等差数列とうさすうれつと等比数列とうひすうれつ

date2026-07-14document_iddoc_2e609f0db64f8a2e725977a907f28c82description等差数列と等比数列を漸化式で定義し、一般項と有限和を端点・例外を含めて証明する二言語講義。prerequisites数列の基本type講義content_typelecturestatusactive

mathhighschoolsequencelecture

1導入どうにゅう

数列すうれつの変化へんかを加法的かほうてきな一定量いっていりょうで記述きじゅつするか、乗法的じょうほうてきな一定倍率いっていばいりつで記述きじゅつするかを判別はんべつすることが本講義ほんこうぎの主題しゅだいである。定義ていぎを隣接項りんせつこうの漸化式ぜんかしきとして与あたえ、一般項いっぱんこうと有限和ゆうげんわを証明しょうめいする。

2定義ていぎ

実数列じっすうれつ $(a_{n})_{n \geq 1}$ を考察こうさつする。ある定数ていすう $d \in R$ が存在そんざいし、すべての $n \geq 1$ について

a_{n + 1} = a_{n} + d

が成立せいりつするとき、 $(a_{n})$ を等差数列とうさすうれつarithmetic sequence、 $d$ を公差こうさcommon differenceという。 $d = 0$ の定数列ていすうれつも含ふくむ。

ある定数ていすう $r \in R$ が存在そんざいし、すべての $n \geq 1$ について

a_{n + 1} = r a_{n}

が成立せいりつするとき、 $(a_{n})$ を等比数列とうひすうれつgeometric sequence、 $r$ を公比こうひcommon ratioという。この定義ていぎは $a_{1} = 0$ の零列れいれつも含ふくむ。零列れいれつでは任意にんいの $r$ が漸化式ぜんかしきを満みたすため、公比こうひは一意いちとは限かぎらない。

3一般項いっぱんこう

3.1等差数列とうさすうれつ

すべての $n \geq 1$ について

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] a_{n} = a_{1} + (n - 1) d

である。 $n = 1$ では右辺うへんが $a_{1}$ である。 $n \geq 2$ では、 $k = 1, \dots, n - 1$ に対たいする $a_{k + 1} - a_{k} = d$ を総和そうわすると、

a_{n} - a_{1} = \sum_{k = 1}^{n - 1} (a_{k + 1} - a_{k}) = (n - 1) d

となる。中央ちゅうおうの総和そうわは中間項ちゅうかんこうが相殺そうさいする望遠和ぼうえんわであるため、結論けつろんを得える。

3.2等比数列とうひすうれつ

すべての $n \geq 1$ について

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] a_{n} = a_{1} r^{n - 1}

である。 $n = 1$ では $r^{0} = 1$ により成立せいりつする。 $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ と仮定かていすると、 $a_{n + 1} = r a_{n} = a_{1} r^{n}$ であるため、数学的帰納法すうがくてききのうほうにより成立せいりつする。この証明しょうめいは $a_{1} = 0$ または $r = 0$ でも除算じょざんを使用しようせずに成立せいりつする。

4有限和ゆうげんわ

$1 \leq m \leq N$ とし、

S_{m, N} := \sum_{n = m}^{N} a_{n}

と定義ていぎする。項数こうすうは $N - m + 1$ である。

4.1等差数列とうさすうれつの有限和ゆうげんわ

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] S_{m, N} = \frac{N - m + 1}{2} (a_{m} + a_{N})

である。実際じっさい、順序じゅんじょを反転はんてんした同一どういつの和わを加算かさんすると、

2 S_{m, N} = \sum_{j = 0}^{N - m} (a_{m + j} + a_{N - j}) .

等差性とうさせいにより各括弧かくかっこは $a_{m} + a_{N}$ であり、括弧かっこは $N - m + 1$ 個こあるため公式こうしきを得える。 $m = N$ でも右辺うへんは $a_{m}$ となり、端点たんてんを含ふくむ。

特とくに $m = 1$ では

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] \sum_{n = 1}^{N} a_{n} = \frac{N}{2} {2 a_{1} + (N - 1) d} = \frac{N}{2} (a_{1} + a_{N}) .

