集合族しゅうごうぞくfamily of setsと添字集合そえじしゅうごうindex set

Families of sets集合族しゅうごうぞく and index sets添字集合そえじしゅうごう

1導入どうにゅう

集合族しゅうごうぞくfamily of setsを導入どうにゅうする理由りゆうは、2 つや 3 つの集合しゅうごうsetだけでなく、多数たすうの集合しゅうごうsetを一括いっかつして扱あつかうためである。たとえば、$$n=1,2,3,\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("dots")")]}$$n=1,2,3,\dots のそれぞれについて $$A_n=\{x\in \mathbb{R}\mid -1/n<x<1/n\}$$A_n=\{x\in\mathbb R\mid -1/n<x<1/n\} と置おくと、「$$A_n$$A_n の全体ぜんたい」をひとまとまりとして扱あつかえる。

ここで重要じゅうようなのは、添字そえじindexは $$A_i$$A_i を指定していする名札なふだの役割やくわりを持もち、$$A_i$$A_i の元げんである必要ひつようはないという点てんである。

集合族しゅうごうぞくfamily of setsでは、添字そえじは集合しゅうごうを呼よび出だすための名前なまえであり、添字そえじそのものが対象集合たいしょうしゅうごうの元げんelementであるとは限かぎらない。この区別くべつにより、同おなじ形かたちの集合しゅうごうを規則的きそくてきに扱あつかえる。

1Introduction

A family of sets集合族しゅうごうぞく is introduced to handle many sets集合しゅうごう at once, not only two or three. For example, for each $$n=1,2,3,\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("dots")")]}$$n=1,2,3,\dots, let $$A_n=\{x\in \mathbb{R}\mid -1/n<x<1/n\}$$A_n=\{x\in\mathbb R\mid -1/n<x<1/n\}. We can then treat all the $$A_n$$A_n as one indexed collection.

The important point is that an index添字そえじ serves as a label specifying $$A_i$$A_i and need not be an element of $$A_i$$A_i.

2用語ようごと定義ていぎ

全体集合ぜんたいしゅうごうuniversal set $$U$$U を固定こていする。添字集合そえじしゅうごうindex set $$I$$I の各かく $$i\in I$$i\in I に $$A_i\subseteq U$$A_i\subseteq U が対応たいおうしているとき、$$(A_i{)}_{i\in I}$$(A_i)_{i\in I} を集合族しゅうごうぞくfamily of setsという。

異ことなる添字そえじ $$i\ne j$$i\ne j に同おなじ集合しゅうごうが対応たいおうして $$A_i=A_j$$A_i=A_j となってもよい。集合族しゅうごうぞくでは、集合しゅうごうそのものだけでなく、どの添字そえじから呼よび出だされたかも記録きろくする。

集合族しゅうごうぞくfamily of sets $$(A_i{)}_{i\in I}$$(A_i)_{i\in I} の和集合わしゅうごうunionを

で定義ていぎする。集合族しゅうごうぞくfamily of setsの共通部分きょうつうぶぶんintersectionを

で定義ていぎする。

2Terms and definitions

Fix a universal set全体集合ぜんたいしゅうごう $$U$$U. Given an index set添字集合そえじしゅうごう $$I$$I, if each $$i\in I$$i\in I is assigned a set $$A_i\subseteq U$$A_i\subseteq U, then $$(A_i{)}_{i\in I}$$(A_i)_{i\in I} is called a family of sets集合族しゅうごうぞく.

Distinct indices $$i\ne j$$i\ne j may label the same set, so $$A_i=A_j$$A_i=A_j is allowed. A family records not only the sets but also the indices by which they are labeled.

