数列すうれつと漸化式ぜんかしき

date2026-07-14document_iddoc_b54cc76ed99ddd4b29e2f91e504b5df1description数列の定義、添字規約、明示式と漸化式、初期条件による一意決定を整理し、主要な解法へ接続する二言語講義。type講義content_typelecturestatusactive

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1導入どうにゅう

数列すうれつは、自然数しぜんすうの添字そえじに従したがって各項かくこうを指定していしたものである。全項ぜんこうを添字そえじから直接計算ちょくせつけいさんする明示式めいじしきexplicit formulaと、既知きちの項こうから後続項こうぞくこうを定さだめる漸化式ぜんかしきrecurrence relationは、同一どういつの数列すうれつを記述きじゅつする二ふたつの基本方式きほんほうしきである。本講義ほんこうぎでは両者りょうしゃの意味いみ、初期条件しょきじょうけんの役割やくわり、代表例だいひょうれいを整理せいりし、後続講義こうぞくこうぎの解法かいほうへ接続せつぞくする。

2数列すうれつと添字そえじ

実数列じっすうれつ $(a_{n})_{n \geq 1}$ とは、各整数かくせいすう $n \geq 1$ に実数じっすう $a_{n}$ を対応たいおうさせる関数かんすうである。 $a_{n}$ を第だい $n$ 項こう、 $a_{1}$ を初項しょこうという。本講義ほんこうぎでは、特記とっきしない限かぎり添字そえじを $n = 1, 2, 3, \dots$ から開始かいしする。したがって、 $a_{n + 1} = F (n, a_{n})$ という更新形こうしんけいの式しきを「すべての $n \geq 1$ について」課かすと、 $F$ が定義ていぎされる範囲はんいで $a_{2}, a_{3}, \dots$ を順次じゅんじ規定きていする。

開始添字かいしそえじを $0$ とする規約きやくも可能かのうであるが、その場合ばあいは初項しょこうが $a_{0}$ となり、例たとえば $a_{1} r^{n - 1}$ に対応たいおうする式しきは $a_{0} r^{n}$ となる。異ことなる規約きやくを混用こんようしてはならない。

3明示式めいじしきと漸化式ぜんかしき

明示式めいじしきは、例たとえば

a_{n} = 2 n + 1 (n \geq 1)

のように、 $n$ から $a_{n}$ を直接ちょくせつ指定していする。これに対たいし、漸化式ぜんかしき（再帰式さいきしき）は

a_{n + 1} = a_{n} + 2 (n \geq 1), a_{1} = 3

のように、項こうの間まの関係かんけいと開始値かいしちを指定していする。この二ふたつは同おなじ数列すうれつ $3, 5, 7, \dots$ を表あらわす。明示式めいじしきは特定とくていの項こうの計算けいさんに適てきし、漸化式ぜんかしきは隣接項りんせつこうの変化へんかや生成過程せいせいかていの表現ひょうげんに適てきする。

4初期条件しょきじょうけんと一意決定いちけってい

漸化式ぜんかしきだけでは数列すうれつが一意いちいに定さだまらない場合ばあいがある。例たとえば

a_{n + 1} = 2 a_{n}

は、 $a_{1} = 1$ なら $1, 2, 4, \dots$ を、 $a_{1} = 3$ なら $3, 6, 12, \dots$ を生成せいせいする。 $a_{1}$ の指定していが必要ひつようである。

より一般いっぱんに、関数かんすう $F$ に対たいする一階いっかい漸化式ぜんかしき

a_{n + 1} = F (n, a_{n}) (n \geq 1)

と初期条件しょきじょうけん $a_{1} = c \in R$ が与あたえられ、 $F : N_{\geq 1} \times R \to R$ が各かく入力にゅうりょくに一ひとつの実数じっすうを対応たいおうさせる関数かんすうであれば、実数列じっすうれつは一意いちいに決定けっていされる。実際じっさい、 $a_{1}$ から $a_{2} = F (1, a_{1})$ が定さだまり、同様どうように各項かくこうから次項じこうが定さだまるためである。

