場合ばあいの数かずと順列じゅんれつ・組合くみあせ

date2026-07-15document_iddoc_e17df6e7dd8ce387044b59e509f2b207description場合の数と順列・組合せを、並べるのか選ぶのかという見分け方から整理し、確率の前提となる数え上げの土台を説明する。prerequisites階乗 / 四則演算 / 条件の整理type講義content_typelecturestatusactive

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1導入どうにゅう

この講義こうぎで中心ちゅうしんに置おく発想はっそうは、並ならべる問題もんだいなのか、選えらぶ問題もんだいなのかを最初さいしょに見分みわけることである。

場合ばあいの数かずでつまずきやすいのは、式しきを覚おぼえても「どの場面ばめんでどれを使つかうか」が曖昧あいまいなまま計算けいさんを始はじめることである。この講義こうぎでは、順序じゅんじょが重要じゅうようかどうかで整理せいりする。

2用語ようごと定義ていぎ

順列じゅんれつPermutation とは、順序じゅんじょを区別くべつして並ならべる方法ほうほうの数かずである。

組合くみあせCombination とは、順序じゅんじょを区別くべつせずに選えらぶ方法ほうほうの数かずである。

3方針ほうしん

まず「同おなじ要素ようそを並ならべ替かえたら別物べつものか」を問とう。別物べつものなら順列じゅんれつ、同おなじなら組合くみあせである。そのあと、必要ひつような場合分ばあいわけを検討けんとうする。

4直感的ちょっかんてきな説明せつめい

座席ざせきを決きめる問題もんだいでは、A さんが 1 番目ばんめか 2 番目ばんめかで結果けっかは違ちがう。これは順列じゅんれつである。いっぽう、委員いいんを 3 人にん選えらぶ問題もんだいでは、A,B,C の選えらばれ方かたに順番じゅんばんはない。これは組合くみあせである。

5厳密げんみつな説明せつめい

5.11. 順列じゅんれつ

$n$ 個こから $r$ 個こを順番じゅんばんつきで選えらぶ数かずは

_{n} P_{r} = \frac{n!}{(n - r)!}

である。

5.22. 組合くみあせ

$n$ 個こから $r$ 個こを順番じゅんばんなしで選えらぶ数かずは

_{n} C_{r} = \frac{n!}{r! (n - r)!}

である。

5.33. 関係かんけい

順列じゅんれつは、組合くみあせで選えらんだあとに、その $r$ 個こを並ならべると考かんがえると

_{n} P_{r} =_{n} C_{r} \cdot r!

となる。

6見分みわけ方かた

席順せきじゅん、順位じゅんい、暗証番号あんしょうばんごうなら順列じゅんれつである。
委員いいんの選出せんしゅつ、代表だいひょうの選択せんたくなら組合くみあせである。
確率かくりつの問題もんだいで分母ぶんぼが数かぞえにくいときは、まず場合ばあいの数かずの問題もんだいに戻もどする。

7最終形さいしゅうけい

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")]_{n} P_{r} = \frac{n!}{(n - r)!}

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")]_{n} C_{r} = \frac{n!}{r! (n - r)!}

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")]_{n} P_{r} =_{n} C_{r} \cdot r!

8一言ひとことでいうと

順番じゅんばんが重要じゅうようなら順列じゅんれつ、重要じゅうようでなければ組合くみあせである。