同次関数どうじかんすうと同次式どうじしき

date2026-07-14document_iddoc_82aedabc1a7d07546a406e1e4423191adescription同次関数と同次式を、拡大縮小に対する振る舞い・同次多項式・同次成分・斉次化の観点から整理する講義である。prerequisites多項式 / 式の展開 / 次数type講義content_typelecturestatusactive

mathalgebrahomogeneouspolynomiallecture

1導入どうにゅう

この講義こうぎでは、式しきを「変数へんすうを同時どうじに拡大かくだいしたとき、全体ぜんたいがどう拡大かくだいするか」で分類ぶんるいする。

たとえば

P (x, y) = x^{2} + x y + y^{2}

では、 $x, y$ をどちらも $λ$ 倍ばいすると、

P (λ x, λ y) = λ^{2} x^{2} + λ^{2} x y + λ^{2} y^{2} = λ^{2} P (x, y)

となる。このように、入力にゅうりょくを同時どうじに拡大縮小かくだいしゅくしょうしたとき、値あたいが一定いっていの次数じすうで拡大縮小かくだいしゅくしょうする関数かんすうを、同次関数どうじかんすうという。一般いっぱんの関数かんすうでは正せいの倍率ばいりつだけを見みることが多おおく、多項式たこうしきでは任意にんいのスカラーに対たいする性質せいしつとして扱あつかう。この違ちがいは後あとで明確めいかくに分わける。

代数だいすうでは、特とくに同次多項式どうじたこうしきが重要じゅうようである。理由りゆうは、同次多項式どうじたこうしきでは全すべての項こうが同おなじ全次数ぜんじすうを持もつため、次数じすうで式しきの構造こうぞうを分解ぶんかいできるからである。

data/lecture/math/algebra/polynomials.lecture.n.md

2なぜこの見方みかたを使つかうのか

多項式たこうしきを扱あつかうとき、項こうごとの次数じすうが混まざっていると、拡大かくだいしたときの振ふる舞まいが一様いちようではない。

たとえば

Q (x, y) = x^{2} + y + 1

では、

Q (λ x, λ y) = λ^{2} x^{2} + λ y + 1

となり、 $λ^{2}$ 、 $λ$ 、 $1$ が混まざる。この式しきは一ひとつの倍率ばいりつでは整理せいりできない。

一方いっぽう、同次多項式どうじたこうしきでは、全すべての項こうが同おなじ次数じすうなので、

P (λ x) = λ^{d} P (x)

という一ひとつの法則ほうそくで動うごく。これにより、

項こうを次数じすうごとに分わける。
方程式ほうていしき $P = 0$ を方向ほうこうの問題もんだいとして見みる。
非同次ひどうじの多項式たこうしきを、変数へんすうを 1 個こ増ふやして同次どうじにする。
不等式ふとうしきで規模きぼを固定こていし、比ひだけの問題もんだいに直なおす。

という操作そうさが自然しぜんに現あらわれる。

3用語ようごと定義ていぎ

3.1同次関数どうじかんすう

$V$ を実数じっすうのベクトル空間くうかんとする。関数かんすう $f : V \to R$ が $d$ 次じの正同次関数せいどうじかんすうpositively homogeneous functionであるとは、任意にんいの $λ > 0$ と $x \in V$ について

f (λ x) = λ^{d} f (x)

が成立せいりつすることである。

ふつう不等式ふとうしきや解析かいせきで同次関数どうじかんすうというときは、この $λ > 0$ に対たいする正同次性せいどうじせいを使つかうことが多おおい。たとえば

f (x, y) = \sqrt{x^{2} + y^{2}}

は $λ > 0$ なら $f (λ x, λ y) = λ f (x, y)$ である。しかし $λ < 0$ では $f (λ x, λ y) = | λ | f (x, y)$ となるので、 $λ f (x, y)$ とは一致いっちしない。

