集合しゅうごうsetの基本きほん

Basics of sets集合しゅうごう

1導入どうにゅう

集合しゅうごうsetを学まなぶときに最初さいしょに固定こていすべき問といは、「何なにを同おなじ対象たいしょうの集あつまりとして扱あつかい、何なにを別べつの集あつまりとして扱あつかうか」である。集合しゅうごうsetは単たんなる袋ふくろではない。条件じょうけんconditionを満みたす対象たいしょうobjectを集あつめ、含ふくまれるかどうかで議論ぎろんするための言語げんごである。

この講義こうぎでは、元げんelement、所属しょぞくmembership、空集合くうしゅうごうempty set、部分集合ぶぶんしゅうごうsubset、外延性がいえんせいextensionalityを整理せいりする。ここを曖昧あいまいにすると、後あとの関係かんけいrelation、写像しゃぞうmap、べき集合しゅうごうpower setで「元げんなのか、部分集合ぶぶんしゅうごうsubsetなのか」が混乱こんらんする。

集合しゅうごうsetでは順序じゅんじょや重複ちょうふくではなく、所属しょぞくするかどうかだけが意味いみを持もつ。したがって、同おなじ元げんelementを持もつなら、書かき方かたや並ならび順じゅんが違ちがっても同おなじ集合しゅうごうsetである。

1Introduction

The first question to fix when studying sets集合しゅうごう is this: what are we treating as one collection, and what are we treating as a different collection? A set is not merely a bag. It is a language for collecting objects対象たいしょう that satisfy a condition条件じょうけん and then reasoning by whether each object is included.

This lecture organizes elements元げん, membership所属しょぞく, the empty set空集合くうしゅうごう, subsets部分集合ぶぶんしゅうごう, and extensionality外延性がいえんせい. If this point is vague, later topics such as relations関係かんけい, maps写像しゃぞう, and power sets冪集合べきしゅうごう become confusing because one loses track of whether something is an element or a subset.

2用語ようごと定義ていぎ

集合しゅうごうsetとは、対象たいしょうobjectを集あつめたものである。集合しゅうごうset $$A$$A に対象たいしょうobject $$x$$x が含ふくまれることを

と書かき、$$x$$x を $$A$$A の元げんelementという。$$x\notin A$$x\notin A は、$$x$$x が $$A$$A の元げんelementではないことを表あらわす。

空集合くうしゅうごうempty set $$\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("varnothing")")]}$$\varnothing は、元げんelementを 1 つも持もたない集合しゅうごうsetである。空集合くうしゅうごうempty setは「存在そんざいしない集合しゅうごう」ではなく、「元げんelementが存在そんざいしない集合しゅうごうset」である。

部分集合ぶぶんしゅうごうsubsetは、包含ほうがんinclusionを表あらわす。$$A\subseteq B$$A\subseteq B とは、すべての $$x$$x について

が成なり立たつことである。ここで $$A\subseteq B$$A\subseteq B は $$A=B$$A=B を許ゆるす。$$A⊊B$$A\subsetneq B は $$A\subseteq B$$A\subseteq B かつ $$A\ne B$$A\ne B を表あらわす。

2Terms and definitions

A set集合しゅうごう is a collection of objects対象たいしょう. We write

when an object $$x$$x is contained in a set $$A$$A, and we call $$x$$x an element元げん of $$A$$A. The notation $$x\notin A$$x\notin A means that $$x$$x is not an element of $$A$$A.

The empty set空集合くうしゅうごう $$\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("varnothing")")]}$$\varnothing is the set with no elements. It is not a nonexistent set; it is a set whose elements do not exist.

A subset部分集合ぶぶんしゅうごう expresses inclusion包含ほうがん. The statement $$A\subseteq B$$A\subseteq B means that, for every $$x$$x,

holds. Here $$A\subseteq B$$A\subseteq B allows $$A=B$$A=B. The notation $$A⊊B$$A\subsetneq B means $$A\subseteq B$$A\subseteq B and $$A\ne B$$A\ne B.

3方針ほうしん

集合しゅうごうsetを扱あつかうときは、図ずや直感ちょっかんだけで判断はんだんしない。まず「任意にんいの元げんelement $$x$$x を取とる」と考かんがえ、$$x\in A$$x\in A という条件じょうけんを別べつの条件じょうけんへ変形へんけいする。

この方針ほうしんは単純たんじゅんだが、強力きょうりょくである。集合しゅうごうsetの等式とうしき $$A=B$$A=B を示しめすには、

を示しめせばよい。これは、両方りょうほうの集合しゅうごうsetが同おなじ元げんelementを持もつことを確認かくにんする方法ほうほうである。

包含ほうがんinclusionを示しめすときは、任意にんいの $$x$$x を取とって所属条件しょぞくじょうけんを追おう。具体例ぐたいれいをいくつか調しらべることは予想よそうには役立やくだつが、証明しょうめいには全すべての元げんelementを扱あつかう論理ろんりが必要ひつようである。

3Method

When working with sets集合しゅうごう, do not decide only from a picture or intuition. First take an arbitrary element元げん $$x$$x and transform the condition $$x\in A$$x\in A into another membership condition.

