三角関数さんかくかんすう

1導入どうにゅう

本講義ほんこうぎでは、実数じっすう $\theta$\theta に対たいする三角関数さんかくかんすうを単位円たんいえんの座標ざひょうとして定義ていぎする。この定義ていぎにより、直角三角形ちょっかくさんかくけいの鋭角えいかくに限定げんていせず、任意にんいの実数角じっすうかくについて符号ふごう、対称性たいしょうせい、周期性しゅうきせいを統一的とういつてきに扱あつかえる。

2単位円たんいえんによる定義ていぎ

単位円たんいえんで正せいの $x$x 軸上じくじょうの点てん $(1,0)$(1,0) から円周上えんしゅうじょうを進すすむ符号付弧長ふごうつきこちょうをラジアン値ちとする。反時計回はんとけいまわりを正せい、時計回とけいまわりを負ふとし、周回しゅうかいを許容きょようすることで任意にんいの実数じっすう $\theta$\theta を角かくとして表現ひょうげんする。符号付弧長ふごうつきこちょう $\theta$\theta だけ進すすんだ単位円上たんいえんじょうの点てんを $P_{\theta }$P_\theta とする。

によって余弦よげんcosineと正弦せいげんsineを定義ていぎする。$\cos \theta \ne 0$\cos\theta\ne0 のとき、正接せいせつtangentを

と定義ていぎする。単位円たんいえんの方程式ほうていしきから、すべての $\theta \in \mathbb{R}$\theta\in\mathbb R について

が成立せいりつする。

3基本値きほんち

${30}^{\circ }$30^\circ-${60}^{\circ }$60^\circ-${90}^{\circ }$90^\circ と ${45}^{\circ }$45^\circ-${45}^{\circ }$45^\circ-${90}^{\circ }$90^\circ の直角三角形ちょっかくさんかくけいを単位円たんいえんに配置はいちすると、次つぎの値あたいを得える。

4対称性たいしょうせいと周期性しゅうきせい

$x$x 軸じくに関かんする反射はんしゃと 1 周しゅうの回転かいてんから、

が成立せいりつする。さらに、両辺りょうへんの正接せいせつが定義ていぎされるとき、

が成立せいりつする。象限しょうげんごとの符号ふごうも $P_{\theta }$P_\theta の $x,y$x,y 座標ざひょうから判定はんていできる。

5回転行列かいてんぎょうれつへの接続せつぞく

原点げんてんからの距離きょりが $r\ge 0$r\geq0 で、偏角へんかくが $t$t の点てんを $r{P}_t$rP_t と表記ひょうきする。幾何学的回転きかがくてきかいてん $Q_{\varphi }$Q_\phi を $Q_{\varphi }\left(r{P}_t\right)=r{P}_{t+\varphi }$Q_\phi(rP_t)=rP_{t+\phi} と定義ていぎする。符号付弧長ふごうつきこちょうの加法かほうから $Q_{\varphi }\circ Q_{\theta }=Q_{\varphi +\theta }$Q_\phi\circ Q_\theta=Q_{\phi+\theta} が成立せいりつする。また、回転かいてんは原点げんてんを固定こていし、2 ベクトルが張はる平行四辺形へいこうしへんけいを、その像ぞうが張はる合同ごうどうな平行四辺形へいこうしへんけいへ移うつすため、$Q_{\varphi }(u+v)=Q_{\varphi }u+Q_{\varphi }v$Q_\phi(u+v)=Q_\phi u+Q_\phi v である。同おなじ直線上ちょくせんじょうの有向距離ゆうこうきょりも保存ほぞんするため、$Q_{\varphi }\left(cu\right)=c{Q}_{\varphi }u$Q_\phi(cu)=cQ_\phi u が任意にんいの $c\in \mathbb{R}$c\in\mathbb R について成立せいりつする。したがって $Q_{\varphi }$Q_\phi は線型せんけいである。

