双対空間そうついくうかんと共きょうベクトル

1導入どうにゅう

この講義こうぎでは、ベクトルを直接ちょくせつ測はかる対象たいしょうとして共きょうベクトルを導入どうにゅうし、微分形式びぶんけいしきの土台どだいを作つくることを説明せつめいする。

2用語ようごと定義ていぎ

双対空間そうついくうかんDual space は、ベクトル空間くうかん $$V$$V から体たい $$F$$F への線形写像せんけいしゃぞう全体ぜんたい $$V^{*}=\mathrm{Hom}(V,F)$$V^*=\operatorname{Hom}(V,F) である。

共きょうベクトルCovector は、ベクトルを入力にゅうりょくとして数かずを返かえす線形汎関数せんけいはんかんすうである。

3方針ほうしん

ベクトルが方向ほうこうや変位へんいを表あらわすなら、共きょうベクトルはそのベクトルから成分せいぶんや仕事しごとのような数値すうちを抽出ちゅうしゅつする。座標関数ざひょうかんすう $$dx,dy,dz$$dx,dy,dz は基本的きほんてきな共きょうベクトルとして解釈かいしゃくできる。

4具体例ぐたいれい

$$\omega (x,y)=3x-2y$$\omega(x,y)=3x-2y は $$R^2$$\mathbb{R}^2 上じょうの共きょうベクトルである。ベクトル $$(1,4)$$(1,4) に対たいして

を返かえす。

5dual basis

基底きてい $$e_1,\dots ,e_n$$e_1,\ldots,e_n に対たいして、双対基底そうついきてい $${\epsilon }^1,\dots ,{\epsilon }^n$$\varepsilon^1,\ldots,\varepsilon^n は

で定義ていぎされる。座標空間ざひょうくうかんでは、$$dx,dy,dz$$dx,dy,dz が標準基底ひょうじゅんきていに対たいする双対基底そうついきていとして働はたらく。

例れいとして $$R^3$$\mathbb{R}^3 の標準基底ひょうじゅんきていを $$e_1,e_2,e_3$$e_1,e_2,e_3 とする。$$dx\left(e_1\right)=1$$dx(e_1)=1、$$dx\left(e_2\right)=0$$dx(e_2)=0、$$dx\left(e_3\right)=0$$dx(e_3)=0 である。つまり $$dx$$dx はベクトルの第一成分だいいちせいぶんを抽出ちゅうしゅつする共きょうベクトルである。同様どうように $$dy,dz$$dy,dz は第二だいに・第三成分だいさんせいぶんを抽出ちゅうしゅつする。

6行ぎょうベクトルとの対応たいおう

座標ざひょうを固定こていすると、共きょうベクトルは行ぎょうベクトルとして表現ひょうげんされる。列れつベクトル $$v$$v に対たいして、行ぎょうベクトル $$\omega$$\omega が $$\omega v$$\omega v を返かえす。この表現ひょうげんは基底きていに依存いぞんするが、共きょうベクトルそのものは線形汎関数せんけいはんかんすうである。

7微分びぶんとの接続せつぞく

スカラー関数かんすう $$f$$f の点てん $$p$$p における微分びぶん $$d{f}_p$$df_p は、接せつベクトルを入力にゅうりょくとして方向微分ほうこうびぶんを返かえす共きょうベクトルである。したがって $$d{f}_p\left(v\right)$$df_p(v) は「$$p$$p から $$v$$v 方向ほうこうへ動うごいたときの一次変化いちじへんか」を表あらわす。

$$f(x,y)=x^{2}y$$f(x,y)=x^2y、$$p=(1,2)$$p=(1,2) とする。このとき

である。ベクトル $$v=(3,-1)$$v=(3,-1) に対たいして

となる。これは $$p$$p から $$v$$v 方向ほうこうへ微小びしょうに移動いどうしたときの一次近似いちじきんじの変化率へんかりつである。

8ベクトルと共きょうベクトルの比較ひかく

内積ないせきがある場合ばあい、ベクトル $$a$$a から $$v\mapsto a·v$$v\mapsto a\cdot v という共きょうベクトルを作つくれる。しかしこれは内積ないせきを選択せんたくした後あとの同一視どういつしであり、内積ないせきのない一般いっぱんのベクトル空間くうかんでは自動的じどうてきではない。

9仕事しごととしての例れい

力ちからが変位へんい $$v$$v に対たいして仕事しごと $$W=\omega \left(v\right)$$W=\omega(v) を与あたえるとき、$$\omega$$\omega は変位へんいから数値すうちを抽出ちゅうしゅつする共きょうベクトルとして解釈かいしゃくできる。内積ないせきを用もちいれば力ちからベクトル $$F$$F と $$W=F·v$$W=F\cdot v と書かけるが、形式けいしきの立場たちばでは仕事しごとを返かえす線形汎関数せんけいはんかんすうが本体ほんたいである。

10転置てんちとの関係かんけい

線形写像せんけいしゃぞう $$A:V\to W$$A:V\to W があると、共きょうベクトルは逆向ぎゃくむきに移うつる。すなわち $$W^{*}$$W^* の元げんを $$V^{*}$$V^* の元げんへ送おくる写像しゃぞうが転置写像てんちしゃぞうである。この逆向ぎゃくむきの性質せいしつが pullback の入口いりぐちになる。

11よくある誤あやまり

• ベクトルと共きょうベクトルを同一視どういつしする。
• 内積ないせきがない状況じょうきょうであっても、ベクトルと共きょうベクトルを自動的じどうてきに対応たいおうさせる。
• $$dx$$dx を微小量びしょうりょうだけとして扱あつかい、線形汎関数せんけいはんかんすうとしての意味いみを確認かくにんしない。

12関連かんれんリンク