This method is simple but powerful. To prove a set equality $$A=B$$A=B, it is enough to prove

This checks that the two sets have exactly the same elements from both directions.

4直感的ちょっかんてきな説明せつめい

集合しゅうごうsetは、名札なふだの付ついた対象たいしょうobjectの集あつまりとして考かんがえるとよい。$$x\in A$$x\in A は「$$x$$x に $$A$$A の名札なふだが付ついている」という主張しゅちょうである。$$A\subseteq B$$A\subseteq B は「$$A$$A の名札なふだが付ついているものには、必かならず $$B$$B の名札なふだも付ついている」という主張しゅちょうである。

この見方みかたでは、空集合くうしゅうごうempty setは何なにも入はいっていない箱はこである。したがって、空集合くうしゅうごうempty setは任意にんいの集合しゅうごうset $$A$$A の部分集合ぶぶんしゅうごうsubsetである。なぜなら、$$x\in \text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("varnothing")")]}$$x\in\varnothing となる $$x$$x が存在そんざいしないため、「$$x\in \text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("varnothing")")]}$$x\in\varnothing なら $$x\in A$$x\in A」という条件文じょうけんぶんに反例はんれいが存在そんざいしないからである。

4Intuitive explanation

It is useful to imagine a set集合しゅうごう as a collection of objects carrying a label. The statement $$x\in A$$x\in A says that $$x$$x has the label $$A$$A. The statement $$A\subseteq B$$A\subseteq B says that every object with label $$A$$A also has label $$B$$B.

From this point of view, the empty set空集合くうしゅうごう is an empty box. Therefore it is a subset部分集合ぶぶんしゅうごう of every set $$A$$A. There is no $$x$$x with $$x\in \text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("varnothing")")]}$$x\in\varnothing, so the conditional statement "if $$x\in \text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("varnothing")")]}$$x\in\varnothing, then $$x\in A$$x\in A" has no counterexample.

5厳密げんみつな説明せつめい

集合しゅうごうsetの同一性どういつせいは、外延性がいえんせいextensionalityで決きまる。外延性がいえんせいextensionalityとは、すべての $$x$$x について

が成なり立たつなら $$A=B$$A=B と判断はんだんする、という原理げんりである。つまり、集合しゅうごうsetは作つくり方かたではなく、含ふくまれる元げんelementによって決きまる。

たとえば

と書かいても、$$A=B$$A=B である。集合しゅうごうsetでは順序じゅんじょと重複ちょうふくは記録きろくされない。ここで順序じゅんじょを記録きろくしたいなら順序対じゅんじょついordered pairや列れつsequenceを用もちいる。重複ちょうふくを記録きろくしたいなら多重集合しゅうごうmultisetを用もちいる。

外延性がいえんせいextensionalityにより、2 つの集合しゅうごうsetが同おなじ元げんelementを持もつなら同おなじ集合しゅうごうである。名前なまえや記法きほうではなく、所属条件しょぞくじょうけんを比較ひかくすることが厳密げんみつな判断はんだんになる。

5Rigorous explanation

The identity of a set集合しゅうごう is determined by extensionality外延性がいえんせい. Extensionality is the principle that if

holds for every $$x$$x, then $$A=B$$A=B. In other words, a set is determined by its elements, not by the way it was written.

For example,

still gives $$A=B$$A=B. In a set, order and repetition are not recorded. If order must be recorded, use an ordered pair順序対じゅんじょつい or a sequence列れつ. If repetition must be recorded, use a multiset多重集合たじゅうしゅうごう.

6例題れいだい：部分集合ぶぶんしゅうごうsubsetを定義ていぎから確認かくにんする

6Worked example: checking a subset relation from the definition

6.1問題もんだい

$$A=\{2,4,6\}$$A=\{2,4,6\}、$$B=\{n\in \mathbb{Z}\mid n\text{は偶数で}1\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("le")")]}n\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("le")")]}6\}$$B=\{n\in\mathbb Z\mid n\text{ は偶数で }1\le n\le 6\} とする。$$A=B$$A=B を示しめせ。

6.1Problem

Let $$A=\{2,4,6\}$$A=\{2,4,6\} and $$B=\{n\in \mathbb{Z}\mid n\text{isevenand}1\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("le")")]}n\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("le")")]}6\}$$B=\{n\in\mathbb Z\mid n\text{ is even and }1\le n\le 6\}. Prove $$A=B$$A=B.

