数列すうれつの極限きょくげん

date2026-07-14document_iddoc_8d3f2023189c35c6496ecb66bccbdceadescription数列の収束を ε-N 論法で定義し、発散、等比数列、有理式、はさみうちによる極限判定を説明する。prerequisites数列の基本 / 不等式の基本type講義content_typelecturestatusactive

mathsequenceundergraduatelecture

1導入どうにゅう

この講義こうぎでは、数列すうれつがある実数じっすうへ収束しゅうそくすることを $ε$ - $N$ 論法ろんぽうによって定義ていぎし、有限個ゆうげんこの初項しょこうではなく、任意にんいの精度せいどに対たいして十分大じゅうぶんおおきい添字以降そえじいこうのすべての項こうによって極限きょくげんを判定はんていするという原則げんそくを説明せつめいする。

差分方程式さぶんほうていしきから得えた解かいの長期挙動ちょうききょどうや、次つぎの講義こうぎで扱あつかう級数きゅうすうの部分和ぶぶんわを解析かいせきするには、数列すうれつの「接近せっきん」を定量化ていりょうかする必要ひつようがある。以下いかでは実数列じっすうれつ $(a_{n})_{n \geq 1}$ を対象たいしょうとし、通常つうじょうの絶対値ぜったいちの性質せいしつを前提ぜんていとする。

2用語ようごと定義ていぎ

数列すうれつ $(a_{n})$ が $L \in R$ に収束しゅうそくconvergeするとは、

\forall ε > 0 \exists N \in N \forall n \geq N, | a_{n} - L | < ε

が成立せいりつすることである。このとき $\lim_{n \to \infty} a_{n} = L$ または $a_{n} \to L$ と記しるす。 $ε$ は要求ようきゅうする誤差ごさであり、 $N$ はその要求ようきゅうに応おうじて選択せんたくしてよいが、選択後せんたくごはすべての $n \geq N$ に同一どういつの評価ひょうかが成立せいりつしなければならない。

有限ゆうげんな実数じっすう $L$ のいずれにも収束しゅうそくしない数列すうれつを発散はっさんdivergeするという。特とくに、

\forall M \in R \exists N \in N \forall n \geq N, a_{n} > M

が成立せいりつするとき $a_{n} \to + \infty$ と記しるす。同様どうように、十分大じゅうぶんおおきい添字以降そえじいこうのすべての項こうが任意にんいの実数じっすう $M$ より小ちいさくなるとき $a_{n} \to - \infty$ と記しるす。 $+ \infty$ と $- \infty$ は実数じっすうの極限値きょくげんちではなく、特定とくていの発散様式はっさんようしきを表あらわす記号きごうである。例たとえば $(- 1)^{n}$ は振動しんどうして発散はっさんするため、いずれの無限大発散むげんだいはっさんでもない。

3基本性質きほんせいしつ

極限きょくげんは一意いちいである。実際じっさい、 $a_{n} \to L$ かつ $a_{n} \to K$ と仮定かていし、 $L \neq K$ とする。 $ε = | L - K | / 3$ に対たいして両定義りょうていぎを同時どうじに満みたす十分大じゅうぶんおおきい $n$ を選えらぶと、三角不等式さんかくふとうしきから

| L - K | \leq | L - a_{n} | + | a_{n} - K | < 2 | L - K | / 3

となり矛盾むじゅんする。

また、収束列しゅうそくれつは有界ゆうかいである。 $a_{n} \to L$ に対たいして $ε = 1$ を選えらべば、十分大じゅうぶんおおきい項こうは $| a_{n} | \leq | L | + 1$ を満みたす。残のこる有限個ゆうげんこの初項しょこうにも最大絶対値さいだいぜったいちが存在そんざいするため、すべての項こうを共通きょうつうの定数ていすうで評価ひょうかできる。したがって、非有界ひゆうかいな数列すうれつは収束しゅうそくしない。ただし、有界性ゆうかいせいだけでは収束しゅうそくを保証ほしょうせず、 $(- 1)^{n}$ が反例はんれいとなる。

以下いかでは既知きちの極限則きょくげんそくを使用しようする。 $a_{n} \to A$ 、 $b_{n} \to B$ なら、

a_{n} + b_{n} \to A + B, a_{n} b_{n} \to A B, \frac{a_{n}}{b_{n}} \to \frac{A}{B} (B \neq 0)

