極値きょくちと Hessian

1導入どうにゅう

この講義こうぎでは、多変数関数たへんすうかんすうの極値きょくちを、一次微分いちじびぶんが消きえる条件じょうけんと二次近似にじきんじの符号ふごうで判定はんていする。

2用語ようごと定義ていぎ

停留点ていりゅうてんCritical point は、$$\nabla f=0$$\nabla f=0 となる点てんである。

HessianHessian は、二階偏導関数にかいへんどうかんすうを並ならべた行列ぎょうれつである。

3方針ほうしん

極値きょくちの候補こうほは停留点ていりゅうてんから探さがす。ただし、停留点ていりゅうてんであることは十分条件じゅうぶんじょうけんではない。Hessian が正定値せいていちなら狭義局所最小きょうぎきょくしょさいしょう、負定値ふていちなら狭義局所最大きょうぎきょくしょさいだいを与あたえる。

4具体例ぐたいれい

$$f(x,y)=x^2+y^2$$f(x,y)=x^2+y^2 では、停留点ていりゅうてんは $$(0,0)$$(0,0) であり、Hessian は $$2I$$2I である。これは正定値せいていちなので、$$(0,0)$$(0,0) は狭義局所最小きょうぎきょくしょさいしょうである。

5注意ちゅうい

Hessian が正定値せいていちであるだけでは極小きょくしょうを結論けつろんできない。対象点たいしょうてんが停留点ていりゅうてんであることを先さきに確認かくにんする必要ひつようがある。

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