +cy^2-\frac{b^2}{a}y^2\\ &=ax^2+2bxy+\frac{b^2}{a}y^2+cy^2-\frac{b^2}{a}y^2\\ &=ax^2+2bxy+cy^2. \end{aligned}

よって結論けつろんが成立せいりつする。□

5定理ていり 1：2 変数へんすうの非負性ひふせいの条件じょうけん

5.1仮定かてい

q (x, y) = a x^{2} + 2 b x y + c y^{2}

とし、 $a > 0$ とする。

5.2結論けつろん

q (x, y) [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"ge\")")] 0 (forall x, y)

となるための必要十分条件ひつようじゅうぶんじょうけんは

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] a c - b^{2} [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"ge\")")] 0

である。

5.3証明しょうめい

公式こうしき 2 より、

q (x, y) = a {(x + \frac{b}{a} y)}^{2} + \frac{a c - b^{2}}{a} y^{2}

である。

まず $a c - b^{2} [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"ge\")")] 0$ とする。 $a > 0$ なので、第一項だいいっこうは 0 以上いじょうであり、第二項だいにこうも 0 以上いじょうである。よって $q (x, y) [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"ge\")")] 0$ である。

逆ぎゃくに、 $q (x, y) [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"ge\")")] 0$ が任意にんいの $x, y$ で成立せいりつするとする。 $y = 1$ 、 $x = - b / a$ と置おくと、

q (- \frac{b}{a}, 1) = \frac{a c - b^{2}}{a}

である。 $a > 0$ かつ $q [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"ge\")")] 0$ だから、

\frac{a c - b^{2}}{a} [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"ge\")")] 0

であり、 $a c - b^{2} [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"ge\")")] 0$ を得える。□

6行列ぎょうれつとしての見方みかた

q (x, y) = a x^{2} + 2 b x y + c y^{2}

は

(\begin{matrix} x & y \end{matrix}) (\begin{matrix} a & b \\ b & c \end{matrix}) (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix})

と書かける。この行列ぎょうれつが正定値せいていちまたは半正定値はんせいていちかどうかが、二次形式にじけいしきの符号ふごうを決きめる。

高校こうこう範囲はんいでは平方和完成へいほうわかんせいで見みる。大学だいがく初年級しょねんきゅうでは、対称行列たいしょうぎょうれつの固有値こゆうちで見みる。

7見分みわけ方かた

二次式にじしきの最小値さいしょうちなら、まず平方完成へいほうかんせいを考かんがえる。
$x^{2}, x y, y^{2}$ が混まざるなら、平方和完成へいほうわかんせいを考かんがえる。
全すべての $x, y$ で非負ひふかを問とうなら、二次形式にじけいしきの符号ふごうを見みる。

8一言ひとことでいうと

平方和完成へいほうわかんせいは、二次式にじしきを平方へいほうの和わに直なおして符号ふごうを見みる方法ほうほうである。条件じょうけん $a c - b^{2} [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"ge\")")] 0$ は、2 変数へんすうの二次形式にじけいしきが非負ひふになる条件じょうけんとして現あらわれる。

平方和完成へいほうわかんせいと二次形式にじけいしき

1導入どうにゅう

2なぜ平方へいほうを作つくるのか

3公式こうしき 1：1 変数へんすうの平方完成へいほうかんせい

3.1仮定かてい

3.2結論けつろん

3.3証明しょうめい

4公式こうしき 2：2 変数へんすうの二次形式にじけいしきの平方和完成へいほうわかんせい

4.1仮定かてい

4.2結論けつろん

4.3証明しょうめい

5定理ていり 1：2 変数へんすうの非負性ひふせいの条件じょうけん

5.1仮定かてい

5.2結論けつろん

5.3証明しょうめい

6行列ぎょうれつとしての見方みかた

7見分みわけ方かた

8一言ひとことでいうと

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