である。最後さいごの主張しゅちょうでは $b_{n} \neq 0$ が十分大じゅうぶんおおきい $n$ で成立せいりつする。これらは各誤差かくごさを三角不等式さんかくふとうしきで分割ぶんかつし、収束列しゅうそくれつの有界性ゆうかいせいを利用りようすれば $ε$ - $N$ 定義ていぎから証明しょうめいできる。

4等比数列とうひすうれつ

$a_{n} = a r^{n - 1}$ とする。 $a = 0$ なら恒等的こうとうてきに $0$ である。以下いかでは $a \neq 0$ とする。

$| r | < 1$ なら $a_{n} \to 0$ である。 $0 < | r | < 1$ のとき $q = 1 / | r | > 1$ とおく。二項定理にこうていりから $q^{m} = (1 + (q - 1))^{m} \geq 1 + m (q - 1)$ なので、任意にんいの $ε > 0$ に対たいし $1 + m (q - 1) > | a | / ε$ となる $m$ を選えらぶ。 $N = m + 1$ とすれば、 $n \geq N$ に対たいして $| a r^{n - 1} | \leq | a r^{m} | < ε$ となる。 $r = 0$ も直接確認ちょくせつかくにんできる。
$r = 1$ なら $a_{n} = a$ であり、 $a$ に収束しゅうそくする。
$r = - 1$ なら $a_{n}$ は $a$ と $- a$ を交互こうごにとる。仮かりに $a_{n} \to L$ なら、定義ていぎを偶数添字ぐうすうそえじと奇数添字きすうそえじへ適用てきようして定数列ていすうれつ $a$ と $- a$ がともに $L$ へ収束しゅうそくすることになるが、極限きょくげんの一意性いちいせいと $a \neq 0$ に反はんする。したがって発散はっさんする。
$r > 1$ なら、上うえの二項定理にこうていりによって $r^{n - 1}$ は任意にんいの正数せいすうを最終的さいしゅうてきに超こえる。したがって $a > 0$ なら $a_{n} \to + \infty$ 、 $a < 0$ なら $a_{n} \to - \infty$ である。
$r \leq - 1$ なら符号ふごうが交替こうたいする。 $r < - 1$ では絶対値ぜったいちも非有界ひゆうかいとなるため発散はっさんし、 $+ \infty$ にも $- \infty$ にも発散はっさんしない。

したがって、非零ひれいの実数じっすう $a$ に対たいする有限極限ゆうげんきょくげんの存在条件そんざいじょうけんは $| r | < 1$ または $r = 1$ である。

5有理式ゆうりしきで定義ていぎされた数列すうれつ

$P, Q$ を非零ひれいの実係数多項式じつけいすうたこうしき、 $Q (n) \neq 0$ が十分大じゅうぶんおおきい $n$ で成立せいりつするとし、

a_{n} = \frac{P (n)}{Q (n)}

を考かんがえる。 $p = [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"deg\")")] P$ 、 $q = [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"deg\")")] Q$ とし、最高次係数さいこうじけいすうをそれぞれ $c, d$ とする。 $p \leq q$ の場合ばあいは分子ぶんしと分母ぶんぼを $n^{q}$ で除算じょざんする。 $p > q$ の場合ばあいは $a_{n} / n^{p - q} = P (n) / (n^{p - q} Q (n))$ の分子ぶんしと分母ぶんぼを $n^{p}$ で除算じょざんする。 $1 / n^{k} \to 0$ と極限則きょくげんそくを適用てきようすると次つぎを得える。

$p < q$ なら $a_{n} \to 0$ 。
$p = q$ なら $a_{n} \to c / d$ 。
$p > q$ なら、 $a_{n} / n^{p - q}$ は $c / d$ に収束しゅうそくする。この比ひは十分大じゅうぶんおおきい添字以降そえじいこうで $c / d$ と同符号どうふごうかつ絶対値ぜったいちが $| c / (2 d) |$ 以上いじょうとなり、 $n^{p - q}$ は任意にんいの正数せいすうを超こえる。したがって、 $c / d > 0$ なら $+ \infty$ 、 $c / d < 0$ なら $- \infty$ へ発散はっさんする。

