級数きゅうすうの基本きほん

date2026-07-14document_iddoc_67e5775844aba78e98b4b3edacfa40dfdescription無限級数を部分和の極限として定義し、項が零へ収束する必要性、調和級数の発散、等比級数の完全な収束分類を証明する。prerequisites数列の極限 / 等差数列と等比数列type講義content_typelecturestatusactive

mathsequenceundergraduatelecture

1導入どうにゅう

無限個むげんこの実数じっすうを一度いちどに加算かさんする演算えんざんは、有限和ゆうげんわからは直接ちょくせつには定義ていぎされない。無限級数むげんきゅうすうの値あたいは、有限個ゆうげんこの項こうからなる部分和ぶぶんわを数列すうれつとみなし、その極限きょくげんとして定義ていぎする。

本講義ほんこうぎでは実数列じっすうれつ $(a_{n})_{n \geq 1}$ を対象たいしょうとする。級数きゅうすうの収束しゅうそくを $ε$ - $N$ 論法ろんぽうで定式化ていしきかし、収束しゅうそくの必要条件ひつようじょうけんと、その逆ぎゃくが成立せいりつしないことを証明しょうめいする。さらに、等比級数とうひきゅうすうを完全かんぜんに分類ぶんるいする。

2部分和ぶぶんわと級数きゅうすうの定義ていぎ

$N \geq 1$ に対たいし、第だい $N$ 部分和ぶぶんわを

S_{N} = \sum_{n = 1}^{N} a_{n} = a_{1} + \dots + a_{N}

と定義ていぎする。記号きごう $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ は部分和列ぶぶんわれつ $(S_{N})_{N \geq 1}$ によって解釈かいしゃくする。

部分和列ぶぶんわれつが $S \in R$ に収束しゅうそくするとき、級数きゅうすうは収束しゅうそくするconvergeといい、

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} = S

と記しるす。すなわち、

\forall ε > 0 \exists N_{0} \in N \forall N \geq N_{0}, | \sum_{n = 1}^{N} a_{n} - S | < ε

である。部分和列ぶぶんわれつが有限ゆうげんな実数じっすうへ収束しゅうそくしないとき、級数きゅうすうは発散はっさんするdivergeという。記号きごう $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ は、収束しゅうそくを確認かくにんする以前いぜんには有限和ゆうげんわのような実数値じっすうちを表あらわさない。

3収束しゅうそくの必要条件ひつようじょうけん

3.1定理ていり

$\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ が収束しゅうそくするなら、 $a_{n} \to 0$ である。

3.2証明しょうめい

添字端点そえじたんてんを統一とういつするため、空和くうわを $S_{0} = 0$ と定義ていぎする。すると、すべての $n \geq 1$ について

a_{n} = S_{n} - S_{n - 1}

である。 $S_{n} \to S$ とする。任意にんいの $ε > 0$ に対たいし、ある $K \geq 1$ が存在そんざいして、 $m \geq K$ なら $| S_{m} - S | < ε / 2$ となる。 $n \geq K + 1$ なら $n \geq K$ かつ $n - 1 \geq K$ であるから、

| a_{n} | = | S_{n} - S_{n - 1} | \leq | S_{n} - S | + | S_{n - 1} - S | < ε .

したがって $a_{n} \to 0$ である。 $□$

この定理ていりの対偶たいぐうにより、 $a_{n}$ が $0$ に収束しゅうそくしなければ $\sum a_{n}$ は発散はっさんする。ただし、 $a_{n} \to 0$ は十分条件じゅうぶんじょうけんではない。

4反例はんれい：調和級数ちょうわきゅうすう

調和級数ちょうわきゅうすう

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n}

では $1 / n \to 0$ であるが、級数きゅうすうは発散はっさんする。実際じっさい、 $m \geq 1$ に対たいして $2^{m - 1} < n \leq 2^{m}$ を満みたす $2^{m - 1}$ 個この項こうを一群いちぐんとする。この群ぐんでは $n \leq 2^{m}$ であるから、各項かくこうは $1 / 2^{m}$ 以上いじょうであり、

\sum_{n = 2^{m - 1} + 1}^{2^{m}} \frac{1}{n} \geq 2^{m - 1} \frac{1}{2^{m}} = \frac{1}{2.}

ゆえに $k \geq 1$ に対たいし、端点たんてんを重複ちょうふくさせずに

S_{2^{k}} = 1 + \sum_{m = 1}^{k} \sum_{n = 2^{m - 1} + 1}^{2^{m}} \frac{1}{n} \geq 1 + \frac{k}{2} .

