差分方程式さぶんほうていしきの基本きほん

1導入どうにゅう

この講義こうぎでは、差分方程式さぶんほうていしきが離散的りさんてきな変化へんかを数列すうれつの項こうの関係かんけいとして記述きじゅつする方程式ほうていしきであることを説明せつめいする。連続的れんぞくてきな変化へんかを記述きじゅつする微分方程式びぶんほうていしきとの構造的対応こうぞうてきたいおうも明確めいかくにする。

漸化式ぜんかしきを離散時間りさんじかんの方程式ほうていしきとして定式化ていしきかし、微分方程式びぶんほうていしきとの構造的対応こうぞうてきたいおうを説明せつめいする。ここでは $a_{n+1}-a_n$a_{n+1}-a_n を離散的りさんてきな変化量へんかりょうとして解釈かいしゃくする。

2用語ようごと定義ていぎ

差分方程式さぶんほうていしきDifference equation とは、離散的りさんてきな複数ふくすうの添字そえじにおける未知列みちれつの値あたいの関係かんけいを表あらわす方程式ほうていしきである。高階こうかいの方程式ほうていしきは $a_{n+2}$a_{n+2} と $a_n$a_n のような非隣接項ひりんせつこうを含ふくみうるが、この講義こうぎでは隣接りんせつする 2 項こうの一次方程式いちじほうていしきを主おもに扱あつかう。

前進差分ぜんしんさぶんForward difference とは、

で定義ていぎされる差さである。

3方針ほうしん

まず $a_{n+1}-a_n$a_{n+1}-a_n を離散変化量りさんへんかりょうとして採用さいようする理由りゆうを説明せつめいする。次つぎに、一次差分方程式いちじさぶんほうていしきを変形へんけいし、等比数列とうひすうれつと望遠和ぼうえんわによる解法かいほうを導出どうしゅつする。

4直感的ちょっかんてきな説明せつめい

微分方程式びぶんほうていしきにおける $y^{\prime }\left(x\right)$y'(x) が連続的れんぞくてきな局所変化率きょくしょへんかりつを表あらわすのに対たいし、差分方程式さぶんほうていしきにおける $a_{n+1}-a_n$a_{n+1}-a_n は添字そえじの 1 単位たんいの増加ぞうかに対応たいおうする増分ぞうぶんを表あらわす。

したがって、差分方程式さぶんほうていしきは、時間じかんや反復回数はんぷくかいすうが整数値せいすうちをとる現象げんしょうの記述きじゅつに適てきする。

5厳密げんみつな説明せつめい

5.11. 差分さぶんを使つかう理由りゆう

数列すうれつの変数へんすう $n$n は 1, 2, 3, ... という離散値りさんちをとる。したがって微分びぶん

をそのまま考かんがえるより、

によって変化量へんかりょうを記述きじゅつすることが自然しぜんである。

5.22. 最もっとも基本きほんの形かたち

の場合ばあい、

である。これは等比数列とうひすうれつである。この関係式かんけいしきは、添字そえじが 1 増加ぞうかするごとに直前ちょくぜんの項こうを $r$r 倍ばいする規則きそくを表あらわす。したがって、

となり、帰納的きのうてきに

を得える。

5.33. 一次いちじ非同次ひどうじ差分方程式さぶんほうていしき

を $n\ge 1$n\geq 1 で対象たいしょうとし、初期値しょきちを $a_1$a_1 とする。まず定数解ていすうかい $\alpha$\alpha を求もとめると

したがって、

である。この定数解ていすうかいを、更新写像こうしんしゃぞう $a\mapsto ra+b$a\mapsto ra+b によって不変ふへんな平衡点へいこうてんequilibrium pointという。平衡点へいこうてんからの偏差へんさを新あらたな列れつとすると、定数項ていすうこう $b$b を消去しょうきょして同次方程式どうじほうていしきへ変換へんかんできる。

そこで

とおくと

となる。したがって

で、

である。すなわち、平衡点へいこうてんを減算げんざんすることにより、非同次方程式ひどうじほうていしきを同次方程式どうじほうていしきへ変換へんかんできる。

ただし $$r=1$$r=1 のときは

であるから、

であり、各かく反復はんぷくにおける増分ぞうぶんは $b$b である。実際じっさい、

を加算かさんすると中間項ちゅうかんこうが相殺そうさいされ、

となる。したがって、

となる。したがって、$r\ne 1$r\ne 1 の公式こうしきは $r=1$r=1 に適用てきようできず、$r=1$r=1 の場合ばあいには独立どくりつの導出どうしゅつを要ようする。

5.44. $E-I$E-I による作用素表示さようそひょうじ

添字そえじを 1 増加ぞうかさせるシフト作用素さようそshift operator $E$E を

と定義ていぎする。このとき、前進差分ぜんしんさぶんは

と表現ひょうげんされる。

差分さぶん方程式ほうていしき

は、線型作用素方程式せんけいさようそほうていしきlinear operator equation

である。一般いっぱんの線型作用素方程式せんけいさようそほうていしきと同様どうように、1 つの特解とくかい $a^{\left(p\right)}$a^{(p)} が得えられれば、すべての解かいは