例たとえば、

\frac{3 n^{2} + 1}{n^{2} - 2 n + 5} = \frac{3 + n^{- 2}}{1 - 2 n^{- 1} + 5 n^{- 2}} ⟶ 3

である。ここで分母ぶんぼの極限きょくげんが $1 \neq 0$ であるため、商しょうの極限則きょくげんそくを適用てきようできる。

6はさみうちの定理ていり

十分大じゅうぶんおおきいすべての $n$ について

b_{n} \leq a_{n} \leq c_{n}

であり、 $b_{n} \to L$ かつ $c_{n} \to L$ なら $a_{n} \to L$ である。実際じっさい、任意にんいの $ε > 0$ に対たいし、十分大じゅうぶんおおきい $n$ では $L - ε < b_{n}$ かつ $c_{n} < L + ε$ となるため、 $| a_{n} - L | < ε$ である。

$| \sin n | \leq 1$ と $1 / n \to 0$ から

- \frac{1}{n} \leq \frac{\sin n}{n} \leq \frac{1}{n}

であり、はさみうちの定理ていりによって $\sin n / n \to 0$ となる。 $\sin n$ 自体じたいの収束しゅうそくを仮定かていする必要ひつようはない。

7判定手順はんていてじゅん

まず有限極限ゆうげんきょくげん、無限大発散むげんだいはっさん、振動しんどうのいずれが候補こうほかを区別くべつする。
等比因子とうひいんしがある場合ばあいは $| r | < 1$ 、 $r = 1$ 、 $r = - 1$ 、 $| r | > 1$ を分離ぶんりする。
有理式ゆうりしきでは分子ぶんしと分母ぶんぼの次数じすうおよび最高次係数さいこうじけいすうを比較ひかくする。
絶対値ぜったいちを収束しゅうそくする上界じょうかいで評価ひょうかできる場合ばあいは、はさみうちを適用てきようする。
極限きょくげんを主張しゅちょうする際さいは、使用しようする極限則きょくげんそくの仮定かてい、特とくに商しょうの分母ぶんぼの非零性ひれいせいを確認かくにんする。

8適用範囲てきようはんい

$ε$ - $N$ 定義ていぎでは添字そえじが自然数しぜんすうに限定げんていされるため、関数極限かんすうきょくげんの $ε$ - $δ$ 定義ていぎにある入力距離にゅうりょくきょり $δ$ は不要ふようである。一方いっぽう、数列すうれつを関数かんすう $f (n)$ の整数点上せいすうてんじょうの値あたいと見みても、整数点間せいすうてんかんにおける $f$ の挙動きょどうは数列すうれつの収束しゅうそくには影響えいきょうしない。

本講義ほんこうぎは実数列じっすうれつを対象たいしょうとする。複素数列ふくそすうれつでは絶対値ぜったいちを複素絶対値ふくそぜったいちに置換ちかんすれば収束しゅうそくを同様どうように定義ていぎできるが、 $+ \infty$ と $- \infty$ による順序付じゅんじょづけきの発散分類はっさんぶんるいはそのまま適用てきようできない。

9基本公式きほんこうしき

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] a_{n} \to L ⟺ \forall ε > 0 \exists N \forall n \geq N, | a_{n} - L | < ε

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] | r | < 1 \Rightarrow r^{n} \to 0

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] b_{n} \leq a_{n} \leq c_{n}, b_{n}, c_{n} \to L \Rightarrow a_{n} \to L

10要約ようやく

数列すうれつの収束しゅうそくは、任意にんいの誤差要求ごさようきゅうを十分大じゅうぶんおおきい添字以降そえじいこうのすべての項こうが満みたすことである。
発散はっさんには無限大発散むげんだいはっさんと振動しんどうなどがあり、 $\pm \infty$ は有限ゆうげんな極限値きょくげんちではない。
等比数列とうひすうれつ、有理式ゆうりしき、はさみうちは、それぞれ絶対値ぜったいち、最高次項さいこうじこう、不等式ふとうしきによって長期挙動ちょうききょどうを判定はんていする。

Limits of Sequences

1Introduction

This lecture defines convergence of a sequence to a real number by the $ε$ - $N$ criterion and develops the following principle: a limit is determined not by finitely many initial terms, but by all sufficiently late terms at every requested accuracy.

