数列級数すうれつきゅうすうの基本きほん

date2026-03-27description数列級数を、項の列ではなく和の列として捉え、部分和と収束の考え方を説明します。prerequisites数列の極限 / 数列と漸化式type講義statusactive

mathsequenceundergraduatelecture

導入どうにゅう

この講義こうぎで最重要さいじゅうようなのは、級数きゅうすうは「項こうを足たしていく操作そうさ」そのものではなく、部分和ぶぶんわという新あらたな数列すうれつの極限きょくげんとして見みるべきだということです。

数列すうれつでは各項かくこう $a_{n}$ の振ふる舞まいを見みました。級数きゅうすうでは

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}

のように無限むげんに足たすので、そのままでは扱あつかえません。そこで部分和ぶぶんわ

S_{N} = \sum_{n = 1}^{N} a_{n}

を作つくり、 $S_{N}$ の極限きょくげんとして考かんがえます。

用語ようごと定義ていぎ

級数きゅうすうSeries とは、数列すうれつの項こうを順じゅんに足たしたものです。

部分和ぶぶんわPartial sum とは、最初さいしょの $N$ 項こうまでを足たした

S_{N} = \sum_{n = 1}^{N} a_{n}

です。

方針ほうしん

まず級数きゅうすうを直接ちょくせつ見みるのではなく、部分和ぶぶんわ $S_{N}$ の数列すうれつとして見みます。これは「無限むげんに足たす」とは何なにかを、極限きょくげんという既すでに知しっている概念がいねんへ落おとし込こむためです。

そのあと、 $S_{N}$ が収束しゅうそくするかどうかで級数きゅうすうを判断はんだんします。つまり、級数きゅうすうの本体ほんたいは「項こうの列れつ」ではなく「和わの列れつ」です。

直感的ちょっかんてきな説明せつめい

無限むげんに足たすといっても、いきなり最後さいごは見みえません。だから「1 項こうまで足たしたらどうか」「2 項こうまでならどうか」と順じゅんに見みるしかありません。このとき自然しぜんに現あらわれるのが部分和ぶぶんわです。

極限きょくげんは、もともと数列すうれつの行いき先さきを調しらべるための道具どうぐでした。そこで級数きゅうすうも、部分和ぶぶんわという数列すうれつに直なおしてから極限きょくげんで扱あつかいます。これが「級数きゅうすうを部分和ぶぶんわで定義ていぎする」理由りゆうです。

厳密げんみつな説明せつめい

1. 部分和ぶぶんわを作つくる

級数きゅうすう

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}

に対たいして

S_{N} = \sum_{n = 1}^{N} a_{n}

を定義ていぎします。

2. 収束しゅうそくの定義ていぎ

$S_{N}$ がある値あたい $S$ に収束しゅうそくするとき、

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} = S

と書かきます。

3. まず必かならず成なり立たつ必要条件ひつようじょうけん

もし

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}

が収束しゅうそくするなら、項こう $a_{n}$ は 0 に近ちかづかなければなりません。

なぜなら

a_{N} = S_{N} - S_{N - 1}

だからです。 $S_{N} \to S$ かつ $S_{N - 1} \to S$ なら

a_{N} = S_{N} - S_{N - 1} \to S - S = 0

です。

これは非常ひじょうに重要じゅうようですが、あくまで必要条件ひつようじょうけんです。 $a_{n} \to 0$ でも級数きゅうすうが発散はっさんすることはあります。

4. 基本例きほんれい

等比級数とうひきゅうすう

\sum_{n = 0}^{\infty} a r^{n}

を考かんがえます。部分和ぶぶんわを

S_{N} = a + a r + a r^{2} + \dots + a r^{N}

とおくと、

r S_{N} = a r + a r^{2} + \dots + a r^{N} + a r^{N + 1}

です。ここで引ひき算ざんすると

S_{N} - r S_{N} = a - a r^{N + 1}

だから

(1 - r) S_{N} = a (1 - r^{N + 1})

となり、

S_{N} = \frac{a (1 - r^{N + 1})}{1 - r}

を得えます。したがって $| r | < 1$ なら $r^{N + 1} \to 0$ なので

\sum_{n = 0}^{\infty} a r^{n} = \frac{a}{1 - r}

です。

どこまで成なり立たつか

等比級数とうひきゅうすうの公式こうしきは $r \neq 1$ で部分和ぶぶんわを整理せいりしたうえで、さらに無限級数むげんきゅうすうとしては $| r | < 1$ のときにだけ収束しゅうそくします。 $a_{n} \to 0$ も収束しゅうそくの必要条件ひつようじょうけんであって十分条件じゅうぶんじょうけんではありません。

見分みわけ方かた

級数きゅうすうを見みたら、まず部分和ぶぶんわを考かんがえます。
項こう $a_{n}$ が 0 に近ちかづかないなら、その級数きゅうすうは収束しゅうそくしません。
等比とうひの形かたちが見みえたら、まず $| r | < 1$ を確認かくにんします。

最終形さいしゅうけい

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] S_{N} = \sum_{n = 1}^{N} a_{n}

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] \sum a_{n} の収束は S_{N} の極限で決まる

一言ひとことでいうと

級数きゅうすうは、項こうそのものではなく部分和ぶぶんわの数列すうれつとして見みると整理せいりしやすくなります。