で与あたえられる。ここで $(E-I)h=0$(E-I)h=0 は $h_{n+1}=h_n$h_{n+1}=h_n を意味いみするため、連続れんぞくする整数添字せいすうそえじの領域上りょういきじょうで $h$h は定数列ていすうれつである。したがって、不定和分ふていわぶんにおいて積分定数せきぶんていすうに対応たいおうする対象たいしょうは、差分作用素さぶんさようその核かくである。

6数学的すうがくてきな解釈かいしゃく

6.1行列ぎょうれつによる解釈かいしゃく

一次いちじの差分方程式さぶんほうていしき

は、定数座標ていすうざひょう 1 を付加ふかして

と表現ひょうげんでき、漸化式ぜんかしきは行列反復ぎょうれつはんぷくとして解釈かいしゃくされる。

この表現ひょうげんでは、漸化式ぜんかしきの反復適用はんぷくてきようが行列ぎょうれつの累乗るいじょうに対応たいおうする。定数係数線型同次高階漸化式ていすうけいすうせんけいどうじこうかいぜんかしきも、連続れんぞくする項こうを状態じょうたいベクトルにまとめることにより、伴随行列はんずいぎょうれつによる一次系いちじけいへ変換へんかんできる。この場合ばあい、伴随行列はんずいぎょうれつの対角化可能性たいかくかかのうせいと Jordan 構造こうぞうが解かいの形式けいしきを規定きていする。

この行列表現ぎょうれつひょうげんにより、一次いちじだけでなく二階にかいおよび高階こうかいの漸化式ぜんかしきも共通きょうつうの枠組わくぐみによって整理せいりできる。

6.2解析学的かいせきがくてきな解釈かいしゃく

は

であり、これは微分方程式びぶんほうていしき

の離散的対応物りさんてきたいおうぶつである。連続系れんぞくけいの解かいが指数関数しすうかんすうとなるのに対たいし、離散系りさんけいの解かいは等比数列とうひすうれつとなる。

6.3複素関数ふくそかんすうによる解釈かいしゃく

差分方程式さぶんほうていしきに現あらわれる $r^n$r^n は、複素指数関数ふくそしすうかんすうによって増減ぞうげんと振動しんどうを統一的とういつてきに表現ひょうげんできる。$r=\rho e^{i\theta }$r=\rho e^{i\theta} と極形式きょくけいしきで表あらわすと

である。ここで

である。したがって、振動しんどうを伴ともなう増減ぞうげんは、単一たんいつの複素指数型ふくそしすうがたによって記述きじゅつできる。

この表現ひょうげんは倍率ばいりつと回転かいてんを同時どうじに記述きじゅつする。特とくに二階差分方程式にかいさぶんほうていしきが共役複素根きょうやくふくそこんをもつ場合ばあい、実数解じっすうかいが三角関数さんかくかんすうによって表現ひょうげんされる。

母関数ぼかんすうgenerating functionとは、列れつを係数けいすうにもつ形式的けいしきてきまたは収束しゅうそくする冪級数べききゅうすうである。ここでは添字そえじを 0 から開始かいしするように再添字付さいそえじづけし、$A\left(w\right)=\sum _{n\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ge")")]}0}{a}_n{w}^n$A(w)=\sum_{n\ge0}a_nw^n とする。漸化式ぜんかしきに $w^n$w^n を乗じょうじて総和そうわを取とると、シフトは $w$w の代数因子だいすういんしと初期項しょきこうへ変換へんかんされる。$w=z^{-1}$w=z^{-1} と置おけば、これは片側かたがわ Z 変換へんかんの冪級数表示べききゅうすうひょうじである。

7適用方針てきようほうしん

• 隣接項りんせつこう $a_{n+1},a_n$a_{n+1},a_n の関係かんけいを差分方程式さぶんほうていしきとして定式化ていしきかする。
• $a_{n+1}=r{a}_n+b$a_{n+1}=ra_n+b では、平衡点へいこうてんの減算げんざんによる同次化どうじかの可否かひを最初さいしょに検討けんとうする。
• 微分方程式びぶんほうていしきとの構造的対応こうぞうてきたいおうを利用りようして、増加ぞうか、減衰げんすい、振動しんどうを解釈かいしゃくする。

8成立範囲せいりつはんい

ここでは一次いちじの基本形きほんけいだけを扱あつかった。また $$a_{n+1}=r{a}_n+b$$a_{n+1}=ra_n+b の解法かいほうは $$r\ne 1$$r\ne 1 と $$r=1$$r=1 で場合分ばあいわけが必要ひつようである。高階こうかいの差分方程式さぶんほうていしきや非線形ひせんけいの差分方程式さぶんほうていしきでは、別べつの手法しゅほうが必要ひつようである。

9基本公式きほんこうしき

10要約ようやく

• 差分方程式さぶんほうていしきは、数列すうれつの変化へんかを離散的りさんてきな変化量へんかりょうによって記述きじゅつする方程式ほうていしきである。
• シフト作用素さようそによる表示ひょうじでは $\mathrm{\Delta }=E-I$\Delta=E-I であり、一般解いっぱんかいは特解とくかいと定数列ていすうれつの和わである。

11関連かんれんリンク

Fundamentals of Difference Equations

1Introduction

This lecture explains how a difference equation relates values of an unknown sequence at discrete indices. Its primary example is the first-order relation between adjacent terms, whose forward difference $a_{n+1}-a_n$a_{n+1}-a_n is the discrete analogue of a derivative and can be written using the shift operator.

