ノルムと三角不等式さんかくふとうしき

Normsノルム and the triangle inequality三角不等式さんかくふとうしき

1導入どうにゅう

この講義こうぎで重要じゅうようなのは、ノルムは「長ながさ」を抽象化ちゅうしょうかした関数かんすうであり、三角不等式さんかくふとうしきによって距離きょりとしての振舞ふるまいが保証ほしょうされるということである。

内積ないせきinner productから $$\parallel v\parallel =\sqrt{⟨v,v⟩}$$\|v\|=\sqrt{\langle v,v\rangle} と定義ていぎするだけでは、まだ「長ながさ」として十分じゅうぶんかどうかは明確めいかくでない。長ながさなら、0 以上いじょうであり、スカラー倍ばいで比例ひれいし、2 つのベクトルを足たした長ながさが各かく長ながさの和わを超こえない必要ひつようがある。この最後さいごの条件じょうけんが三角不等式さんかくふとうしきである。

1Introduction

The important point of this lecture is that a normノルム is a function that abstracts length, and the triangle inequality三角不等式さんかくふとうしき guarantees that it behaves like distance.

If we define $\parallel v\parallel =\sqrt{⟨v,v⟩}$\|v\|=\sqrt{\langle v,v\rangle} from an inner product内積ないせき, we still need to check that it really behaves like length: it should be nonnegative, scale by $\left|a\right|$|a| under scalar multiplication, and satisfy the rule that the length of a sum is no greater than the sum of the lengths. The last condition is the triangle inequality.

2用語ようごと定義ていぎ

ノルムNorm とは、ベクトル空間くうかん $$V$$V から非負実数ひふじつすうへの関数かんすう $$\parallel ·\parallel$$\|\cdot\| であり、任意にんいの $$u,v\in V$$u,v\in V とスカラー $$a$$a について、次つぎを満みたすものである。

三角不等式さんかくふとうしきTriangle inequality とは、上うえの 3 番目ばんめの不等式ふとうしきである。

距離きょりMetric は、ノルムから $$d(u,v)=\parallel u-v\parallel$$d(u,v)=\|u-v\| と定義ていぎできる。

2Terms and definitions

A normノルム on a vector space $V$V is a function $\parallel ·\parallel$\|\cdot\| from $V$V to the nonnegative real numbers such that, for all $u,v\in V$u,v\in V and scalars $a$a,

and

The third inequality is the triangle inequality三角不等式さんかくふとうしき. A metric距離きょり can be defined from a norm by

3方針ほうしん

まずノルムの公理こうりを確認かくにんし、つぎに内積ないせきinner productから定義ていぎしたノルムがその公理こうりを満みたすことを示しめす。三角不等式さんかくふとうしきだけは自明じめいでないため、コーシー・シュワルツの不等式ふとうしきを用もちいて導出どうしゅつする。

3Plan

First we verify the norm axioms. Then we show that the norm induced by an inner product satisfies them. The triangle inequality is the only nontrivial part, and it follows from the Cauchy-Schwarz inequality.

4直感的ちょっかんてきな説明せつめい

三角不等式さんかくふとうしきは、「迂回経路うかいけいろの距離きょりは、直行ちょっこうする距離きょりより短みじかくならない」という幾何学的きかがくてきな事実じじつの抽象形ちゅうしょうけいである。

ベクトルでは、$$u$$u だけ移動いどうし、つぎに $$v$$v だけ移動いどうする経路けいろと、$$u+v$$u+v へ一度いちどに移動いどうする経路けいろを比較ひかくする。直接ちょくせつの移動いどうは寄より道みちより長ながくならない。これが $$\parallel u+v\parallel \text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("le")")]}\parallel u\parallel +\parallel v\parallel$$\|u+v\|\le\|u\|+\|v\| である。

4Intuitive explanation

The triangle inequality is the abstract form of the geometric fact that a detour is not shorter than the direct path. Moving by $u$u and then by $v$v is a path whose total length is $\parallel u\parallel +\parallel v\parallel$\|u\|+\|v\|, while moving directly to $u+v$u+v has length $\parallel u+v\parallel$\|u+v\|. Therefore

5厳密げんみつな説明せつめい

5.11. 内積ないせきinner productからノルムを定義ていぎする

内積空間ないせきくうかんinner product spaceでは

と定義ていぎする。正定値性せいていちせいにより $$⟨v,v⟩\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ge")")]}0$$\langle v,v\rangle\ge0 であり、$$⟨v,v⟩=0$$\langle v,v\rangle=0 は $$v=0$$v=0 と同値どうちequivalentである。したがって非負性ひふせいと零れいベクトルの判定はんていは成立せいりつする。

スカラー $$a$$a については、

であるから、

を得える。

5.22. 三角不等式さんかくふとうしきを導出どうしゅつする

実内積空間じつないせきくうかんでは、

である。展開てんかいすると、

コーシー・シュワルツの不等式ふとうしきより $$⟨u,v⟩\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("le")")]}|⟨u,v⟩|\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("le")")]}\parallel u\parallel \parallel v\parallel$$\langle u,v\rangle\le |\langle u,v\rangle|\le \|u\|\|v\| である。したがって

