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対称式md 74a4540
lecture/math/algebra/symmetric-expressions.lecture.n.md
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対称式
1導入
対称式で中心に置く発想は、文字を入れ替えても変わらない量だけを主役にすると、式の整理が一気に楽になることである。
2用語と定義
対称式 とは、変数を入れ替えても値が変わらない式である。
2 変数では、f(x,y)=f(y,x) なら f は対称式である。
基本対称式 は、2 変数では x+y と xy である。
3方針
対称式では、文字の名前に依存しない量へ書き換える。2 変数なら、その代表が x+y と xy である。
4直感的な説明
4.11. なぜ和と積を見るのか
x と y を交換しても、x+y と xy は変わらない。つまり、この 2 つは「どちらを 1 番目の解と呼ぶか」に左右されない量である。
4.22. いろいろな見方
式を整理するための基準として使う
係数に現れるのは、解そのものではなく和と積
複雑な式を s=x+y,\ p=xy に置き換えると短くなる
5厳密な説明
5.11. 対称式の確認
x+y は交換すると
y+x=x+y
である。また xy は
yx=xy
である。したがって、どちらも対称式である。
一方で x-y は交換すると
y-x=-(x-y)
となるので、一般には対称式ではない。
5.22. 基本対称式で書き直す
たとえば
x^2+y^2=(x+y)^2-2xy
である。ここで s=x+y,\ p=xy とおけば
x^2+y^2=s^2-2p
となる。同様に
x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)=s^3-3ps
である。
5.33. 方程式とのつながり
x,\ y を
t^2-St+P=0
の 2 つの解とする。すると
t^2-St+P=(t-x)(t-y)
であり、展開すると
t^2-(x+y)t+xy
である。したがって
S=x+y,\qquad P=xy
を得る。
5.44. 別の説明
多項式の立場では、解を入れ替えても同じ方程式である。したがって係数が記録しているのも、入れ替えで変わらない情報である。ここで対称式が自然に現れる。
6どこまで成立するか
2 変数では x+y と xy が主役だが、3 変数、4 変数と増えると基本対称式も増える。
7最終形
2 変数では
\boxed{s=x+y,\qquad p=xy}
を作るのが基本である。
たとえば
\boxed{x^2+y^2=s^2-2p},\qquad \boxed{x^3+y^3=s^3-3ps}
である。
8一言でいうと
- 入れ替えても変わらない量を先に見る。
- 2 変数なら、まず x+y と xy である。
- 対称式は、多項式の係数と解をつなぐ言葉である。