$a_{n + 2}$ を $a_{n + 1}, a_{n}$ から定さだめる二階にかい漸化式ぜんかしきでは、通常つうじょうは連続れんぞくする二ふたつの初期値しょきちが必要ひつようとなる。例たとえば

a_{n + 2} = a_{n + 1} + a_{n} (n \geq 1), a_{1} = 1, a_{2} = 1

は $1, 1, 2, 3, 5, \dots$ を一意いちいに生成せいせいする。一般いっぱんに、 $G : N_{\geq 1} \times R^{k} \to R$ による $k$ 階漸化式かいぜんかしき

a_{n + k} = G (n, a_{n}, a_{n + 1}, \dots, a_{n + k - 1}) (n \geq 1)

では、最高添字さいこうそえじの項こうが直前ちょくぜんの $k$ 項こうから一意いちいに更新こうしんされるため、連続れんぞくする $k$ 個この初期値しょきち $a_{1}, \dots, a_{k}$ を指定していすれば実数列じっすうれつが一意いちいに決定けっていされる。

5等差数列とうさすうれつと等比数列とうひすうれつ

一定いっていの加法的変化かほうてきへんかは等差数列とうさすうれつを与あたえる。公差こうさ $d$ に対たいし、

a_{n + 1} = a_{n} + d, a_{n} = a_{1} + (n - 1) d

である。一定いっていの乗法的変化じょうほうてきへんかは等比数列とうひすうれつを与あたえる。公比こうひ $r$ に対たいし、

a_{n + 1} = r a_{n}, a_{n} = a_{1} r^{n - 1}

である。前者ぜんしゃでは差さ $a_{n + 1} - a_{n}$ 、後者こうしゃでは乗数じょうすうを検査けんさする。 $a_{n} = 0$ では比ひ $a_{n + 1} / a_{n}$ が定義ていぎされないため、等比とうひ性せいは除算じょざんせず $a_{n + 1} = r a_{n}$ によって判定はんていする。一般項いっぱんこうと有限和ゆうげんわの証明しょうめいおよび例外処理れいがいしょりは「等差数列とうさすうれつと等比数列とうひすうれつ」で扱あつかう。

data/lecture/math/sequence/arithmetic-and-geometric-sequences.lecture.n.md

6一次漸化式いちじぜんかしきの基本例きほんれい

定数ていすう $p, q$ に対たいする

a_{n + 1} = p a_{n} + q

を考かんがえる。 $p = 1$ なら $a_{n + 1} = a_{n} + q$ であり、等差数列とうさすうれつである。 $p \neq 1$ なら、平衡点へいこうてん

α = \frac{q}{1 - p}

は $α = p α + q$ を満みたす。すなわち、 $α$ は更新写像こうしんしゃぞう $x \mapsto p x + q$ の固定点こていてんfixed pointである。 $b_{n} := a_{n} - α$ と置おけば

b_{n + 1} = p b_{n}

となり、平衡点へいこうてんからの偏差へんさは等比数列とうひすうれつである。したがって

a_{n} = α + (a_{1} - α) p^{n - 1}

を得える。詳細しょうさいな導出どうしゅつ、 $p$ の値あたいによる挙動きょどう、具体例ぐたいれいは「一次いちじ漸化式ぜんかしき」で扱あつかう。

data/lecture/math/sequence/first-order-recurrences.lecture.n.md

7解法かいほうを選択せんたくする観点かんてん

差さが一定いっていなら等差数列とうさすうれつとして扱あつかう。
同一どういつの乗数じょうすうで更新こうしんされるなら等比数列とうひすうれつとして扱あつかう。
$a_{n + 1} = p a_{n} + q$ では、平衡点へいこうてんを減げんじて等比型とうひがたへ変換へんかんする。
複数ふくすうの過去項かここうを含ふくむ場合ばあい、階数かいすうと係数けいすうの構造こうぞうを確認かくにんし、特性方程式とくせいほうていしき等などの適用可能性てきようかのうせいを検討けんとうする。
添字そえじの移動いどうや差分さぶんを統一的とういつてきに扱あつかう場合ばあい、シフト作用素さようそを使用しようする。

各型かくかたの識別しきべつと解法選択かいほうせんたくは「漸化式ぜんかしきの型かたと解法かいほう」、シフト作用素さようそ $E$ と差分作用素さぶんさようそ $Δ = E - I$ による記述きじゅつは「シフト作用素さようそと漸化式ぜんかしき」で展開てんかいする。

data/lecture/math/sequence/recurrence-types-and-strategies.lecture.n.md data/lecture/math/sequence/shift-operators-and-recurrences.lecture.n.md

