数列すうれつの極限きょくげん

date2026-03-27type講義statusactive

mathsequencehighschoollecture

導入どうにゅう

この講義こうぎで最重要さいじゅうようなのは、数列すうれつを「どこへ近ちかづくか」で分類ぶんるいすることです。

数列すうれつでは、各項かくこうを全部ぜんぶ個別こべつに見みるのではなく、 $n$ が大おおきくなったときの全体ぜんたいの振ふる舞まいを見みます。これが極限きょくげんです。

用語ようごと定義ていぎ

数列すうれつSequence とは、 $a_{1}, a_{2}, a_{3}, [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"dots\")")]$ のように並ならんだ数すうです。

収束しゅうそくConvergence とは、 $a_{n}$ がある値あたい $L$ に近ちかづくことです。

発散はっさんDivergence とは、ある有限ゆうげんの値あたいに近ちかづかないことです。

方針ほうしん

数列すうれつの極限きょくげんでは、まず主役しゅやくになる部分ぶぶんを見抜みぬきます。等比数列とうひすうれつなら公比こうひ、分数式ぶんすうしきなら最高次さいこうじの項こう、上下じょうげから押おさえられるなら評価ひょうかです。

直感的ちょっかんてきな説明せつめい

${(\frac{1}{2})}^{n}$ は掛かけるたびに小ちいさくなるので 0 に近ちかづきます。いっぽう $2^{n}$ はどんどん大おおきくなるので有限ゆうげんな値あたいには近ちかづきません。つまり極限きょくげんでは、「何なにを何回なんかい掛かけているか」が非常ひじょうに重要じゅうようです。

厳密げんみつな説明せつめい

1. 等比数列とうひすうれつ

a_{n} = a r^{n - 1}

なら、 $| r | < 1$ のとき

\lim_{n \to \infty} a_{n} = 0

です。

2. 分数式ぶんすうしきの極限きょくげん

たとえば

a_{n} = \frac{3 n^{2} + 1}{n^{2} - 2 n + 5}

では、分子ぶんし・分母ぶんぼを $n^{2}$ で割わると

a_{n} = \frac{3 + \frac{1}{n^{2}}}{1 - \frac{2}{n} + \frac{5}{n^{2}}}

です。したがって

\lim_{n \to \infty} a_{n} = 3

です。

3. はさみ打うち

たとえば

- \frac{1}{n} [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"le\")")] \frac{\sin n}{n} [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"le\")")] \frac{1}{n}

であり、両端りょうたんがともに 0 に収束しゅうそくするので

\lim_{n \to \infty} \frac{\sin n}{n} = 0

です。

見分みわけ方かた

公比こうひが見みえたら、まず $| r | < 1$ かどうかを見みます。
分数式ぶんすうしきなら、最高次さいこうじの項こうで割わることを疑うたがいます。
振動しんどうしていても大おおきさが押おさえられているなら、はさみ打うちを疑うたがいます。

どこまで成なり立たつか

数列すうれつの極限きょくげんは、関数かんすうの極限きょくげんと似にていますが、動うごける点てんが整数せいすうだけに限かぎられます。したがって連続的れんぞくてきな変化へんかとして見みるより、「項こうが進すすんだときどうなるか」を直接ちょくせつ追おいます。

最終形さいしゅうけい

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] | r | < 1 \Rightarrow r^{n} \to 0

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] 分数式では最高次で割る

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] 上下から押さえられればはさみ打ち

一言ひとことでいうと

数列すうれつの極限きょくげんでは、主役しゅやくになる部分ぶぶんを見抜みぬいて、残のこりを小ちいさくするのが基本きほんです。