2Terminology and Definition

A difference equation relates values of an unknown sequence at multiple discrete indices. Higher-order equations can involve nonadjacent terms such as $a_{n+2}$a_{n+2} and $a_n$a_n; this lecture concentrates on first-order equations between two adjacent terms. The forward difference is

3Program

We first explain why discrete change is represented by a difference, then solve first-order homogeneous and nonhomogeneous equations, including the exceptional case $r=1$r=1, and finally express the equation through the shift operator.

4Informal Interpretation

Where a derivative measures continuous local change, $a_{n+1}-a_n$a_{n+1}-a_n measures the increment over one discrete index step. Difference equations are therefore appropriate when time or iteration count takes integer values.

5Formal Development

5.11. Why Differences Are Used

The independent variable of a sequence changes in unit increments rather than continuously. Hence

is the natural change measure instead of $da/dn$da/dn.

5.22. The Fundamental Homogeneous Equation

For

repeated substitution gives $a_2=r{a}_1$a_2=ra_1, $a_3=r^2{a}_1$a_3=r^2a_1, and induction yields

This is a geometric sequence.

5.33. A First-Order Nonhomogeneous Difference Equation

For $n\ge 1$n\geq1, consider the recurrence with initial value $a_1$a_1:

A constant solution, also called an equilibrium point, satisfies $\alpha =r\alpha +b$\alpha=r\alpha+b. If $r\ne 1$r\ne1,

Defining the displacement $c_n=a_n-\alpha$c_n=a_n-\alpha eliminates the forcing term:

Since $C=c_1=a_1-\alpha$C=c_1=a_1-\alpha, the solution is

This is the sum of a particular solution and a homogeneous solution. The equilibrium is introduced before its use: it is a value unchanged by the update map $a\mapsto ra+b$a\mapsto ra+b.

If $r=1$r=1, the equilibrium formula is undefined and the equation becomes

Summing the differences telescopically gives

Thus $r=1$r=1 must be treated separately.

5.44. Operator Representation by $E-I$E-I

Define the forward shift by $(Ea{)}_n=a_{n+1}$(Ea)_n=a_{n+1}, consistently with the preceding shift-operator and Z-transform lectures. Then

The equation $\mathrm{\Delta }a=f$\Delta a=f is the linear operator equation

If $a^{\left(p\right)}$a^{(p)} is one particular solution, every solution is

The kernel condition says $h_{n+1}=h_n$h_{n+1}=h_n, so $h$h is constant on any domain of consecutive integer indices. This is the discrete counterpart of the integration constant.

6Mathematical Interpretations

6.1Matrix Interpretation

Adjoin a constant coordinate to write

Iteration of the recurrence is matrix multiplication. A homogeneous constant-coefficient linear higher-order recurrence can likewise be converted to a first-order system by collecting consecutive terms in a state vector. In that setting, diagonalizability and the Jordan structure of the companion matrix govern the form of explicit solutions.

6.2Analytic Interpretation

The equation

is the discrete analogue of $y^{\prime }=ky$y'=ky. Continuous evolution produces an exponential, whereas discrete evolution produces a geometric sequence.

6.3Complex-Function Interpretation

If $r=\rho e^{i\theta }$r=\rho e^{i\theta}, then

Thus $\rho$\rho controls growth or decay and $\theta$\theta controls rotation or oscillation. Complex conjugate roots in real recurrences consequently produce real trigonometric solutions.

A generating function is a formal or convergent power series whose coefficients are the sequence. Reindexing the sequence so that its index begins at zero, write $A\left(w\right)=\sum _{n\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ge")")]}0}{a}_n{w}^n$A(w)=\sum_{n\ge0}a_nw^n. Multiplying a recurrence by $w^n$w^n and summing converts shifts into algebraic factors in $w$w together with initial terms. With $w=z^{-1}$w=z^{-1}, this is the power-series form of the unilateral Z-transform convention.

7Application Strategy

• Treat a relation between adjacent terms as a difference equation.
• For $a_{n+1}=r{a}_n+b$a_{n+1}=ra_n+b, first test whether subtracting the equilibrium reduces the equation to homogeneous form.
• Use the correspondence with differential equations to interpret growth, decay, and oscillation, while retaining the discrete formulas.

8Scope

This lecture treats the basic first-order equation. The cases $r\ne 1$r\ne1 and $r=1$r=1 require separate formulas. Higher-order and nonlinear difference equations require additional methods.

9Basic Formulas

10Summary

• A difference equation describes sequence evolution through a discrete change measure.
• With the forward shift, $\mathrm{\Delta }=E-I$\Delta=E-I, and every solution of a linear equation is a particular solution plus an element of the kernel.

11Related Lectures