不等式ふとうしきの次数じすうと定石じょうせき

date2026-07-14document_iddoc_35f3b8c2bbe4220ab6ab12094bb5e4dbdescription不等式を次数のそろい方で分類し、同次化・正規化・平方和完成・平均不等式を選ぶ理由を整理する講義である。prerequisites不等式の基本 / 同次関数と不等式 / 平方和完成と二次形式type講義content_typelecturestatusactive

mathalgebrainequalityhomogeneouslecture

1導入どうにゅう

この講義こうぎでは、不等式ふとうしきの両辺りょうへんの次数じすうを比較ひかくし、同次性どうじせいに基もとづいて解法かいほうを選えらぶ方法ほうほうを説明せつめいする。

次数じすうがそろっている不等式ふとうしきでは、拡大縮小かくだいしゅくしょうしても真偽しんぎが変かわらない。そのため、 $x + y = 1$ や $y = 1$ のような正規化せいきかが使つかえる場合ばあいがある。

次数じすうがそろっていない不等式ふとうしきでは、大おおきさそのものが効きくので、平方完成へいほうかんせい、場合分ばあいわけ、制約せいやくによる同次化どうじかを考かんがえる。

2分類ぶんるい

形かたち	最初さいしょに見みること	定石じょうせき
同次どうじ	全体ぜんたいの倍率ばいりつで変かわらないか	正規化せいきか、比ひへの帰着きちゃく
二次にじ	平方へいほうに直なおせるか	平方完成へいほうかんせい、平方和完成へいほうわかんせい
積せきと和わ	AM-GM が使つかえるか	平均へいきんの大小関係だいしょうかんけい
制約せいやくつき	定数ていすうを式しきに戻もどせるか	同次化どうじか
符号ふごうが不明ふめい	割わる量りょうの符号ふごう	場合分ばあいわけ

3命題めいだい 1：同次不等式どうじふとうしきを正規化せいきかできる条件じょうけん

3.1仮定かてい

$F, G$ が同おなじ $d$ 次じの正同次関数せいどうじかんすうで、 $S$ が 1 次じの正同次関数せいどうじかんすうであるとする。考かんがえる範囲はんいを $Ω$ とし、 $x \in Ω, λ > 0$ なら $λ x \in Ω$ であるとする。また $Ω$ 上うえで $S (x) > 0$ とする。

3.2結論けつろん

F (x) [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"le\")")] G (x)

を示しめすには、 $S (x) = 1$ の場合ばあいを示しめせば十分じゅうぶんである。

3.3証明しょうめい

$x \in Ω$ を任意にんいに取とる。 $S (x) > 0$ なので、 $λ = 1 / S (x) > 0$ と置おける。仮定かていより $λ x \in Ω$ であり、このとき

S (λ x) = λ S (x) = 1

である。仮定かていにより、 $S (u) = 1$ を満みたす任意にんいの $u$ で $F (u) [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"le\")")] G (u)$ が成立せいりつする。そこで $u = λ x$ とすれば、

F (λ x) [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"le\")")] G (λ x)

である。同次性どうじせいより

λ^{d} F (x) [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"le\")")] λ^{d} G (x)

であり、 $λ^{d} > 0$ だから $F (x) [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"le\")")] G (x)$ を得える。□

data/lecture/math/algebra/homogeneous-functions-and-inequalities.lecture.n.md

4公式こうしき 1：2 変数へんすう二次形式にじけいしきの平方和完成へいほうわかんせい

4.1仮定かてい

$q (x, y) = a x^{2} + 2 b x y + c y^{2}$ 、 $a > 0$ とする。

4.2結論けつろん

$q (x, y) [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"ge\")")] 0$ を示しめしたいときは、

q (x, y) = a {(x + \frac{b}{a} y)}^{2} + \frac{a c - b^{2}}{a} y^{2}

を見みればよい。

4.3証明しょうめい

平方和完成へいほうわかんせいの公式こうしきである。右辺うへんを展開てんかいすると $a x^{2} + 2 b x y + c y^{2}$ に戻もどる。したがって、係数けいすう $\frac{a c - b^{2}}{a}$ の符号ふごうを調しらべれば、 $q$ の非負性ひふせいが分わかる。□

data/lecture/math/algebra/completing-squares-and-quadratic-forms.lecture.n.md

5次数じすうが違ちがうと何なにが変かわるか

たとえば

x^{2} + y^{2} [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"ge\")")] 2 x y

は 2 次じの同次不等式どうじふとうしきである。比ひだけが本質ほんしつなので、 $y > 0$ なら $t = x / y$ と置おける。

一方いっぽう、

x^{2} + y^{2} [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"ge\")")] x + y

は次数じすうがそろっていない。 $x, y$ を大おおきくすると左辺さへんは速はやく大おおきくなるが、 $x, y$ を 0 に近ちかづけると右辺うへんのほうが大おおきくなりやすい。この場合ばあいは正規化せいきかではなく、領域りょういきや制約せいやくを確認かくにんする。

6見分みわけ方かた

全部ぜんぶの項こうが同おなじ次数じすうなら、同次性どうじせいを使つかう。
2 次じなら、平方完成へいほうかんせいや二次形式にじけいしきを使つかう。
積せきの形かたちが出でたら、AM-GM を考かんがえる。
定数ていすうがあるが $x + y = 1$ などの制約せいやくがあるなら、制約せいやくで同次化どうじかする。
文字もじで割わる前まえに、0 でないか、正せいか負ふかを確認かくにんする。

7一言ひとことでいうと

不等式ふとうしきの定石じょうせきは、形かたちではなく次数じすうと符号ふごうから選えらぶ。同次どうじなら正規化せいきか、二次にじなら平方和完成へいほうわかんせい、積せきと和わなら平均へいきんの不等式ふとうしきを見みる。