8適用上てきようじょうの注意ちゅうい

有限個ゆうげんこの提示項ていじこうだけから無限数列むげんすうれつの規則きそくを一意いちいに推定すいていすることはできない。同おなじ有限個ゆうげんこの項こうに一致いっちし、その後あとで異ことなる数列すうれつを無数むすうに構成こうせいできるためである。また、漸化式ぜんかしきが分数ぶんすうや平方根へいほうこんを含ふくむ場合ばあい、右辺うへんが各段階かくだんかいで定義ていぎされるかを確認かくにんする必要ひつようがある。形式的けいしきてきな更新規則こうしんきそくと初期条件しょきじょうけんがあっても、指定していした数かずの範囲内はんいないで後続項こうぞくこうが常つねに存在そんざいするとは限かぎらない。

9要約ようやく

数列すうれつ $(a_{n})_{n \geq 1}$ は、各整数かくせいすう $n \geq 1$ に項こう $a_{n}$ を対応たいおうさせる関数かんすうである。
明示式めいじしきは $a_{n}$ を添字そえじから直接ちょくせつ指定していし、漸化式ぜんかしきは既知きちの項こうから後続項こうぞくこうを指定していする。
漸化式ぜんかしきによる一意決定いちけっていには、階数かいすうに応おうじた初期条件しょきじょうけんと、各かく更新値こうしんちの一意いちいな定義ていぎが必要ひつようである。
等差型とうさがた、等比型とうひがた、平衡点へいこうてんによる変換へんかんが一次いちじ漸化式ぜんかしきの基本きほんとなる。

11演習えんしゅう

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Sequences and Recurrence Relations

1Introduction

A sequence specifies a term for each natural-number index. An {explicit formula} computes every term directly from its index, whereas a {recurrence relation} determines later terms from known ones. These are two fundamental ways to describe the same mathematical object. This lecture explains their meanings, the role of initial conditions, and their principal examples before directing the reader to the subsequent methods.

2Sequences and Indices

A real sequence $(a_{n})_{n \geq 1}$ is a function that assigns a real number $a_{n}$ to every integer $n \geq 1$ . We call $a_{n}$ the $n$ th term and $a_{1}$ the initial term. Unless stated otherwise, this lecture starts indices at $n = 1, 2, 3, \dots$ . Thus, imposing an update equation $a_{n + 1} = F (n, a_{n})$ “for every $n \geq 1$ ” successively governs $a_{2}, a_{3}, \dots$ wherever $F$ is defined.

One may instead start indices at $0$ . Under that convention the initial term is $a_{0}$ , and, for example, the formula corresponding to $a_{1} r^{n - 1}$ becomes $a_{0} r^{n}$ . Indexing conventions must not be mixed.

3Explicit Formulas and Recurrences

An explicit formula, such as

a_{n} = 2 n + 1 (n \geq 1),

specifies $a_{n}$ directly from $n$ . By contrast, a recurrence together with an initial condition, such as

a_{n + 1} = a_{n} + 2 (n \geq 1), a_{1} = 3,

specifies relations among the terms and a starting value. Both descriptions give the sequence $3, 5, 7, \dots$ . An explicit formula is convenient for computing a selected term, while a recurrence naturally expresses change between adjacent terms or a generative process.

4Initial Conditions and Uniqueness

A recurrence alone need not determine a unique sequence. For example,

a_{n + 1} = 2 a_{n}

generates $1, 2, 4, \dots$ when $a_{1} = 1$ , but $3, 6, 12, \dots$ when $a_{1} = 3$ . The value of $a_{1}$ is required.

More generally, suppose that

a_{n + 1} = F (n, a_{n}) (n \geq 1)

is accompanied by the initial condition $a_{1} = c \in R$ , and $F : N_{\geq 1} \times R \to R$ assigns one real number to every input. A unique real sequence then exists: $a_{1}$ determines $a_{2} = F (1, a_{1})$ , and every term similarly determines the next.

A second-order recurrence that determines $a_{n + 2}$ from $a_{n + 1}$ and $a_{n}$ usually requires two consecutive initial values. For example,

a_{n + 2} = a_{n + 1} + a_{n} (n \geq 1), a_{1} = 1, a_{2} = 1

uniquely generates $1, 1, 2, 3, 5, \dots$ . More generally, let $G : N_{\geq 1} \times R^{k} \to R$ and consider the order- $k$ recurrence

a_{n + k} = G (n, a_{n}, a_{n + 1}, \dots, a_{n + k - 1}) (n \geq 1) .