The union和集合わしゅうごう of the family is defined by

The intersection共通部分きょうつうぶぶん of the family is defined by

3方針ほうしん

添字付そえじつき和集合わしゅうごうindexed unionでは、「ある $$i$$i が存在そんざいする」を探さがす。添字付そえじつき共通部分きょうつうぶぶんindexed intersectionでは、「すべての $$i$$i について」を確認かくにんする。この存在そんざいと全称ぜんしょうの違ちがいが、証明しょうめいの進すすめ方かたを決きめる。

たとえば $$x\in \bigcup _{i\in I}{A}_i$$x\in\bigcup_{i\in I}A_i と分わかっているなら、ある $$i_0\in I$$i_0\in I が存在そんざいして $$x\in A_{i_0}$$x\in A_{i_0} である。一方いっぽう、$$x\in \bigcap _{i\in I}{A}_i$$x\in\bigcap_{i\in I}A_i と分わかっているなら、任意にんいの $$i\in I$$i\in I について $$x\in A_i$$x\in A_i である。

3Method

For an indexed union添字付き和集合, look for “there exists an index.” For an indexed intersection添字付き共通部分, check “for every index.” This difference between existence and universality determines the proof strategy.

For example, if $$x\in \bigcup _{i\in I}{A}_i$$x\in\bigcup_{i\in I}A_i, then there exists $$i_0\in I$$i_0\in I such that $$x\in A_{i_0}$$x\in A_{i_0}. In contrast, if $$x\in \bigcap _{i\in I}{A}_i$$x\in\bigcap_{i\in I}A_i, then $$x\in A_i$$x\in A_i for every $$i\in I$$i\in I.

4直感的ちょっかんてきな説明せつめい

集合族しゅうごうぞくfamily of setsは、引ひき出だしに番号ばんごうを付つけて、各かく引ひき出だしに集合しゅうごうsetを入いれている状況じょうきょうとして見みられる。和集合わしゅうごうunionは、どれか 1 つの引ひき出だしに入はいっていれば採用さいようする。共通部分きょうつうぶぶんintersectionは、すべての引ひき出だしに入はいっているものだけを採用さいようする。

この見方みかたでは、和集合わしゅうごうunionは条件じょうけんを緩ゆるめる操作そうさであり、共通部分きょうつうぶぶんintersectionは条件じょうけんを厳きびしくする操作そうさである。

添字集合そえじしゅうごうが空からの場合ばあいは特とくに注意ちゅういする。空からの和集合わしゅうごうunionは集あつめる元げんがないので空集合くうしゅうごうempty setになり、空からの共通部分きょうつうぶぶんintersectionは文脈ぶんみゃくの全体集合ぜんたいしゅうごうを使つかう約束やくそくで扱あつかう。

4Intuitive explanation

A family of sets集合族しゅうごうぞく can be imagined as numbered drawers, each containing a set集合しゅうごう. The union和集合わしゅうごう accepts an element if it appears in at least one drawer. The intersection共通部分きょうつうぶぶん accepts an element only if it appears in every drawer.

In this view, union weakens the condition, while intersection strengthens it.

The empty index set needs special care. The union over an empty family is the empty set空集合くうしゅうごう because there is no element to collect. The intersection over an empty family is taken to be the ambient universal set全体集合ぜんたいしゅうごう, when that universe has been fixed.

5厳密げんみつな説明せつめい：空からの添字集合そえじしゅうごうindex set

$$I=\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("varnothing")")]}$$I=\varnothing の場合ばあいは境界例きょうかいれいである。和集合わしゅうごうunion $$\bigcup _{i\in \text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("varnothing")")]}}{A}_i$$\bigcup_{i\in\varnothing}A_i は、入はいるための「ある $$i\in \text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("varnothing")")]}$$i\in\varnothing」が存在そんざいしないため、空集合くうしゅうごうempty setになる。

共通部分きょうつうぶぶんintersection $$\bigcap _{i\in \text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("varnothing")")]}}{A}_i$$\bigcap_{i\in\varnothing}A_i は、この講義こうぎの定義ていぎでは固定こていした $$U$$U に等ひとしい。すべての $$x\in U$$x\in U について、検査けんさすべき $$i\in \text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("varnothing")")]}$$i\in\varnothing がないため「すべての $$i\in \text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("varnothing")")]}$$i\in\varnothing について $$x\in A_i$$x\in A_i」が成立せいりつする。このように反例はんれいとなる対象たいしょうがないため全称条件ぜんしょうじょうけんが真しんになることを空虚真くうきょしんvacuous truthという。

5Precise point: the empty index set添字集合そえじしゅうごう

The case $$I=\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("varnothing")")]}$$I=\varnothing is a boundary case. The union和集合わしゅうごう $$\bigcup _{i\in \text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("varnothing")")]}}{A}_i$$\bigcup_{i\in\varnothing}A_i is the empty set空集合くうしゅうごう, because there is no index $$i\in \text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("varnothing")")]}$$i\in\varnothing that can witness membership.