To analyze the long-term behavior of solutions to difference equations and the partial sums used in the next lecture on series, one must quantify what it means for a sequence to approach a value. We consider real sequences $(a_{n})_{n \geq 1}$ and assume the standard properties of absolute value.

2Terms and Definitions

A sequence $(a_{n})$ {converges} to $L \in R$ if

\forall ε > 0 \exists N \in N \forall n \geq N, | a_{n} - L | < ε .

We then write $\lim_{n \to \infty} a_{n} = L$ or $a_{n} \to L$ . The number $ε$ is the requested error tolerance. The index $N$ may depend on that tolerance, but after $N$ has been chosen, the same estimate must hold for every $n \geq N$ .

A sequence {diverges} if it does not converge to any finite real number. In particular, we write $a_{n} \to + \infty$ if

\forall M \in R \exists N \in N \forall n \geq N, a_{n} > M .

Similarly, $a_{n} \to - \infty$ means that all sufficiently late terms lie below every prescribed real bound $M$ . The symbols $+ \infty$ and $- \infty$ are not real limit values; they denote particular modes of divergence. For example, $(- 1)^{n}$ diverges by oscillation and tends to neither $+ \infty$ nor $- \infty$ .

3Basic Properties

A convergent sequence has a unique limit. Indeed, suppose $a_{n} \to L$ and $a_{n} \to K$ with $L \neq K$ . Apply both definitions with $ε = | L - K | / 3$ and choose one sufficiently large $n$ . The triangle inequality gives

| L - K | \leq | L - a_{n} | + | a_{n} - K | < 2 | L - K | / 3,

a contradiction.

Every convergent sequence is also bounded. If $a_{n} \to L$ , choosing $ε = 1$ shows that all sufficiently late terms satisfy $| a_{n} | \leq | L | + 1$ . The finitely many remaining terms have a maximum absolute value, so one constant bounds the entire sequence. Consequently, every unbounded sequence diverges. Boundedness alone does not guarantee convergence, as $(- 1)^{n}$ demonstrates.

We shall use the standard limit laws. If $a_{n} \to A$ and $b_{n} \to B$ , then

a_{n} + b_{n} \to A + B, a_{n} b_{n} \to A B, \frac{a_{n}}{b_{n}} \to \frac{A}{B} (B \neq 0) .

In the quotient law, $b_{n} \neq 0$ for all sufficiently large $n$ . These laws follow from the $ε$ - $N$ definition by splitting errors with the triangle inequality and using boundedness of convergent sequences.

4Geometric Sequences

Let $a_{n} = a r^{n - 1}$ . If $a = 0$ , the sequence is identically zero. Assume below that $a \neq 0$ .

If $| r | < 1$ , then $a_{n} \to 0$ . For $0 < | r | < 1$ , put $q = 1 / | r | > 1$ . The binomial theorem gives $q^{m} = (1 + (q - 1))^{m} \geq 1 + m (q - 1)$ . Given $ε > 0$ , choose $m$ so that $1 + m (q - 1) > | a | / ε$ . Set $N = m + 1$ ; if $n \geq N$ , then $| a r^{n - 1} | \leq | a r^{m} | < ε$ . The case $r = 0$ is immediate.
If $r = 1$ , then $a_{n} = a$ , so the sequence converges to $a$ .
If $r = - 1$ , the terms alternate between $a$ and $- a$ . If $a_{n} \to L$ , applying the definition along the even and odd indices would make both constant subsequences $a$ and $- a$ converge to $L$ , contrary to uniqueness and $a \neq 0$ . Thus the sequence diverges.
If $r > 1$ , the same binomial estimate shows that $r^{n - 1}$ eventually exceeds every positive number. Hence $a_{n} \to + \infty$ when $a > 0$ , and $a_{n} \to - \infty$ when $a < 0$ .
If $r \leq - 1$ , the sign alternates. When $r < - 1$ , the absolute values are also unbounded, so the sequence diverges and tends to neither $+ \infty$ nor $- \infty$ .