4.2等比数列とうひすうれつの有限和ゆうげんわ

$r \neq 1$ の場合ばあい、

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] S_{m, N} = a_{m} \frac{1 - r^{N - m + 1}}{1 - r}

である。 $S_{m, N} = a_{m} + a_{m} r + \dots + a_{m} r^{N - m}$ と $r S_{m, N}$ の差さを取とると、

(1 - r) S_{m, N} = a_{m} - a_{m} r^{N - m + 1}

であり、 $1 - r \neq 0$ で除じょして結論けつろんを得える。 $m = N$ でも右辺うへんは $a_{m}$ である。 $r = 1$ の場合ばあいはこの除算じょざんが許容きょようされず、全項ぜんこうが $a_{m}$ であるため、別べつに

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] S_{m, N} = (N - m + 1) a_{m}

となる。両公式りょうこうしきは $a_{m} = 0$ を含ふくむ。

5差さと比ひによる判定はんてい

すべての $n \geq 1$ について $a_{n + 1} - a_{n} = d$ が同一どういつの定数ていすうなら、定義ていぎにより等差数列とうさすうれつである。
すべての $n \geq 1$ について $a_{n} \neq 0$ であり、 $a_{n + 1} / a_{n} = r$ が同一どういつの定数ていすうなら、 $a_{n + 1} = r a_{n}$ であるため等比数列とうひすうれつである。
比ひによる判定はんていは分母ぶんぼ $a_{n}$ が零れいの箇所かしょでは適用てきようできない。零項れいこうを含ふくむ可能性かのうせいがある場合ばあいは、除算じょざんせずに単一たんいつの定数ていすう $r$ について $a_{n + 1} = r a_{n}$ を直接検査ちょくせつけんさする。
有限個ゆうげんこの提示項ていじこうで差さまたは比ひが一致いっちしても、未提示みていじの全項ぜんこうについて同一どういつの規則きそくが保証ほしょうされない限かぎり、無限数列むげんすうれつの判定はんていにはならない。

例たとえば $2, 5, 8, 11, \dots$ は公差こうさ $3$ で $a_{n} = 3 n - 1$ である。 $5, 10, 20, 40, \dots$ は非零項ひれいこうの比ひが $2$ で $a_{n} = 5 \cdot 2^{n - 1}$ である。一方いっぽう、 $0, 0, 0, \dots$ は等比数列とうひすうれつであるが、 $0 / 0$ は定義ていぎされないため比ひによる判定はんていは使用しようできない。

6構造的解釈こうぞうてきかいしゃく

等差数列とうさすうれつの一般項いっぱんこう $a_{1} + (n - 1) d$ は添字そえじ $n$ の一次式いちじしきであり、アフィン関数かんすうの離散的対応物りさんてきたいおうぶつである。 $r > 0$ の等比数列とうひすうれつは、指数型関数しすうがたかんすう $x \mapsto a_{1} r^{x - 1}$ の整数点せいすうてんにおける値あたいと対応たいおうする。 $r < 0$ かつ $a_{1} \neq 0$ では符号ふごうが交替こうたいし、 $r = 0$ では初項しょこうの後あとが零れいとなるため、この対応たいおうとは区別くべつする。また、一次漸化式いちじぜんかしき $a_{n + 1} = p a_{n} + q$ は、 $p = 1$ なら等差数列とうさすうれつとなり、 $p \neq 1$ なら平衡点へいこうてんからの偏差へんさが等比数列とうひすうれつとなる。

7適用範囲てきようはんい

本講義ほんこうぎの有限和ゆうげんわは有限個ゆうげんこの項こうに対たいする恒等式こうとうしきであり、収束条件しゅうそくじょうけんを要ようしない。無限等比級数むげんとうひきゅうすうの和わには別途べっと $| r | < 1$ 等とうの条件じょうけんが必要ひつようである。また、公差こうさまたは公比こうひが添字そえじに依存いぞんする数列すうれつには、ここでの公式こうしきを直接適用ちょくせつてきようできない。

