平均へいきんの大小関係だいしょうかんけいと同次性どうじせい

3.1仮定かてい

$x_1,\dots ,x_n>0$x_1,\ldots,x_n>0、$\lambda >0$\lambda>0 とする。

3.2結論けつろん

である。

3.3証明しょうめい

RMS については、

である。AM については、

である。GM については、

である。HM については、

である。□

この命題めいだいにより、平均へいきんの不等式ふとうしきは同次不等式どうじふとうしきとして扱あつかえる。

4.1仮定かてい

$x_1,\dots ,x_n\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ge")")]}0$x_1,\ldots,x_n\ge0 とする。

4.2結論けつろん

である。

4.3証明しょうめい

$A=(x_1+\cdots +x_n)/n$A=(x_1+\cdots+x_n)/n とする。平方へいほうの和わは 0 以上いじょうなので、

である。展開てんかいすると、

である。$\sum x_i=nA$\sum x_i=nA だから、

となる。よって

である。両辺りょうへんは 0 以上いじょうなので、平方根へいほうこんを取とって $R\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ge")")]}A$R\ge A を得える。□

5.1仮定かてい

$x_1,\dots ,x_n>0$x_1,\ldots,x_n>0 とする。

5.2結論けつろん

である。

5.3証明しょうめい

初等的しょとうてきに証明しょうめいする。考かんがえ方かたは、まず 2 個この場合ばあいを示しめし、それを 4 個こ、8 個こへ増ふやし、最後さいごに個数こすうを減へらすことで任意にんいの $n$n に戻もどす、というものである。

まず $u,v>0$u,v>0 に対たいして、

である。展開てんかいすると

なので、

である。したがって AM $\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ge")")]}$\ge GM は 2 個この場合ばあいに成立せいりつする。

次つぎに、AM $\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ge")")]}$\ge GM が $n$n 個この正せいの数かずで成立せいりつすると仮定かていする。$2n$2n 個この正せいの数かずを前半ぜんはんと後半こうはんに分わけ、それぞれの算術平均さんじゅつへいきんを $A_1,A_2$A_1,A_2、幾何平均きかへいきんを $G_1,G_2$G_1,G_2 とする。仮定かていより

である。$2n$2n 個こ全体ぜんたいの幾何平均きかへいきんは

であり、$2n$2n 個こ全体ぜんたいの算術平均さんじゅつへいきんは

である。よって 2 個この場合ばあいの AM $\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ge")")]}$\ge GM を $A_1,A_2$A_1,A_2 に使つかうと、

である。したがって、$n$n 個こで成立せいりつすれば $2n$2n 個こでも成立せいりつする。これにより、AM $\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ge")")]}$\ge GM は $2,4,8,\dots$2,4,8,\ldots 個この場合ばあいに成立せいりつする。

最後さいごに、$m$m 個こで AM $\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ge")")]}$\ge GM が成立せいりつするなら、$m-1$m-1 個こでも成立せいりつすることを示しめす。$x_1,\dots ,x_{m-1}>0$x_1,\ldots,x_{m-1}>0 の算術平均さんじゅつへいきんを $A$A とする。ここに $x_m=A$x_m=A を付つけ加くわえると、$m$m 個この算術平均さんじゅつへいきんも $A$A である。$m$m 個この AM $\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ge")")]}$\ge GM より、

である。両辺りょうへんは正せいなので $m$m 乗じょうして、

を得える。$A>0$A>0 で割わると、

である。したがって

となり、$m-1$m-1 個こでも AM $\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ge")")]}$\ge GM が成立せいりつする。

任意にんいの $n$n に対たいして、$n$n 以上いじょうの 2 の累乗るいじょう $2^r$2^r を取とる。AM $\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ge")")]}$\ge GM は $2^r$2^r 個こで成立せいりつし、そこから個数こすうを 1 つずつ減へらせるので、$n$n 個こでも成立せいりつする。□

6.1仮定かてい

$x_1,\dots ,x_n>0$x_1,\ldots,x_n>0 とする。

6.2結論けつろん

である。

6.3証明しょうめい

不等式ふとうしき 2 を $1/x_1,\dots ,1/x_n$1/x_1,\ldots,1/x_n に適用てきようする。すると

である。両辺りょうへんは正せいなので逆数ぎゃくすうを取とると不等号ふとうごうの向むきが反転はんてんし、

である。つまり $H\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("le")")]}G$H\le G である。□