3.2同次式どうじしき・同次多項式どうじたこうしき

多変数たへんすうの多項式たこうしきは、単項式たんこうしきを有限個ゆうげんこ足たした式しきである。このページでは、各かく単項式たんこうしきに含ふくまれる変数へんすうの指数しすうの合計ごうけいを見みる。

単項式たんこうしき

x_{1^{a_{1}}} x_{2^{a_{2}}} \dots x_{n^{a_{n}}}

の全次数ぜんじすうは

a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}

である。

多項式たこうしきの全すべての単項式たんこうしきが同おなじ全次数ぜんじすうを持もつとき、その多項式たこうしきを同次多項式どうじたこうしきhomogeneous polynomialまたは同次式どうじしきhomogeneous formという。

同次多項式どうじたこうしきでは、正せいの $λ$ だけでなく、係数けいすうの体たいの任意にんいのスカラー $λ$ に対たいして

P (λ x) = λ^{d} P (x)

が成立せいりつする。このページでは、一般いっぱんの関数かんすうでは $λ > 0$ の正同次性せいどうじせいを、多項式たこうしきでは任意にんいのスカラーに対たいする強つよい同次性どうじせいを区別くべつして使つかう。

たとえば

x^{2} + x y + y^{2}

は 2 次じの同次多項式どうじたこうしきである。各項かくこうの全次数ぜんじすうがすべて 2 だからである。

一方いっぽう、

x^{2} + y + 1

は同次多項式どうじたこうしきではない。全次数ぜんじすう 2、1、0 の項こうが混まざっているからである。

4注意ちゅうい：「同次どうじ」という言葉ことばの違ちがい

線型代数せんけいだいすうや微分方程式びぶんほうていしきでは、

A x = 0, L x = 0

のように右辺うへんが 0 の方程式ほうていしきを同次方程式どうじほうていしきという。

このページの同次関数どうじかんすうは、右辺うへんが 0 かどうかではなく、

f (λ x) = λ^{d} f (x)

という拡大縮小かくだいしゅくしょうに対たいする性質せいしつを指さす。ただし、一般いっぱんの関数かんすうでは $λ > 0$ の正同次性せいどうじせいとして扱あつかい、同次多項式どうじたこうしきでは任意にんいのスカラーに対たいする同次性どうじせいとして扱あつかう。同おなじ「同次どうじ」でも、方程式ほうていしきの文脈ぶんみゃくと関数かんすう・多項式たこうしきの文脈ぶんみゃくを混同こんどうしない。

data/lecture/math/linear-operator/linear-operator-equation-basics.lecture.n.md

5命題めいだい 1：単項式たんこうしきは全次数ぜんじすうの同次多項式どうじたこうしきである

5.1仮定かてい

m (x_{1}, \dots, x_{n}) = x_{1^{a_{1}}} \dots x_{n^{a_{n}}}

とし、 $d = a_{1} + \dots + a_{n}$ とする。

5.2結論けつろん

$m$ は $d$ 次じの同次多項式どうじたこうしきである。

5.3証明しょうめい

任意にんいの $λ$ に対たいして、

\begin{aligned} m(\lambda x_1,\ldots,\lambda x_n) &=(\lambda x_1)^{a_1}\cdots(\lambda x_n)^{a_n}\\ &=\lambda^{a_1+\cdots+a_n}x_1^{a_1}\cdots x_n^{a_n}\\ &=\lambda^d m(x_1,\ldots,x_n). \end{aligned}\begin{aligned} m(\lambda x_1,\ldots,\lambda x_n) &=(\lambda x_1)^{a_1}\cdots(\lambda x_n)^{a_n}\\ &=\lambda^{a_1+\cdots+a_n}x_1^{a_1}\cdots x_n^{a_n}\\ &=\lambda^d m(x_1,\ldots,x_n). \end{aligned}