8基本公式きほんこうしき

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] a_{n + 1} = a_{n} + d ⟹ a_{n} = a_{1} + (n - 1) d

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] a_{n + 1} = r a_{n} ⟹ a_{n} = a_{1} r^{n - 1}

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] \sum_{n = m}^{N} a_{n} = \frac{N - m + 1}{2} (a_{m} + a_{N}) （等差）

\boxed{\sum_{n=m}^{N}a_n=\begin{cases}a_m\dfrac{1-r^{N-m+1}}{1-r},&r\ne1,\\(N-m+1)a_m,&r=1\end{cases}\quad\text{（等比）}}\boxed{\sum_{n=m}^{N}a_n=\begin{cases}a_m\dfrac{1-r^{N-m+1}}{1-r},&r\ne1,\\(N-m+1)a_m,&r=1\end{cases}\quad\text{（等比）}}

9要約ようやく

等差数列とうさすうれつは一定量いっていりょうの加算かさん、等比数列とうひすうれつは一定倍率いっていばいりつの乗算じょうざんによって定義ていぎされる。
一般項いっぱんこうと有限和ゆうげんわでは初項しょこう・終項しゅうこう・項数こうすうを明示めいじし、等比和とうひわでは $r = 1$ を分離ぶんりする。
比ひによる判定はんていには分母ぶんぼの非零性ひれいせいが必要ひつようであり、零項れいこうを含ふくむ場合ばあいは漸化式ぜんかしきを直接検査ちょくせつけんさする。

Arithmetic and Geometric Sequences

1Introduction

The central task of this lecture is to distinguish additive change by a constant amount from multiplicative change by a constant factor. We define both classes by recurrences between adjacent terms and prove their general-term and finite-sum formulas.

2Definitions

Consider a real sequence $(a_{n})_{n \geq 1}$ . It is an {arithmetic sequence} if there is a constant $d \in R$ such that

a_{n + 1} = a_{n} + d

for every $n \geq 1$ . The number $d$ is its {common difference}. This definition includes constant sequences, for which $d = 0$ .

It is a {geometric sequence} if there is a constant $r \in R$ such that

a_{n + 1} = r a_{n}

for every $n \geq 1$ . The number $r$ is a {common ratio}. This definition includes the zero sequence arising from $a_{1} = 0$ . For the zero sequence, every $r$ satisfies the recurrence, so the common ratio need not be unique.

3General Terms

3.1Arithmetic Sequences

For every $n \geq 1$ ,

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] a_{n} = a_{1} + (n - 1) d .

At $n = 1$ , the right-hand side is $a_{1}$ . For $n \geq 2$ , sum $a_{k + 1} - a_{k} = d$ over $k = 1, \dots, n - 1$ :

a_{n} - a_{1} = \sum_{k = 1}^{n - 1} (a_{k + 1} - a_{k}) = (n - 1) d .

The sum in the middle telescopes because its intermediate terms cancel, proving the formula.

3.2Geometric Sequences

For every $n \geq 1$ ,

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] a_{n} = a_{1} r^{n - 1} .

At $n = 1$ , this follows from $r^{0} = 1$ . If $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ , then $a_{n + 1} = r a_{n} = a_{1} r^{n}$ ; mathematical induction proves the formula. This proof uses no division and remains valid when $a_{1} = 0$ or $r = 0$ .

4Finite Sums

For $1 \leq m \leq N$ , define

S_{m, N} := \sum_{n = m}^{N} a_{n} .

There are $N - m + 1$ terms.

4.1Finite Arithmetic Sums

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] S_{m, N} = \frac{N - m + 1}{2} (a_{m} + a_{N}) .

Add the same sum written in reverse order:

2 S_{m, N} = \sum_{j = 0}^{N - m} (a_{m + j} + a_{N - j}) .

The arithmetic property makes every parenthesis equal to $a_{m} + a_{N}$ , and there are $N - m + 1$ parentheses. This proves the formula, including the endpoint case $m = N$ , where it gives $a_{m}$ .