標準基底ひょうじゅんきていとは $e_1=(1,0{)}^{\mathsf{T}}$e_1=(1,0)^\mathsf T、$e_2=(0,1{)}^{\mathsf{T}}$e_2=(0,1)^\mathsf T の組くみである。線型写像せんけいしゃぞうとは、ベクトルの和わと実数倍じっすうばいを保存ほぞんする写像しゃぞうであり、その行列ぎょうれつは $e_1,e_2$e_1,e_2 の像ぞうを列れつに配置はいちしたものである。$Q_{\varphi }$Q_\phi は長ながさ、直交性ちょっこうせい、向むきを保存ほぞんする線型写像せんけいしゃぞうである。$e_1$e_1 の像ぞうは $u=(\cos \varphi ,\sin \varphi {)}^{\mathsf{T}}$u=(\cos\phi,\sin\phi)^\mathsf T である。$e_2$e_2 の像ぞうは、$u$u に直交ちょっこうする単位たんいベクトルのうち $(u,v)$(u,v) が正せいの向むきをもつものなので、一意いちいに $v=(-\sin \varphi ,\cos \varphi {)}^{\mathsf{T}}$v=(-\sin\phi,\cos\phi)^\mathsf T と定さだまる。したがって、回転行列かいてんぎょうれつは

である。行列積ぎょうれつせきは線型写像せんけいしゃぞうの合成ごうせいを表現ひょうげんする。2 回かいの回転かいてんの合成ごうせいが角度かくどの和わの回転かいてんとなる幾何的事実きかてきじじつから $R_{\varphi }{R}_{\theta }=R_{\varphi +\theta }$R_\phi R_\theta=R_{\phi+\theta} が成立せいりつする。成分比較せいぶんひかくによる加法定理かほうていりの導出どうしゅつは次講義じこうぎで扱あつかう。

6発展内容はってんないようと前提ぜんてい

• オイラーの公式こうしき $e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta は、複素数ふくそすうと複素指数関数ふくそしすうかんすうを導入どうにゅうした後あとに扱あつかう。テイラー級数きゅうすうによる証明しょうめいには冪級数べききゅうすうの収束しゅうそくが必要ひつようである。
• 微分公式びぶんこうしきには、微分びぶんの定義ていぎ、加法定理かほうていり、および $\underset{h\to 0}{\lim }\sin h/h=1$\lim_{h\to0}\sin h/h=1 が必要ひつようである。
• 逆三角関数ぎゃくさんかくかんすうには、定義域ていぎいきを制限せいげんして三角関数さんかくかんすうを一対一いちたいいちにする操作そうさと、逆関数ぎゃくかんすうの概念がいねんが必要ひつようである。

これらは単位円たんいえんによる基本定義きほんていぎの前提ぜんていではない。

7要約ようやく

• $\cos \theta$\cos\theta と $\sin \theta$\sin\theta は単位円上たんいえんじょうの点てんの座標ざひょうである。
• 基本恒等式きほんこうとうしき、対称性たいしょうせい、周期性しゅうきせいは単位円たんいえんから導出どうしゅつされる。
• 回転行列かいてんぎょうれつは加法定理かほうていりへの代数的接続だいすうてきせつぞくを与あたえる。

8関連講義かんれんこうぎ

Trigonometric Functions

1Introduction

This lecture defines trigonometric functions for every real angle as coordinates on the unit circle. Unlike a definition restricted to acute angles of right triangles, the unit-circle definition treats signs, symmetry, and periodicity uniformly.