したがって $m$ は $d$ 次じの同次多項式どうじたこうしきである。□

6命題めいだい 2：同次多項式どうじたこうしきは任意にんいのスカラーで同次どうじである

6.1仮定かてい

$P (x_{1}, \dots, x_{n})$ が $d$ 次じの同次多項式どうじたこうしきであるとする。

6.2結論けつろん

P (λ x_{1}, \dots, λ x_{n}) = λ^{d} P (x_{1}, \dots, x_{n})

である。つまり、 $P$ は $d$ 次じの正同次関数せいどうじかんすうであり、さらに任意にんいのスカラーに対たいしても同おなじ式しきを満みたす。

6.3証明しょうめい

$P$ は全次数ぜんじすう $d$ の単項式たんこうしきの和わである。そこで

P = \sum_{α} c_{α} x^{α}

と書かく。ただし $α = (α_{1}, \dots, α_{n})$ 、 $x^{α} = x_{1^{α_{1}}} \dots x_{n^{α_{n}}}$ 、 $| α | = α_{1} + \dots + α_{n} = d$ である。

命題めいだい 1 より、各かく単項式たんこうしきについて

(λ x)^{α} = λ^{d} x^{α}

である。したがって

\begin{aligned} P(\lambda x) &=\sum_\alpha c_\alpha(\lambda x)^\alpha\\ &=\sum_\alpha c_\alpha\lambda^d x^\alpha\\ &=\lambda^d\sum_\alpha c_\alpha x^\alpha\\ &=\lambda^d P(x). \end{aligned}\begin{aligned} P(\lambda x) &=\sum_\alpha c_\alpha(\lambda x)^\alpha\\ &=\sum_\alpha c_\alpha\lambda^d x^\alpha\\ &=\lambda^d\sum_\alpha c_\alpha x^\alpha\\ &=\lambda^d P(x). \end{aligned}

よって $P$ は $d$ 次じの同次多項式どうじたこうしきとして、任意にんいのスカラーに対たいして同次性どうじせいを満みたす。□

7定理ていり 1：多項式たこうしきは同次成分どうじせいぶんに一意いちいに分解ぶんかいできる

7.1主張しゅちょう

任意にんいの多項式たこうしき $P (x_{1}, \dots, x_{n})$ は、

P = P_{0} + P_{1} + \dots + P_{d}

と書かける。ここで $P_{k}$ は $k$ 次じの同次多項式どうじたこうしきまたは 0 である。この分解ぶんかいは一意いちいである。

7.2証明しょうめい

$P$ に現あらわれる単項式たんこうしきを、全次数ぜんじすうごとに集あつめる。全次数ぜんじすうが $k$ の項こうだけを集あつめたものを $P_{k}$ と置おけば、

P = P_{0} + P_{1} + \dots + P_{d}

である。

一意性いちいせいは、単項式たんこうしきの係数けいすうが一意いちいに決きまることから従したがう。同おなじ単項式たんこうしきは同おなじ全次数ぜんじすうの成分せいぶんにしか入はいらないため、別べつの分わけ方かたはできない。□

7.3例れい

P (x, y) = x^{3} + 2 x^{2} y + x y + 5 x - 1

なら、

P_{3} = x^{3} + 2 x^{2} y, P_{2} = x y, P_{1} = 5 x, P_{0} = - 1

である。

この分解ぶんかいを見みると、多項式たこうしきは「次数じすうごとの層そう」を持もっていると考かんがえられる。

8命題めいだい 3：同次性どうじせいの判定はんてい

8.1仮定かてい

係数けいすうの体たいを $R$ または $C$ とする。 $P$ を 0 でない多項式たこうしきとする。

8.2結論けつろん

$P$ が $d$ 次じの同次多項式どうじたこうしきであることと、

P (λ x) = λ^{d} P (x)

がすべての $λ$ と $x$ で成立せいりつすることは同値どうちである。

8.3証明しょうめい

$P$ が $d$ 次じの同次多項式どうじたこうしきなら、命題めいだい 2 より

P (λ x) = λ^{d} P (x)