In particular, for $m = 1$ ,

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] \sum_{n = 1}^{N} a_{n} = \frac{N}{2} {2 a_{1} + (N - 1) d} = \frac{N}{2} (a_{1} + a_{N}) .

4.2Finite Geometric Sums

If $r \neq 1$ , then

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] S_{m, N} = a_{m} \frac{1 - r^{N - m + 1}}{1 - r} .

Write $S_{m, N} = a_{m} + a_{m} r + \dots + a_{m} r^{N - m}$ and subtract $r S_{m, N}$ to obtain

(1 - r) S_{m, N} = a_{m} - a_{m} r^{N - m + 1} .

Division by $1 - r \neq 0$ proves the formula, including $m = N$ . If $r = 1$ , that division is invalid and every term equals $a_{m}$ , so instead

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] S_{m, N} = (N - m + 1) a_{m} .

Both formulas include $a_{m} = 0$ .

5Tests by Differences and Ratios

If $a_{n + 1} - a_{n} = d$ is the same constant for every $n \geq 1$ , the sequence is arithmetic by definition.
If $a_{n} \neq 0$ for every $n \geq 1$ and $a_{n + 1} / a_{n} = r$ is the same constant, then $a_{n + 1} = r a_{n}$ , so the sequence is geometric.
A ratio test cannot be applied where its denominator $a_{n}$ is zero. When zero terms may occur, test $a_{n + 1} = r a_{n}$ directly for a single constant $r$ , without division.
Agreement among finitely many displayed differences or ratios does not classify an infinite sequence unless the same rule is guaranteed for every unshown term.

For example, $2, 5, 8, 11, \dots$ has common difference $3$ and $a_{n} = 3 n - 1$ . The nonzero sequence $5, 10, 20, 40, \dots$ has ratio $2$ and $a_{n} = 5 \cdot 2^{n - 1}$ . By contrast, $0, 0, 0, \dots$ is geometric, but the ratio test is unavailable because $0 / 0$ is undefined.

6Structural Interpretation

The arithmetic general term $a_{1} + (n - 1) d$ is affine in the index and is a discrete counterpart of an affine function. When $r > 0$ , a geometric sequence consists of the values of the exponential-form function $x \mapsto a_{1} r^{x - 1}$ at integer points. When $r < 0$ and $a_{1} \neq 0$ , its signs alternate, while $r = 0$ makes every term after the first zero, so these cases must be distinguished from that correspondence. Moreover, a first-order recurrence $a_{n + 1} = p a_{n} + q$ is arithmetic when $p = 1$ ; when $p \neq 1$ , its deviation from an equilibrium point is geometric.

7Scope

The finite-sum identities in this lecture concern finitely many terms and require no convergence assumption. Summing an infinite geometric series requires additional conditions such as $| r | < 1$ . The formulas here do not apply directly when the difference or multiplier depends on the index.

8Basic Formulas

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] a_{n + 1} = a_{n} + d ⟹ a_{n} = a_{1} + (n - 1) d

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] a_{n + 1} = r a_{n} ⟹ a_{n} = a_{1} r^{n - 1}

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] \sum_{n = m}^{N} a_{n} = \frac{N - m + 1}{2} (a_{m} + a_{N}) a r i t h m e t i c) [PARSE ERROR: Undefined("RBrace")]

\boxed{\sum_{n=m}^{N}a_n=\begin{cases}a_m\dfrac{1-r^{N-m+1}}{1-r},&r\ne1,\\(N-m+1)a_m,&r=1\end{cases}\quad\text{(geometric)}}\boxed{\sum_{n=m}^{N}a_n=\begin{cases}a_m\dfrac{1-r^{N-m+1}}{1-r},&r\ne1,\\(N-m+1)a_m,&r=1\end{cases}\quad\text{(geometric)}}

9Summary

Arithmetic sequences are defined by adding a constant amount; geometric sequences are defined by multiplying by a constant factor.
General-term and finite-sum formulas must track the first term, last term, and number of terms; a geometric sum must treat $r = 1$ separately.
A ratio test requires nonzero denominators. When zero terms occur, test the recurrence directly.