Under the definition in this lecture, the intersection共通部分きょうつうぶぶん $$\bigcap _{i\in \text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("varnothing")")]}}{A}_i$$\bigcap_{i\in\varnothing}A_i equals the fixed set $$U$$U. For every $$x\in U$$x\in U, the condition “for every $$i\in \text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("varnothing")")]}$$i\in\varnothing, $$x\in A_i$$x\in A_i” holds because there is no index to check. A universal condition that is true because there is no possible counterexample is called a vacuous truth空虚真くうきょしん.

6例題れいだい：添字付そえじつき共通部分きょうつうぶぶんindexed intersection

6.1問題もんだい

$$A_n=\{m\in \mathbb{Z}\mid n\text{は}m\text{を割り切る}\}$$A_n=\{m\in\mathbb Z\mid n\text{ は }m\text{ を割り切る}\} とする。$$\bigcap _{n=1}^3{A}_n$$\bigcap_{n=1}^{3}A_n を言葉ことばで説明せつめいせよ。

6Worked example: indexed intersection添字付き共通部分

6.1Problem

Let $$A_n=\{m\in \mathbb{Z}\mid n\text{divides}m\}$$A_n=\{m\in\mathbb Z\mid n\text{ divides }m\}. Describe $$\bigcap _{n=1}^3{A}_n$$\bigcap_{n=1}^{3}A_n in words.

6.2解説かいせつ

$$m\in \bigcap _{n=1}^3{A}_n$$m\in\bigcap_{n=1}^{3}A_n とは、$$m\in A_1$$m\in A_1、$$m\in A_2$$m\in A_2、$$m\in A_3$$m\in A_3 の全部ぜんぶが成立せいりつするという意味いみである。つまり $$m$$m は 1、2、3 のすべてで割わり切きれる整数せいすうintegerである。

したがって $$\bigcap _{n=1}^3{A}_n$$\bigcap_{n=1}^{3}A_n は 6 の倍数ばいすう全体ぜんたいである。この例れいでは、共通部分きょうつうぶぶんintersectionが複数ふくすうの条件じょうけんを同時どうじに満みたす元げんelementを抽出ちゅうしゅつする操作そうさであることを確認かくにんしている。

6.2Explanation

The statement $$m\in \bigcap _{n=1}^3{A}_n$$m\in\bigcap_{n=1}^{3}A_n means that all of $$m\in A_1$$m\in A_1, $$m\in A_2$$m\in A_2, and $$m\in A_3$$m\in A_3 hold. In other words, $$m$$m is an integer整数せいすう divisible by all of $$1,2,3$$1,2,3.

Therefore $$\bigcap _{n=1}^3{A}_n$$\bigcap_{n=1}^{3}A_n is the set of all multiples of $$6$$6. This example shows that intersection共通部分きょうつうぶぶん extracts elements元げん satisfying several conditions at the same time.

7見分みわけ方かたと関連かんれんリンク

• 同おなじ形かたちの集合しゅうごうsetが多数たすう現あらわれるなら、集合族しゅうごうぞくfamily of setsとして整理せいりする。
• 「どれか 1 つに属ぞくする」なら $$\bigcup$$\bigcup を用もちいる。
• 「すべてに属ぞくする」なら $$\bigcap$$\bigcap を用もちいる。
• 添字集合そえじしゅうごうindex setが空からの場合ばあいは、和集合わしゅうごうunionと共通部分きょうつうぶぶんintersectionで扱あつかいが異ことなる。

7How to identify it and related links

• If many sets集合しゅうごう with the same form appear, organize them as a family of sets集合族しゅうごうぞく.
• Use $$\bigcup$$\bigcup for “belongs to at least one.”
• Use $$\bigcap$$\bigcap for “belongs to all.”
• When the index set添字集合そえじしゅうごう is empty, union和集合わしゅうごう and intersection共通部分きょうつうぶぶん behave differently.

8演習えんしゅうリンク

8Exercise links