二次方程式にじほうていしきの解かいの公式こうしき

date2026-07-14document_iddoc_9cee714132cdb4662c6f519c3c555456description二次方程式の解の公式を平方完成から導き、判別式との関係まで整理する講義。prerequisites一次方程式 / 平方完成 / 平方根type講義content_typelecturestatusactive

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1導入どうにゅう

二次方程式にじほうていしきの解かいの公式こうしきで中心ちゅうしんに置おく発想はっそうは、平方完成へいほうかんせいをして、左辺さへんを 1 つの二乗にじょうの形かたちに変形へんけいすることである。

公式こうしきだけを暗記あんきすると、なぜ $- b$ や $4 a c$ や $2 a$ が現あらわれるのかが見みえない。しかし平方完成へいほうかんせいの手順てじゅんを追おえば、公式こうしきは突然とつぜん出でてくるものではなく、二次にじ式しきを一次いちじ式しきの二乗にじょうへ変かえる結果けっかだと分わかる。

2用語ようごと定義ていぎ

まず主役しゅやくになる用語ようごをそろえる。

二次方程式にじほうていしきQuadratic equation とは、 $a x^{2} + b x + c = 0$ の形かたちの方程式ほうていしきである。ただし $a \neq 0$ である。

平方完成へいほうかんせいCompleting the square とは、 $x^{2} + p x$ のような式しきを ${(x + \frac{p}{2})}^{2} - {(\frac{p}{2})}^{2}$ の形かたちに直なおす操作そうさである。

判別式はんべつしきDiscriminant とは、二次方程式にじほうていしきの解かいの様子ようすを決きめる $D = b^{2} - 4 a c$ のことである。

3方針ほうしん

$a x^{2} + b x + c = 0$ をそのまま見みても、 $x$ を直接ちょくせつ取とり出だすのは難むずかしい。そこで、まず $a$ で割わって $x^{2}$ の係数けいすうを 1 にそろえる。

そのうえで $x^{2} + \frac{b}{a} x$ を 1 つの二乗にじょうにしたい、と考かんがえる。なぜなら、二乗にじょうの形かたちになれば平方根へいほうこんを使つかって $x$ を取とり出だせるからである。これが平方完成へいほうかんせいを思おもいつく理由りゆうである。

4直感的ちょっかんてきな説明せつめい

二次方程式にじほうていしきの難むずかしさは、 $x$ が 2 乗じょうと 1 乗じょうの両方りょうほうで現あらわれることにある。そこで「1 つの二乗にじょうに見みえる形かたちへ持もち込こむ」ことを狙ねらう。

代数的だいすうてきには平方完成へいほうかんせいだが、図形的ずけいてきには「正方形せいほうけいを完成かんせいさせる」と見みることもできる。したがって ${(\frac{b}{2 a})}^{2}$ を足たすのは、ただの手筋てすじではなく、不足ふそくしている四角しかくを埋うめる発想はっそうである。

5厳密げんみつな説明せつめい

5.11. まず係数けいすうをそろえる

a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)

を $a$ で割わると

x^{2} + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a} = 0

である。したがって

x^{2} + \frac{b}{a} x = - \frac{c}{a}

となる。

5.22. 平方完成へいほうかんせいする

ここで $x^{2} + \frac{b}{a} x$ を 1 つの二乗にじょうにしたいので、 ${(\frac{b}{2 a})}^{2}$ を足たして引ひく。すると

x^{2} + \frac{b}{a} x + {(\frac{b}{2 a})}^{2} = - \frac{c}{a} + {(\frac{b}{2 a})}^{2}

である。

左辺さへんは

{(x + \frac{b}{2 a})}^{2}

となる。右辺うへんは通分つうぶんして

- \frac{4 a c}{4 a^{2}} + \frac{b^{2}}{4 a^{2}} = \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a^{2}}

である。したがって

{(x + \frac{b}{2 a})}^{2} = \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a^{2}}

を得える。

5.33. 平方根へいほうこんを取とる

両辺りょうへんの平方根へいほうこんを取とると

x + \frac{b}{2 a} = \pm \frac{\sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}

である。よって

x = - \frac{b}{2 a} \pm \frac{\sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}

となり、

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}

を得える。これが二次方程式にじほうていしきの解かいの公式こうしきである。

5.44. 判別式はんべつしきの意味いみ

公式こうしきを見みると、平方根へいほうこんの中身なかみ $b^{2} - 4 a c$ が解かいの様子ようすを決きめている。

$b^{2} - 4 a c > 0$ なら、異ことなる 2 つの実数解じっすうかいを持もつ。
$b^{2} - 4 a c = 0$ なら、重解じゅうかいを持もつ。
$b^{2} - 4 a c < 0$ なら、実数解じっすうかいを持もたない。

したがって $D = b^{2} - 4 a c$ を判別式はんべつしきと呼よぶ。

5.55. 別べつの見方みかた

対称式たいしょうしきの立場たちばでは、解かいの和わと積せきが

α + β = - \frac{b}{a}, α β = \frac{c}{a}

で与あたえられる。そこから解かいそのものを復元ふくげんするには、和わと積せきを持もつ 2 つの数すうを求もとめる問題もんだいへ戻もどせばよい、と見みることもできる。

6どこまで成立せいりつするか

この公式こうしきは、 $a \neq 0$ である二次方程式にじほうていしきにはいつでも使つかえる。

ただし、実数じっすうの範囲はんいだけで考かんがえると、 $D < 0$ のときは平方根へいほうこんが実数じっすうにならないので、解かいを実数じっすうとしては書かけない。

また、公式こうしきを使つかわなくても因数分解いんすうぶんかいできる場合ばあいはある。そのときでも、後うしろでは同おなじ構造こうぞうが働はたらいている。

7最終形さいしゅうけい

二次方程式にじほうていしき

a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)

の解かいは

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}

である。

また、判別式はんべつしき

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] D = b^{2} - 4 a c

により解かいの個数こすうと種類しゅるいが分わかる。

8一言ひとことでいうと

解かいの公式こうしきは、平方完成へいほうかんせいの結果けっかである。
平方完成へいほうかんせいを思おもいつく理由りゆうは、二次にじ式しきを二乗にじょうの形かたちに変かえて平方根へいほうこんを使つかいたいからである。
判別式はんべつしき $b^{2} - 4 a c$ は、そのまま解かいの様子ようすを教おしえてくれる。

9関連かんれんリンク

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元もとの解答かいとう

なし

スキャン画像がぞう

なし