である。

逆ぎゃくを示しめす。 $P$ を同次成分どうじせいぶんに分解ぶんかいして

P = P_{0} + P_{1} + \dots + P_{N}

と書かく。このとき

P (λ x) = P_{0} (x) + λ P_{1} (x) + \dots + λ^{N} P_{N} (x)

である。仮定かていより

P (λ x) = λ^{d} P (x) = λ^{d} P_{0} (x) + λ^{d} P_{1} (x) + \dots + λ^{d} P_{N} (x)

である。

$x$ を固定こていすると、これは $λ$ についての多項式たこうしきの等式とうしきである。 $R$ や $C$ では、多項式たこうしきが無限むげんに多おおくの $λ$ で一致いっちするなら、係数けいすうが一致いっちする。

したがって、任意にんいの $x$ について、 $k \neq d$ の係数けいすうに相当そうとうする値あたい $P_{k} (x)$ は 0 である。これは $P_{k}$ がすべての $x$ で 0 になることを意味いみするので、 $P_{k}$ は 0 多項式たこうしきである。

ここでは「 $R$ や $C$ のような無限むげんに多おおくの元げんを持もつ体たいでは、多項式たこうしきがすべての点てんで 0 なら 0 多項式たこうしきである」という基本事実きほんじじつを使つかっている。

よって $P = P_{d}$ であり、 $P$ は $d$ 次じの同次多項式どうじたこうしきである。□

0 多項式たこうしきは例外的れいがいてきで、どの次数じすうの同次成分どうじせいぶんとしても扱あつかえる。このページでは、次数じすうを判定はんていする議論ぎろんでは 0 でない多項式たこうしきを対象たいしょうにする。

9性質せいしつ 1：和わと積せきの規則きそく

$P, Q$ を同次多項式どうじたこうしきとする。

$P, Q$ が同おなじ次数じすうなら、 $P + Q$ もその次数じすうの同次多項式どうじたこうしきである。ただし 0 になる場合ばあいもある。
$P$ が $r$ 次じ、 $Q$ が $s$ 次じなら、 $P Q$ は $r + s$ 次じの同次多項式どうじたこうしきである。
次数じすうが違ちがう同次多項式どうじたこうしきを足たすと、一般いっぱんには同次どうじではない。

9.1証明しょうめい

$P, Q$ が同おなじ $d$ 次じなら、

(P + Q) (λ x) = P (λ x) + Q (λ x) = λ^{d} P (x) + λ^{d} Q (x) = λ^{d} (P + Q) (x)

である。

また $P$ が $r$ 次じ、 $Q$ が $s$ 次じなら、

(P Q) (λ x) = P (λ x) Q (λ x) = λ^{r} P (x) λ^{s} Q (x) = λ^{r + s} P (x) Q (x)

である。したがって $P Q$ は $r + s$ 次じの同次多項式どうじたこうしきである。

最後さいごに、たとえば $x^{2} + y$ は 2 次じの項こうと 1 次じの項こうを足たしたものであり、

(λ x)^{2} + λ y

は一ひとつの $λ^{d}$ で括くくれない。したがって一般いっぱんには同次どうじではない。□

10同次方程式どうじほうていしきとしての見方みかた

$P$ が $d$ 次じの同次多項式どうじたこうしきなら、

P (x) = 0

の解かいは拡大縮小かくだいしゅくしょうで保たもたれる。つまり、 $P (a) = 0$ なら、

P (λ a) = λ^{d} P (a) = 0

である。

したがって、同次多項式どうじたこうしきの方程式ほうていしきは、点てんそのものよりも方向ほうこうを見みる問題もんだいになりやすい。たとえば

x^{2} - y^{2} = 0

は

(x - y) (x + y) = 0

なので、解かいは 2 本ほんの直線ちょくせん $y = x$ 、 $y = - x$ である。原点げんてんを通とおる直線ちょくせんが現あらわれるのは、同次性どうじせいにより方向ほうこうが保存ほぞんされるからである。

