三角関数さんかくかんすうの加法定理かほうていり

1導入どうにゅう

加法定理かほうていりは、2 回かいの平面回転へいめんかいてんの合成ごうせいが角度かくどの和わによる 1 回かいの回転かいてんに一致いっちすることを座標ざひょうで表現ひょうげんした恒等式こうとうしきである。本講義ほんこうぎでは回転行列かいてんぎょうれつから厳密げんみつに導出どうしゅつし、差角さかく・倍角ばいかく・半角はんかくの公式こうしきを帰結きけつとして整理せいりする。

2回転行列かいてんぎょうれつ

$2\times 2$2\times2 行列ぎょうれつ $A=\left(a_{ij}\right)$A=(a_{ij}) と列れつベクトル $(x,y{)}^{\mathsf{T}}$(x,y)^\mathsf T の積せきを

と定義ていぎする。2 行列ぎょうれつ $A,B$A,B の積せきは $(AB{)}_{ij}=\sum _{k=1}^2{a}_{ik}{b}_{kj}$(AB)_{ij}=\sum_{k=1}^2a_{ik}b_{kj} で定義ていぎされ、まず $B$B、次つぎに $A$A を作用さようさせる線型写像せんけいしゃぞうの合成ごうせいを表現ひょうげんする。

原点げんてんからの距離きょりが $r\ge 0$r\geq0 で偏角へんかくが $t$t の点てんを $r{P}_t$rP_t と表記ひょうきし、回転かいてん $Q_{\theta }$Q_\theta を $Q_{\theta }\left(r{P}_t\right)=r{P}_{t+\theta }$Q_\theta(rP_t)=rP_{t+\theta} と定義ていぎする。符号付弧長ふごうつきこちょうの加法かほうから $Q_{\alpha }\circ Q_{\beta }=Q_{\alpha +\beta }$Q_\alpha\circ Q_\beta=Q_{\alpha+\beta} が成立せいりつする。回転かいてんは原点げんてんを固定こていし、ベクトルが張はる平行四辺形へいこうしへんけいと直線上ちょくせんじょうの有向距離ゆうこうきょりを保存ほぞんするため、ベクトルの和わと実数倍じっすうばいを保存ほぞんする。したがって $Q_{\theta }$Q_\theta は線型写像せんけいしゃぞうである。

標準基底ひょうじゅんきていを $e_1=(1,0{)}^{\mathsf{T}}$e_1=(1,0)^\mathsf T、$e_2=(0,1{)}^{\mathsf{T}}$e_2=(0,1)^\mathsf T とする。$Q_{\theta }$Q_\theta は長ながさ、直交性ちょっこうせい、向むきを保存ほぞんする線型写像せんけいしゃぞうである。$e_1$e_1 の像ぞうは $u=(\cos \theta ,\sin \theta {)}^{\mathsf{T}}$u=(\cos\theta,\sin\theta)^\mathsf T である。$e_2$e_2 の像ぞうは、$u$u に直交ちょっこうする単位たんいベクトルのうち $(u,v)$(u,v) が正せいの向むきをもつものなので、$v=(-\sin \theta ,\cos \theta {)}^{\mathsf{T}}$v=(-\sin\theta,\cos\theta)^\mathsf T と一意いちいに定さだまる。したがって、$Q_{\theta }$Q_\theta の行列表現ぎょうれつひょうげんは

である。任意にんいのベクトルに $R_{\beta }$R_\beta を作用さようさせ、その後あとに $R_{\alpha }$R_\alpha を作用さようさせると、幾何的きかてきには合計ごうけいで $\alpha +\beta$\alpha+\beta の回転かいてんとなる。したがって、加法定理かほうていりを使用しようせずに

が成立せいりつする。左辺さへんを計算けいさんすると、

$R_{\alpha +\beta }$R_{\alpha+\beta} と成分せいぶんを比較ひかくして、すべての実数じっすう $\alpha ,\beta$\alpha,\beta について

を得える。

3差角公式さかくこうしき

$\beta$\beta を $-\beta$-\beta に置換ちかんし、$\cos (-\beta )=\cos \beta$\cos(-\beta)=\cos\beta、$\sin (-\beta )=-\sin \beta$\sin(-\beta)=-\sin\beta を使用しようすると、

が成立せいりつする。

4倍角公式ばいかくこうしき

$\beta =\alpha =\theta$\beta=\alpha=\theta とすれば、

を得える。最後さいごの 2 式しきには ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1 を使用しようした。

5正接せいせつの加法公式かほうこうしき

$\cos \alpha \cos \beta \ne 0$\cos\alpha\cos\beta\ne0 かつ $1-\tan \alpha \tan \beta \ne 0$1-\tan\alpha\tan\beta\ne0 のとき、正弦せいげんの加法公式かほうこうしきを余弦よげんの加法公式かほうこうしきで除じょして

を得える。同様どうように、$\cos \alpha \cos \beta \ne 0$\cos\alpha\cos\beta\ne0 かつ $1+\tan \alpha \tan \beta \ne 0$1+\tan\alpha\tan\beta\ne0 のとき、

が成立せいりつする。

6半角公式はんかくこうしきと符号ふごう

倍角公式ばいかくこうしきで $\theta$\theta を $\theta /2$\theta/2 に置換ちかんすると、

が成立せいりつする。平方根へいほうこんを取とる場合ばあいは、

となり、符号ふごうは $\theta /2$\theta/2 の位置いち、すなわち象限しょうげんまたは座標軸ざひょうじくから決定けっていする。正接せいせつに関かんする公式こうしきは、分母ぶんぼが非零ひれいである範囲はんいにのみ適用てきようする。