Thus, for nonzero real $a$ , a finite limit exists exactly when $| r | < 1$ or $r = 1$ .

5Sequences Defined by Rational Expressions

Let $P$ and $Q$ be nonzero real polynomials, assume $Q (n) \neq 0$ for all sufficiently large $n$ , and set

a_{n} = \frac{P (n)}{Q (n)} .

Write $p = [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"deg\")")] P$ and $q = [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"deg\")")] Q$ , and let their leading coefficients be $c$ and $d$ , respectively. For $p \leq q$ , divide the numerator and denominator by $n^{q}$ . For $p > q$ , write $a_{n} / n^{p - q} = P (n) / (n^{p - q} Q (n))$ and divide its numerator and denominator by $n^{p}$ . Applying the limit laws together with $1 / n^{k} \to 0$ yields:

If $p < q$ , then $a_{n} \to 0$ .
If $p = q$ , then $a_{n} \to c / d$ .
If $p > q$ , then $a_{n} / n^{p - q} \to c / d$ . Sufficiently late values of this ratio have the same sign as $c / d$ and absolute value at least $| c / (2 d) |$ , while $n^{p - q}$ eventually exceeds every positive number. Hence $a_{n} \to + \infty$ when $c / d > 0$ and $a_{n} \to - \infty$ when $c / d < 0$ .

For example,

\frac{3 n^{2} + 1}{n^{2} - 2 n + 5} = \frac{3 + n^{- 2}}{1 - 2 n^{- 1} + 5 n^{- 2}} ⟶ 3.

The denominator tends to $1 \neq 0$ , so the quotient law applies.

6Squeeze Theorem

Suppose that for every sufficiently large $n$ ,

b_{n} \leq a_{n} \leq c_{n},

and that $b_{n} \to L$ and $c_{n} \to L$ . Then $a_{n} \to L$ . Indeed, for every $ε > 0$ , sufficiently large $n$ satisfy $L - ε < b_{n}$ and $c_{n} < L + ε$ , and hence $| a_{n} - L | < ε$ .

Since $| \sin n | \leq 1$ and $1 / n \to 0$ ,

- \frac{1}{n} \leq \frac{\sin n}{n} \leq \frac{1}{n} .

The squeeze theorem therefore gives $\sin n / n \to 0$ . No convergence assumption on $\sin n$ itself is required.

7Decision Procedure

First distinguish among a candidate finite limit, divergence to infinity, and oscillation.
For a geometric factor, separate the cases $| r | < 1$ , $r = 1$ , $r = - 1$ , and $| r | > 1$ .
For a rational expression, compare the degrees and leading coefficients of its numerator and denominator.
When an absolute value can be bounded by a convergent upper bound, apply the squeeze theorem.
When invoking a limit law, verify its assumptions, especially the nonvanishing denominator in the quotient law.

8Scope

Because the index in the $ε$ - $N$ definition ranges only over natural numbers, there is no input-distance parameter $δ$ such as the one used in the $ε$ - $δ$ definition of a function limit. Although a sequence may be regarded as the values $f (n)$ of a function at integer points, the behavior of $f$ between those points does not affect convergence of the sequence.

This lecture concerns real sequences. Convergence of complex sequences is defined analogously by replacing absolute value with the complex modulus, but the ordered classification by $+ \infty$ and $- \infty$ does not transfer unchanged.

9Basic Formulas

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] a_{n} \to L ⟺ \forall ε > 0 \exists N \forall n \geq N, | a_{n} - L | < ε

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] | r | < 1 \Rightarrow r^{n} \to 0

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] b_{n} \leq a_{n} \leq c_{n}, b_{n}, c_{n} \to L \Rightarrow a_{n} \to L

10Summary

A sequence converges when all sufficiently late terms meet every requested error tolerance.
Divergence includes divergence to infinity and oscillation; $\pm \infty$ are not finite limit values.
Geometric sequences, rational expressions, and squeezing reduce long-term behavior to absolute values, leading terms, and inequalities, respectively.

11Related Lectures

data/lecture/math/sequence/difference-equation-basics.lecture.n.md data/lecture/math/sequence/series-basics.lecture.n.md data/lecture/math/calculus/limits-and-continuity.lecture.n.md