11斉次化せいじか：非同次ひどうじ多項式たこうしきを同次どうじにする

非同次ひどうじの多項式たこうしきも、変数へんすうを 1 個こ増ふやすと同次どうじにできる。この操作そうさを斉次化せいじかhomogenizationという。

たとえば

p (x, y) = x^{2} + y + 1

を考かんがえる。この多項式たこうしきの最高次数さいこうじすうは 2 である。そこで新あたらしい変数へんすう $z$ を入いれて、

p^{h} (x, y, z) = x^{2} + y z + z^{2}

とする。各項かくこうの全次数ぜんじすうはすべて 2 なので、 $p^{h}$ は 2 次じの同次多項式どうじたこうしきである。

しかも $z = 1$ と置おくと、

p^{h} (x, y, 1) = x^{2} + y + 1 = p (x, y)

となる。つまり、斉次化せいじかは「元もとの多項式たこうしきを、 $z = 1$ の平面へいめんに埋うめ込こんだ同次多項式どうじたこうしき」と見みられる。

11.1一般形いっぱんけい

p (x_{1}, \dots, x_{n}) = \sum_{α} c_{α} x^{α}

の最高次数さいこうじすうを $d$ とする。このとき

p^{h} (x_{1}, \dots, x_{n}, z) = \sum_{α} c_{α} x^{α} z^{d - | α |}

と定義ていぎする。すると、各項かくこうの全次数ぜんじすうは

| α | + (d - | α |) = d

なので、 $p^{h}$ は $d$ 次じの同次多項式どうじたこうしきである。

この操作そうさは、射影幾何しゃえいきかや代数幾何だいすうきかで基本きほんになる。直感的ちょっかんてきには、 $z = 0$ の部分ぶぶんが「無限遠むげんえんの方向ほうこう」を記録きろくする。

12Euler の同次関数定理どうじかんすうていり

この節せつは微積分びせきぶんを使つかう補足ほそくである。 $\partial P / \partial x_{i}$ は、 $x_{i}$ だけを変数へんすうとして微分びぶんし、ほかの変数へんすうを定数ていすうとして扱あつかう偏微分へんびぶんである。

$P (x_{1}, \dots, x_{n})$ が $d$ 次じの同次多項式どうじたこうしきなら、

x_{1} \frac{\partial P}{\partial x_{1}} + \dots + x_{n} \frac{\partial P}{\partial x_{n}} = d P

が成立せいりつする。

12.1証明しょうめい

まず単項式たんこうしき

m = x_{1^{a_{1}}} \dots x_{n^{a_{n}}}

で確認かくにんする。 $d = a_{1} + \dots + a_{n}$ とする。このとき

x_{i} \frac{\partial m}{\partial x_{i}} = a_{i} m

である。したがって

\sum_{i = 1}^{n} x_{i} \frac{\partial m}{\partial x_{i}} = \sum_{i = 1}^{n} a_{i} m = d m

である。

同次多項式どうじたこうしき $P$ は全次数ぜんじすう $d$ の単項式たんこうしきの和わであり、微分びぶんと和わは項こうごとに計算けいさんできる。よって

\sum_{i = 1}^{n} x_{i} \frac{\partial P}{\partial x_{i}} = d P

である。□

この定理ていりは微積分びせきぶんにも現あらわれるが、多項式たこうしきの場合ばあいは各単項式かくたんこうしきの次数じすうを数かぞえているだけである。

data/lecture/math/multivariable-calculus/tangent-planes-chain-rule-and-jacobian.lecture.n.md

13具体例ぐたいれいで整理せいり

式しき	判定はんてい	理由りゆう
$x + y$	1 次じの同次どうじ	各項かくこうが 1 次じ
$x^{2} + x y + y^{2}$	2 次じの同次どうじ	各項かくこうが 2 次じ
$x^{2} + y$	同次どうじでない	2 次じと 1 次じが混まざる
$x^{3} - 3 x y z + y^{3}$	3 次じの同次どうじ	$x^{3}, x y z, y^{3}$ がすべて 3 次じ
$\sqrt{x^{2} + y^{2}}$	1 次じの正同次関数せいどうじかんすう	多項式たこうしきではないが、 $λ > 0$ の拡大縮小かくだいしゅくしょうで 1 次じ