6.2解説かいせつ

集合しゅうごうsetの等式とうしきは、両側りょうがわの包含ほうがんinclusionで示しめす。

まず $$x\in A$$x\in A とする。このとき $$x$$x は $$2,4,6$$2,4,6 のいずれかである。いずれも整数せいすうintegerであり、偶数ぐうすうeven numberであり、$$1\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("le")")]}x\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("le")")]}6$$1\le x\le6 を満みたす。したがって $$x\in B$$x\in B である。よって $$A\subseteq B$$A\subseteq B である。

逆ぎゃくに $$x\in B$$x\in B とする。このとき $$x$$x は $$1\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("le")")]}x\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("le")")]}6$$1\le x\le6 を満みたす偶数ぐうすうeven numberである。したがって $$x$$x は $$2,4,6$$2,4,6 のいずれかであり、$$x\in A$$x\in A である。よって $$B\subseteq A$$B\subseteq A である。

両方りょうほうの包含ほうがんinclusionが成なり立たつので $$A=B$$A=B である。この例れいで確認かくにんしているのは、集合しゅうごうsetは表示ひょうじの仕方しかたではなく、元げんelementの一致いっちで比較ひかくするという点てんである。

6.2Explanation

A set equality is proved by proving inclusion包含ほうがん in both directions.

First take $$x\in A$$x\in A. Then $$x$$x is one of $$2,4,6$$2,4,6. Each of these is an integer整数せいすう, is an even number偶数ぐうすう, and satisfies $$1\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("le")")]}x\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("le")")]}6$$1\le x\le 6. Hence $$x\in B$$x\in B, so $$A\subseteq B$$A\subseteq B.

Conversely, take $$x\in B$$x\in B. Then $$x$$x is an even integer satisfying $$1\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("le")")]}x\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("le")")]}6$$1\le x\le 6. Therefore $$x$$x is one of $$2,4,6$$2,4,6, so $$x\in A$$x\in A. Hence $$B\subseteq A$$B\subseteq A.

Both inclusions hold, so $$A=B$$A=B. This example checks the central point of this page: sets are compared by equality of elements, not by the surface form of their descriptions.

7変かわるものと保存ほぞんされるもの

変かえられるのは表記ひょうきや条件じょうけんの書かき方かたであり、保存ほぞんしたいのは各かく対象たいしょうobjectについて所属しょぞくの真偽しんぎが一致いっちすることである。この視点してんが、後あとの集合演算しゅうごうえんざんset operationや写像しゃぞうmapの像ぞうの理解りかいにも続つづく。

7What changes and what is preserved

8見分みわけ方かた

• 「$$x\in A$$x\in A かどうか」を問とうなら、集合しゅうごうsetの議論ぎろんである。
• 「$$A\subseteq B$$A\subseteq B かどうか」を問とうなら、任意にんいarbitraryの $$x\in A$$x\in A から $$x\in B$$x\in B を導みちびく。
• 「$$A=B$$A=B かどうか」を問とうなら、$$A\subseteq B$$A\subseteq B と $$B\subseteq A$$B\subseteq A を別々べつべつに確認かくにんする。
• 順序じゅんじょや重複ちょうふくが重要じゅうようなら、集合しゅうごうsetだけでは情報じょうほうが不足ふそくする。

迷まよったら、候補こうほの元げんelement $$x$$x が左辺さへんと右辺うへんのどちらに入はいるかを条件じょうけんで書かき換かえる。包含ほうがんでないことは 1 つの反例はんれいcounterexampleで示しめせるが、等号とうごうには両方向りょうほうこうの包含ほうがんが必要ひつようである。

8How to distinguish the ideas

• If the question is whether $$x\in A$$x\in A, it is a question about membership所属しょぞく.
• If the question is whether $$A\subseteq B$$A\subseteq B, start from an arbitrary $$x\in A$$x\in A and derive $$x\in B$$x\in B.
• If the question is whether $$A=B$$A=B, check $$A\subseteq B$$A\subseteq B and $$B\subseteq A$$B\subseteq A separately.
• If order or repetition matters, a plain set集合しゅうごう does not contain enough information.

9演習えんしゅうリンク

9Exercise link

10関連かんれんリンク

10Related links