両辺りょうへんは非負ひふなので、平方根へいほうこんを適用てきようして

を得える。

複素ふくそcomplex内積空間ないせきくうかんinner product spaceでは、展開てんかいに $$2\mathrm{Re}⟨u,v⟩$$2\operatorname{Re}\langle u,v\rangle が現あらわれるが、$$\mathrm{Re}⟨u,v⟩\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("le")")]}|⟨u,v⟩|$$\operatorname{Re}\langle u,v\rangle\le |\langle u,v\rangle| により同様どうように証明しょうめいできる。

5Precise explanation

5.11. Defining a norm from an inner product

In an inner product space内積空間ないせきくうかん,

Positive definiteness gives $⟨v,v⟩\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ge")")]}0$\langle v,v\rangle\ge0 and $⟨v,v⟩=0⟺v=0$\langle v,v\rangle=0\iff v=0, so nonnegativity and the zero-vector condition hold.

For a scalar $a$a,

so

5.22. Deriving the triangle inequality

In a real inner product space,

By Cauchy-Schwarz,

Therefore

Both sides are nonnegative, so taking square roots gives

In a complex inner product space, the expansion contains $2\mathrm{Re}⟨u,v⟩$2\operatorname{Re}\langle u,v\rangle, and the proof is the same because

6具体例ぐたいれい

$$R^2$$\mathbb R^2 の標準内積ひょうじゅんないせきでは、

である。$$u=(1,0)$$u=(1,0)、$$v=(0,1)$$v=(0,1) とすると、

であり、$$\sqrt{2}\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("le")")]}2$$\sqrt{2}\le2 が三角不等式さんかくふとうしきに対応たいおうする。

6Concrete example

In $R^2$\mathbb R^2 with the standard inner product,

For $u=(1,0)$u=(1,0) and $v=(0,1)$v=(0,1),

so the triangle inequality reads $\sqrt{2}\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("le")")]}2$\sqrt2\le2.

7別べつの観点かんてん

ノルムが与あたえられると、まず

によって距離きょりが定義ていぎされる。非負性ひふせい、対称性たいしょうせい、三角不等式さんかくふとうしきにより、これは距離関数きょりかんすうとして機能きのうする。

解析的かいせきてきには、ノルムは極限きょくげんや収束しゅうそくを定義ていぎするための道具どうぐである。$$d(v_n,v)=\parallel v_n-v\parallel \to 0$$d(v_n,v)=\|v_n-v\|\to0 と記述きじゅつできるとき、ベクトル列れつcolumn $$v_n$$v_n が $$v$$v に近ちかづくことを意味いみする。

幾何的きかてきには、ノルムは原点げんてんからの距離きょりである。三角不等式さんかくふとうしきは、この距離きょりが幾何学的きかがくてきな直観ちょっかんと整合せいごうすることを保証ほしょうする。

7Another viewpoint

Once a norm is given,

defines distance. This supports notions such as convergence and error:

Geometrically, a norm is distance from the origin, and the triangle inequality ensures that this distance is compatible with geometric intuition.

8判定基準はんていきじゅん

• 長ながさ、距離きょり、収束しゅうそく、誤差ごさを対象たいしょうにするなら、ノルムを確認かくにんする。
• 内積ないせきinner productが与あたえられているなら、まず $$\parallel v\parallel =\sqrt{⟨v,v⟩}$$\|v\|=\sqrt{\langle v,v\rangle} を構成こうせいする。
• 不等式ふとうしきの証明しょうめいでは、コーシー・シュワルツの不等式ふとうしきから三角不等式さんかくふとうしきへ接続せつぞくする。

8Criteria

• When length, distance, convergence, or error is involved, identify the norm.
• If an inner product is given, first construct $\parallel v\parallel =\sqrt{⟨v,v⟩}$\|v\|=\sqrt{\langle v,v\rangle}.
• For inequalities involving norms induced by inner products, Cauchy-Schwarz is the standard tool leading to the triangle inequality.

9どこまで成立せいりつするか

内積ないせきinner productから得えられるノルムは必かならず三角不等式さんかくふとうしきを満みたす。一方いっぽうで、すべてのノルムが内積ないせきinner productから生しょうじるわけではない。たとえば $$R^n$$\mathbb R^n の $${\ell }^1$$\ell^1 ノルムや $${\ell }^{\mathrm{\infty }}$$\ell^\infty ノルムは重要じゅうようだが、一般いっぱんには標準内積ひょうじゅんないせきから直接ちょくせつ導出どうしゅつされるものではない。

9Scope and limitations

Every norm obtained from an inner product satisfies the triangle inequality. However, not every norm comes from an inner product. For example, the ${\ell }^1$\ell^1 and ${\ell }^{\mathrm{\infty }}$\ell^\infty norms on $R^n$\mathbb R^n are important norms, but they are not generally the norm induced by the standard inner product.

10最終形さいしゅうけい

10Final forms

11一言ひとことでいうと

• ノルムは長ながさを抽象化ちゅうしょうかした関数かんすうであり、三角不等式さんかくふとうしきにより距離きょりとして作用さようする。

11In one sentence

A normノルム abstracts length, and the triangle inequality三角不等式さんかくふとうしき makes that length behave as a distance.

12演習えんしゅうリンク

12Exercise link

13関連かんれんリンク

13Related links