14どこまで成立せいりつするか

正同次関数せいどうじかんすうは多項式たこうしきに限かぎらない。たとえば

f (x, y) = \sqrt{x^{2} + y^{2}}

は 1 次じの正同次関数せいどうじかんすうである。しかし代数だいすうで主おもに扱あつかうのは、同次多項式どうじたこうしきと同次成分どうじせいぶんである。

また、有限体ゆうげんたいのように $λ$ の種類しゅるいが有限ゆうげんしかない場合ばあい、 $P (λ x) = λ^{d} P (x)$ から多項式たこうしきの形かたちを判定はんていするには注意ちゅういが必要ひつようである。このページの同値判定どうちはんていは、 $R$ や $C$ のような無限むげんに多おおくのスカラーを持もつ体たいで考かんがえている。

15不等式ふとうしきへの接続せつぞく

同次性どうじせいは不等式ふとうしきで特とくに役やくに立たつ。両辺りょうへんが同おなじ次数じすうなら、全体ぜんたいの大おおきさを変かえても真偽しんぎが変かわらないため、 $x + y = 1$ や $y = 1$ のように正規化せいきかできる場合ばあいがある。

また、制約せいやく $x + y = 1$ がある問題もんだいでは、定数ていすう $1$ を $x + y$ に置おき換かえて同次化どうじかできることがある。この考かんがえ方かたは不等式ふとうしきの見通みとおしを大おおきく良よくする。

data/lecture/math/algebra/homogeneous-functions-and-inequalities.lecture.n.md

16一言ひとことでいうと

正同次関数せいどうじかんすうは、入力にゅうりょくを正せいの $λ$ 倍ばいにすると値あたいが $λ^{d}$ 倍ばいになる関数かんすうである。同次多項式どうじたこうしきは、全すべての項こうが同おなじ全次数ぜんじすうを持もつ多項式たこうしきである。代数だいすうでは、この性質せいしつにより次数じすうごとの分解ぶんかい、方向ほうこうとしての解かい、斉次化せいじかが自然しぜんに現あらわれる。

同次関数どうじかんすうと同次式どうじしき

1導入どうにゅう

2なぜこの見方みかたを使つかうのか

3用語ようごと定義ていぎ

3.1同次関数どうじかんすう

3.2同次式どうじしき・同次多項式どうじたこうしき

4注意ちゅうい：「同次どうじ」という言葉ことばの違ちがい

5命題めいだい 1：単項式たんこうしきは全次数ぜんじすうの同次多項式どうじたこうしきである

5.1仮定かてい

5.2結論けつろん

5.3証明しょうめい

6命題めいだい 2：同次多項式どうじたこうしきは任意にんいのスカラーで同次どうじである

6.1仮定かてい

6.2結論けつろん

6.3証明しょうめい

7定理ていり 1：多項式たこうしきは同次成分どうじせいぶんに一意いちいに分解ぶんかいできる

7.1主張しゅちょう

7.2証明しょうめい

7.3例れい

8命題めいだい 3：同次性どうじせいの判定はんてい

8.1仮定かてい

8.2結論けつろん

8.3証明しょうめい

9性質せいしつ 1：和わと積せきの規則きそく

9.1証明しょうめい

10同次方程式どうじほうていしきとしての見方みかた

11斉次化せいじか：非同次ひどうじ多項式たこうしきを同次どうじにする

11.1一般形いっぱんけい

12Euler の同次関数定理どうじかんすうていり

12.1証明しょうめい

13具体例ぐたいれいで整理せいり

14どこまで成立せいりつするか

15不等式ふとうしきへの接続せつぞく

16一言ひとことでいうと

17関連かんれんリンク