2Definition on the Unit Circle

On the unit circle, define radian measure as signed arc length traveled along the circle from $(1,0)$(1,0). Counterclockwise length is positive, clockwise length is negative, and repeated circuits allow every real number $\theta$\theta to represent an angle. Let $P_{\theta }$P_\theta be the point reached after signed arc length $\theta$\theta. Define {cosine} and {sine} by

When $\cos \theta \ne 0$\cos\theta\ne0, define {tangent} by

The equation of the unit circle immediately gives, for every $\theta \in \mathbb{R}$\theta\in\mathbb R,

3Basic Values

Placing the ${30}^{\circ }$30^\circ-${60}^{\circ }$60^\circ-${90}^{\circ }$90^\circ and ${45}^{\circ }$45^\circ-${45}^{\circ }$45^\circ-${90}^{\circ }$90^\circ triangles in the unit circle gives:

4Symmetry and Periodicity

Reflection across the $x$x-axis and one complete rotation give

Whenever both sides are defined,

The signs in each quadrant are likewise determined by the $x$x- and $y$y-coordinates of $P_{\theta }$P_\theta.

5Connection to Rotation Matrices

Write a point at distance $r\ge 0$r\geq0 from the origin and with argument $t$t as $r{P}_t$rP_t. Define the geometric rotation $Q_{\varphi }$Q_\phi by $Q_{\varphi }\left(r{P}_t\right)=r{P}_{t+\varphi }$Q_\phi(rP_t)=rP_{t+\phi}. Addition of signed arc lengths gives $Q_{\varphi }\circ Q_{\theta }=Q_{\varphi +\theta }$Q_\phi\circ Q_\theta=Q_{\phi+\theta} independently of any trigonometric addition formula. A rotation fixes the origin and maps the parallelogram spanned by two vectors to the congruent parallelogram spanned by their images, so $Q_{\varphi }(u+v)=Q_{\varphi }u+Q_{\varphi }v$Q_\phi(u+v)=Q_\phi u+Q_\phi v. It also preserves directed distance along each line, so $Q_{\varphi }\left(cu\right)=c{Q}_{\varphi }u$Q_\phi(cu)=cQ_\phi u for every $c\in \mathbb{R}$c\in\mathbb R. Thus $Q_{\varphi }$Q_\phi is linear.

The standard basis is the pair $e_1=(1,0{)}^{\mathsf{T}}$e_1=(1,0)^\mathsf T, $e_2=(0,1{)}^{\mathsf{T}}$e_2=(0,1)^\mathsf T. A linear map preserves vector addition and multiplication by real scalars, and its matrix has the images of $e_1,e_2$e_1,e_2 as its columns. The map $Q_{\varphi }$Q_\phi is linear and preserves lengths, orthogonality, and orientation. It sends $e_1$e_1 to $u=(\cos \varphi ,\sin \varphi {)}^{\mathsf{T}}$u=(\cos\phi,\sin\phi)^\mathsf T. The image of $e_2$e_2 must be the unique unit vector perpendicular to $u$u for which $(u,v)$(u,v) has positive orientation, namely $v=(-\sin \varphi ,\cos \varphi {)}^{\mathsf{T}}$v=(-\sin\phi,\cos\phi)^\mathsf T. Hence $Q_{\varphi }$Q_\phi is represented by

Matrix multiplication represents composition of linear maps. The geometric fact that two successive rotations compose to rotation through the sum of their angles therefore gives $R_{\varphi }{R}_{\theta }=R_{\varphi +\theta }$R_\phi R_\theta=R_{\phi+\theta}. The next lecture derives the addition formulas by comparing entries.

6Advanced Topics and Prerequisites

• Euler's formula $e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta belongs after complex numbers and the complex exponential have been introduced. A proof by Taylor series also requires convergence of power series.
• Derivative formulas require the definition of a derivative, the addition formulas, and $\underset{h\to 0}{\lim }\sin h/h=1$\lim_{h\to0}\sin h/h=1.
• Inverse trigonometric functions require restricting domains so that the trigonometric functions become one-to-one, together with the concept of an inverse function.

None of these topics is a prerequisite for the unit-circle definition.

7Summary

• The values $\cos \theta$\cos\theta and $\sin \theta$\sin\theta are coordinates of a point on the unit circle.
• The fundamental identity, symmetry, and periodicity follow from the unit circle.
• Rotation matrices provide the algebraic connection to the addition formulas.

8Related Lectures