It uniquely updates the highest-index term from the preceding $k$ terms. Therefore, specifying the $k$ consecutive initial values $a_{1}, \dots, a_{k}$ uniquely determines a real sequence.

5Arithmetic and Geometric Sequences

A constant additive change gives an arithmetic sequence. With common difference $d$ ,

a_{n + 1} = a_{n} + d, a_{n} = a_{1} + (n - 1) d .

A constant multiplicative change gives a geometric sequence. With common ratio $r$ ,

a_{n + 1} = r a_{n}, a_{n} = a_{1} r^{n - 1} .

The former is recognized through the difference $a_{n + 1} - a_{n}$ and the latter through a common multiplier. When $a_{n} = 0$ , the quotient $a_{n + 1} / a_{n}$ is undefined, so geometric behavior must be tested through $a_{n + 1} = r a_{n}$ without division. The lecture on arithmetic and geometric sequences proves the general-term and finite-sum formulas and handles their exceptional cases.

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6A Basic First-Order Recurrence

For constants $p, q$ , consider

a_{n + 1} = p a_{n} + q .

If $p = 1$ , then $a_{n + 1} = a_{n} + q$ , so the sequence is arithmetic. If $p \neq 1$ , the equilibrium point

α = \frac{q}{1 - p}

satisfies $α = p α + q$ ; that is, $α$ is a {fixed point} of the update map $x \mapsto p x + q$ . Define $b_{n} := a_{n} - α$ . Then

b_{n + 1} = p b_{n},

so the deviation from equilibrium is geometric. Consequently,

a_{n} = α + (a_{1} - α) p^{n - 1} .

The lecture on first-order recurrences gives the detailed derivation, behavior for different values of $p$ , and examples.

data/lecture/math/sequence/first-order-recurrences.lecture.n.md

7Choosing a Method

If the difference is constant, use an arithmetic sequence.
If every update uses the same multiplier, use a geometric sequence.
For $a_{n + 1} = p a_{n} + q$ , subtract an equilibrium point to obtain geometric form.
When several preceding terms occur, identify the order and coefficient structure and examine whether methods such as a characteristic equation apply.
To treat index shifts and differences uniformly, use the shift operator.

The lecture on recurrence types and strategies develops classification and method selection. The lecture on shift operators and recurrences develops the shift operator $E$ and the difference operator $Δ = E - I$ .

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8Cautions in Application

Finitely many displayed terms cannot uniquely determine the rule of an infinite sequence: infinitely many sequences can agree on those terms and differ later. Moreover, when a recurrence contains fractions or square roots, one must check that its right-hand side is defined at every stage. Even a formal update rule with initial conditions need not produce all later terms within the specified number system.

9Summary

A sequence $(a_{n})_{n \geq 1}$ is a function assigning a term $a_{n}$ to every integer $n \geq 1$ .
An explicit formula specifies $a_{n}$ directly from the index; a recurrence specifies later terms from known ones.
Unique recursive determination requires suitable initial conditions for the order and a uniquely defined value at every update.
Arithmetic form, geometric form, and an equilibrium shift are the basic tools for first-order recurrences.

10Related Lectures

11Exercises

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数列すうれつと漸化式ぜんかしき

1導入どうにゅう

2数列すうれつと添字そえじ

3明示式めいじしきと漸化式ぜんかしき

4初期条件しょきじょうけんと一意決定いちけってい

5等差数列とうさすうれつと等比数列とうひすうれつ

6一次漸化式いちじぜんかしきの基本例きほんれい

7解法かいほうを選択せんたくする観点かんてん

8適用上てきようじょうの注意ちゅうい

9要約ようやく

10関連講義かんれんこうぎ

11演習えんしゅう

Sequences and Recurrence Relations

1Introduction

2Sequences and Indices

3Explicit Formulas and Recurrences

4Initial Conditions and Uniqueness

5Arithmetic and Geometric Sequences

6A Basic First-Order Recurrence

7Choosing a Method

8Cautions in Application

9Summary

10Related Lectures

11Exercises