右辺うへんは $k \to \infty$ で非有界ひゆうかいである。また $S_{N}$ は単調増加たんちょうぞうかするため、 $S_{N} \to + \infty$ である。したがって調和級数ちょうわきゅうすうは発散はっさんし、 $a_{n} \to 0$ だけでは級数きゅうすうの収束しゅうそくを保証ほしょうできない。

5等比級数とうひきゅうすうの完全分類かんぜんぶんるい

$a, r \in R$ とし、

\sum_{n = 0}^{\infty} a r^{n}

を考察こうさつする。 $N \geq 0$ に対たいする部分和ぶぶんわを $T_{N} = \sum_{n = 0}^{N} a r^{n}$ とする。

$a = 0$ なら、 $r$ の値あたいに無関係むかんけいに $T_{N} = 0$ であり、級数きゅうすうは $0$ に収束しゅうそくする。
$a \neq 0$ かつ $r \neq 1$ なら、 $(1 - r) T_{N} = a (1 - r^{N + 1})$ であるから

T_{N} = \frac{a (1 - r^{N + 1})}{1 - r} .

$| r | < 1$ では $r^{N + 1} \to 0$ なので、

\sum_{n = 0}^{\infty} a r^{n} = \frac{a}{1 - r} .

$a \neq 0$ かつ $r = 1$ なら $T_{N} = a (N + 1)$ であり、 $a > 0$ では $+ \infty$ 、 $a < 0$ では $- \infty$ へ発散はっさんする。
$a \neq 0$ かつ $r = - 1$ なら $T_{N}$ は $a, 0, a, 0, \dots$ と振動しんどうして発散はっさんする。
$a \neq 0$ かつ $| r | > 1$ なら、一般項いっぱんこう $a r^{n}$ が $0$ に収束しゅうそくしないため、必要条件ひつようじょうけんにより発散はっさんする。 $r > 1$ では $a > 0$ なら部分和ぶぶんわは $+ \infty$ 、 $a < 0$ なら $- \infty$ へ発散はっさんし、 $r < - 1$ では絶対値ぜったいちが増大ぞうだいしながら符号ふごうが交替こうたいする。

したがって、 $a \neq 0$ の場合ばあい、等比級数とうひきゅうすうが収束しゅうそくするための必要十分条件ひつようじゅうぶんじょうけんは $| r | < 1$ である。 $a = 0$ はすべての $r$ に対たいする例外れいがいである。

6判定手順はんていてじゅん

まず部分和ぶぶんわを定義ていぎし、その極限きょくげんを問題もんだいとする。
一般項いっぱんこうが $0$ に収束しゅうそくしない場合ばあいは、必要条件ひつようじょうけんによって直ただちに発散はっさんと判定はんていする。
一般項いっぱんこうが $0$ に収束しゅうそくしても結論けつろんは確定かくていしない。部分和ぶぶんわの解析かいせきまたは適切てきせつな収束判定しゅうそくはんていが必要ひつようである。
等比級数とうひきゅうすうでは、まず $a = 0$ を分離ぶんりし、 $a \neq 0$ なら $| r | < 1$ か否いなかを判定はんていする。

7適用範囲てきようはんい

本講義ほんこうぎは収束しゅうそくの定義ていぎと最初さいしょの必要条件ひつようじょうけんを扱あつかう。正項級数せいこうきゅうすうの比較判定ひかくはんてい、絶対収束ぜったいしゅうそく、交代級数こうたいきゅうすう、冪級数べききゅうすうには追加ついかの定理ていりを要ようする。また、有限個ゆうげんこの項こうの変更へんこうは収束しゅうそく・発散はっさんを変更へんこうしないが、収束時しゅうそくじの和わはその変更量へんこうりょうだけ変化へんかする。

8基本公式きほんこうしき

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} = S ⟺ \forall ε > 0 \exists N_{0} \forall N \geq N_{0}, | \sum_{n = 1}^{N} a_{n} - S | < ε

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] \sum a_{n} が収束 ⟹ a_{n} \to 0

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] a \neq 0 : \sum_{n = 0}^{\infty} a r^{n} が収束 ⟺ | r | < 1

9要約ようやく

無限級数むげんきゅうすうの収束しゅうそくは部分和列ぶぶんわれつの収束しゅうそくである。
級数きゅうすうの収束しゅうそくには $a_{n} \to 0$ が必要ひつようであるが、調和級数ちょうわきゅうすうが示しめすとおり十分じゅうぶんではない。
等比級数とうひきゅうすうは、零級数れいきゅうすうを分離ぶんりすれば、 $| r | < 1$ の場合ばあいに限かぎり収束しゅうそくする。

Fundamentals of Series

1Introduction

An operation that adds infinitely many real numbers at once is not defined directly by finite addition. The value of an infinite series is defined as the limit of a sequence of partial sums, each containing only finitely many terms.

This lecture concerns a real sequence $(a_{n})_{n \geq 1}$ . It formulates convergence of a series by the $ε$ - $N$ criterion, proves a necessary condition and demonstrates why its converse fails, and then classifies every real geometric series.

2Partial Sums and the Definition of a Series

For $N \geq 1$ , define the $N$ th partial sum by

S_{N} = \sum_{n = 1}^{N} a_{n} = a_{1} + \dots + a_{N} .

The notation $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ is interpreted through the sequence of partial sums $(S_{N})_{N \geq 1}$ .

The series {converges} to $S \in R$ if $S_{N} \to S$ , in which case we write

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} = S .

Equivalently,

\forall ε > 0 \exists N_{0} \in N \forall N \geq N_{0}, | \sum_{n = 1}^{N} a_{n} - S | < ε .