7複素数ふくそすうによる別証明べつしょうめい

この節せつは複素数ふくそすうとオイラーの公式こうしきを導入どうにゅうした後あとの別証明べつしょうめいであり、回転行列かいてんぎょうれつによる証明しょうめいの前提ぜんていではない。

に $e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta を代入だいにゅうし、実部じつぶと虚部きょぶを比較ひかくすると、同一どういつの加法定理かほうていりを得える。

8適用範囲てきようはんい

正弦せいげんと余弦よげんの加法かほう・差角さかく・倍角ばいかくの恒等式こうとうしきは、すべての実数角じっすうかくについて成立せいりつする。正接せいせつの公式こうしきや商しょうによる変形へんけいでは分母ぶんぼの非零性ひれいせいを確認かくにんする。半角公式はんかくこうしきから平方根へいほうこんを取とるときは象限しょうげんによる符号選択ふごうせんたくが必要ひつようである。

9関連講義かんれんこうぎ

Trigonometric Addition Formulas

1Introduction

The addition formulas express in coordinates the fact that composing two plane rotations gives one rotation through the sum of their angles. This lecture derives them rigorously from rotation matrices and organizes the difference-angle, double-angle, and half-angle formulas as consequences.

2Rotation Matrices

For a $2\times 2$2\times2 matrix $A=\left(a_{ij}\right)$A=(a_{ij}) and a column vector $(x,y{)}^{\mathsf{T}}$(x,y)^\mathsf T, define

For two matrices $A,B$A,B, define $(AB{)}_{ij}=\sum _{k=1}^2{a}_{ik}{b}_{kj}$(AB)_{ij}=\sum_{k=1}^2a_{ik}b_{kj}. This product represents composition: first apply $B$B, then apply $A$A. Write a point at distance $r\ge 0$r\geq0 and with argument $t$t as $r{P}_t$rP_t, and define rotation by $Q_{\theta }\left(r{P}_t\right)=r{P}_{t+\theta }$Q_\theta(rP_t)=rP_{t+\theta}. Addition of signed arc lengths gives $Q_{\alpha }\circ Q_{\beta }=Q_{\alpha +\beta }$Q_\alpha\circ Q_\beta=Q_{\alpha+\beta}. A rotation fixes the origin and preserves both parallelograms spanned by vectors and directed distances along lines; hence it preserves vector addition and real scalar multiplication. Thus $Q_{\theta }$Q_\theta is linear.

Let $e_1=(1,0{)}^{\mathsf{T}}$e_1=(1,0)^\mathsf T and $e_2=(0,1{)}^{\mathsf{T}}$e_2=(0,1)^\mathsf T be the standard basis. The map $Q_{\theta }$Q_\theta is linear and preserves lengths, orthogonality, and orientation. It sends $e_1$e_1 to $u=(\cos \theta ,\sin \theta {)}^{\mathsf{T}}$u=(\cos\theta,\sin\theta)^\mathsf T. The image of $e_2$e_2 must be the unique unit vector perpendicular to $u$u for which $(u,v)$(u,v) has positive orientation, namely $v=(-\sin \theta ,\cos \theta {)}^{\mathsf{T}}$v=(-\sin\theta,\cos\theta)^\mathsf T. Hence the matrix of $Q_{\theta }$Q_\theta is

Applying $R_{\beta }$R_\beta and then $R_{\alpha }$R_\alpha geometrically rotates every vector through a total angle $\alpha +\beta$\alpha+\beta. Thus, without using the addition formulas,

Direct multiplication gives

Comparison with $R_{\alpha +\beta }$R_{\alpha+\beta} proves, for all real $\alpha ,\beta$\alpha,\beta,

3Difference-Angle Formulas

Replace $\beta$\beta by $-\beta$-\beta and use $\cos (-\beta )=\cos \beta$\cos(-\beta)=\cos\beta and $\sin (-\beta )=-\sin \beta$\sin(-\beta)=-\sin\beta:

4Double-Angle Formulas

Setting $\beta =\alpha =\theta$\beta=\alpha=\theta gives

The last two forms use ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1.

5Addition Formulas for Tangent

If $\cos \alpha \cos \beta \ne 0$\cos\alpha\cos\beta\ne0 and $1-\tan \alpha \tan \beta \ne 0$1-\tan\alpha\tan\beta\ne0, divide the sine addition formula by the cosine addition formula to obtain

Similarly, if $\cos \alpha \cos \beta \ne 0$\cos\alpha\cos\beta\ne0 and $1+\tan \alpha \tan \beta \ne 0$1+\tan\alpha\tan\beta\ne0, then

6Half-Angle Formulas and Signs

Replacing $\theta$\theta by $\theta /2$\theta/2 in the double-angle formulas gives

Taking square roots yields

where the sign is determined by the position of $\theta /2$\theta/2, including both quadrants and coordinate axes. Formulas involving tangent apply only where their denominators are nonzero.

7An Alternative Proof Using Complex Numbers

This section is an alternative proof to be used only after complex numbers and Euler's formula have been introduced; it is not a prerequisite for the rotation-matrix proof.

Substitute $e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta into

and compare real and imaginary parts to obtain the same addition formulas.

8Scope

The sine and cosine formulas for sums, differences, and double angles hold for all real angles. The tangent formulas hold under the nonzero conditions stated above; every transformation involving a quotient requires a nonzero denominator. When square roots are taken in the half-angle formulas, the signs must be selected from the position of the half-angle, including both quadrants and coordinate axes.

9Related Lectures