The series {diverges} if its partial sums do not converge to a finite real number. Before convergence is established, the notation $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ does not denote a real number in the same manner as a finite sum.

3A Necessary Condition for Convergence

3.1Theorem

If $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ converges, then $a_{n} \to 0$ .

3.2Proof

To handle the lower endpoint uniformly, define the empty sum by $S_{0} = 0$ . Then, for every $n \geq 1$ ,

a_{n} = S_{n} - S_{n - 1} .

Suppose $S_{n} \to S$ . Given any $ε > 0$ , there is a $K \geq 1$ such that $m \geq K$ implies $| S_{m} - S | < ε / 2$ . If $n \geq K + 1$ , then both $n \geq K$ and $n - 1 \geq K$ , so

| a_{n} | = | S_{n} - S_{n - 1} | \leq | S_{n} - S | + | S_{n - 1} - S | < ε .

Therefore $a_{n} \to 0$ . $□$

By contraposition, if $a_{n}$ does not tend to zero, then $\sum a_{n}$ diverges. The condition $a_{n} \to 0$ , however, is not sufficient.

4Counterexample: The Harmonic Series

In the harmonic series

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n},

the terms satisfy $1 / n \to 0$ , but the series diverges. Indeed, for $m \geq 1$ , group the $2^{m - 1}$ terms whose indices satisfy $2^{m - 1} < n \leq 2^{m}$ . Every such index satisfies $n \leq 2^{m}$ , so every term is at least $1 / 2^{m}$ , and

\sum_{n = 2^{m - 1} + 1}^{2^{m}} \frac{1}{n} \geq 2^{m - 1} \frac{1}{2^{m}} = \frac{1}{2.}

Consequently, with no overlap at the endpoints, for $k \geq 1$ ,

S_{2^{k}} = 1 + \sum_{m = 1}^{k} \sum_{n = 2^{m - 1} + 1}^{2^{m}} \frac{1}{n} \geq 1 + \frac{k}{2} .

The right-hand side is unbounded as $k \to \infty$ . Since $S_{N}$ is increasing, in fact $S_{N} \to + \infty$ . Thus the harmonic series diverges, proving that $a_{n} \to 0$ alone cannot guarantee convergence of a series.

5Complete Classification of Geometric Series

Let $a, r \in R$ and consider

\sum_{n = 0}^{\infty} a r^{n} .

For $N \geq 0$ , put $T_{N} = \sum_{n = 0}^{N} a r^{n}$ .

If $a = 0$ , then $T_{N} = 0$ for every $r$ , so the series converges to $0$ .
If $a \neq 0$ and $r \neq 1$ , then $(1 - r) T_{N} = a (1 - r^{N + 1})$ , and hence

T_{N} = \frac{a (1 - r^{N + 1})}{1 - r} .

When $| r | < 1$ , we have $r^{N + 1} \to 0$ , and therefore

\sum_{n = 0}^{\infty} a r^{n} = \frac{a}{1 - r} .

If $a \neq 0$ and $r = 1$ , then $T_{N} = a (N + 1)$ , which diverges to $+ \infty$ for $a > 0$ and to $- \infty$ for $a < 0$ .
If $a \neq 0$ and $r = - 1$ , then $T_{N}$ oscillates as $a, 0, a, 0, \dots$ and diverges.
If $a \neq 0$ and $| r | > 1$ , then the term $a r^{n}$ does not tend to zero, so the necessary condition proves divergence. For $r > 1$ , the partial sums tend to $+ \infty$ if $a > 0$ and to $- \infty$ if $a < 0$ ; for $r < - 1$ , their signs alternate while their absolute values grow.

Thus, when $a \neq 0$ , the geometric series converges if and only if $| r | < 1$ . The case $a = 0$ is an exception that converges for every $r$ .

6Decision Procedure

First define the partial sums and ask whether that sequence has a limit.
If the general term does not tend to zero, conclude immediately from the necessary condition that the series diverges.
If the general term tends to zero, no conclusion follows yet; analyze the partial sums or apply an appropriate convergence test.
For a geometric series, first separate $a = 0$ ; when $a \neq 0$ , determine whether $| r | < 1$ .

7Scope

This lecture develops the definition of convergence and its first necessary condition. Comparison tests for positive-term series, absolute convergence, alternating series, and power series require additional theorems. Changing finitely many terms does not change whether a series converges or diverges, although in the convergent case it changes the sum by the corresponding finite amount.

8Basic Formulas

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} = S ⟺ \forall ε > 0 \exists N_{0} \forall N \geq N_{0}, | \sum_{n = 1}^{N} a_{n} - S | < ε

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] \sum a_{n} converges ⟹ a_{n} \to 0

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] a \neq 0 : \sum_{n = 0}^{\infty} a r^{n} converges ⟺ | r | < 1

9Summary

Convergence of an infinite series means convergence of its sequence of partial sums.
The condition $a_{n} \to 0$ is necessary but not sufficient, as the harmonic series demonstrates.
After the zero series is separated, a geometric series converges exactly when $| r | < 1$ .