極限きょくげんと連続れんぞく

極限きょくげんLimit

とは、任意にんいの $\epsilon >0$\varepsilon > 0 に対たいしてある $\delta >0$\delta > 0 が存在そんざいして

となることである（$\epsilon$\varepsilon-$\delta$\delta 論法ろんぽう）。

記号きごうの意味いみ：$\epsilon$\varepsilon（epsilon）は出力しゅつりょくの許容誤差きょようごさ、$\delta$\delta（delta）は入力にゅうりょくの調整量ちょうせいりょう。「どんなに厳きびしい精度せいどを要求ようきゅうされても（$\epsilon >0$\varepsilon > 0）、入力にゅうりょくを十分じゅうぶん絞しぼれば（$\delta$\delta を小ちいさく取とれば）出力しゅつりょくの誤差ごさを $\epsilon$\varepsilon 未満みまんに抑おさえられる」という主張しゅちょうである。

連続れんぞくContinuity

$f$f が $a$a で連続れんぞくContinuousであるとは以下いかの 3 条件じょうけんが成立せいりつすることである：

1. $f\left(a\right)$f(a) が定義ていぎされている
2. $\underset{x\to a}{\lim }f\left(x\right)$\lim_{x \to a} f(x) が存在そんざいする
3. $\underset{x\to a}{\lim }f\left(x\right)=f\left(a\right)$\lim_{x \to a} f(x) = f(a)

3 条件じょうけんを分離ぶんりして書かくのは、違反いはんするポイントが不連続ふれんぞくの種類しゅるいを決きめるからである。

片側極限かたがわきょくげんOne-sided limit

は、$x$x を $a$a より小ちいさい側がわから $a$a へ近ちかづけたときに $f\left(x\right)$f(x) が $L$L へ収束しゅうそくすることを表あらわす。同様どうように

は、$x$x を $a$a より大おおきい側がわから近ちかづける場合ばあいである。

両側りょうがわ極限きょくげん $\underset{x\to a}{\lim }f\left(x\right)$\lim_{x\to a}f(x) が存在そんざいすることと、左極限さきょくげん・右極限うきょくげんが存在そんざいして一致いっちすることは同値どうちである。跳躍ちょうやく不連続ふれんぞくでは、この一致いっちが破やぶれる。

1. $\epsilon$\varepsilon-$\delta$\delta 論法ろんぽうの最小例さいしょうれい

を $\epsilon$\varepsilon-$\delta$\delta 論法ろんぽうで証明しょうめいする。目標もくひょうは

を実現じつげんする $\delta$\delta を構成こうせいすることである。左辺さへんを整理せいりすると

だから、$|x-2|<\epsilon /3$|x-2|<\varepsilon/3 なら十分じゅうぶんである。したがって

と設定せっていすれば、

となる。この計算けいさんで重要じゅうようなのは、$\delta$\delta を先さきに当あてるのではなく、欲ほしい不等式ふとうしきから逆向ぎゃくむきに必要条件ひつようじょうけんを組くみ立たてることだ。

2. 極限きょくげんの計算けいさん技法ぎほう

直接代入ちょくせつだいにゅう：$f$f が $a$a で連続れんぞくなら $\underset{x\to a}{\lim }f\left(x\right)=f\left(a\right)$\lim_{x \to a} f(x) = f(a)。多項式たこうしき・有理関数ゆうりかんすう（分母ぶんも≠0）で直接ちょくせつ使つかえる。

因数分解いんすうぶんかい法ほう：$\underset{x\to 1}{\lim }\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("dfrac")")]}{x}^2-1x-1$\lim_{x \to 1} \dfrac{x^2 - 1}{x - 1}。分子ぶんしを因数分解いんすうぶんかいすると $\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("dfrac")")]}(x-1)(x+1)x-1=x+1$\dfrac{(x-1)(x+1)}{x-1} = x+1（$x\ne 1$x \neq 1）、極限きょくげんは $\underset{x\to 1}{\lim }(x+1)=2$\lim_{x \to 1}(x+1) = 2。

はさみうちの定理ていり（Squeeze theorem）：$g\left(x\right)\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("le")")]}f\left(x\right)\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("le")")]}h\left(x\right)$g(x) \le f(x) \le h(x) かつ $\underset{x\to a}{\lim }g\left(x\right)=\underset{x\to a}{\lim }h\left(x\right)=L$\lim_{x \to a} g(x) = \lim_{x \to a} h(x) = L なら $\underset{x\to a}{\lim }f\left(x\right)=L$\lim_{x \to a} f(x) = L。

例れい：$\underset{x\to 0}{\lim }x\sin \text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("dfrac")")]}1x$\lim_{x \to 0} x \sin\dfrac{1}{x}。$-\left|x\right|\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("le")")]}x\sin \text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("dfrac")")]}1x\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("le")")]}\left|x\right|$-|x| \le x \sin\dfrac{1}{x} \le |x| かつ $\underset{x\to 0}{\lim }(\pm |x\left|\right)=0$\lim_{x \to 0} (\pm|x|) = 0 より、極限きょくげんは 0。

重要じゅうような基本極限きほんきょくげん：

3. 不連続ふれんぞくの分類ぶんるい

4. 連続関数れんぞくかんすうの重要じゅうよう性質せいしつ

中間値定理ちゅうかんちていり（Intermediate Value Theorem）：$f$f が $[a,b]$[a, b] で連続れんぞくで $f\left(a\right)\ne f\left(b\right)$f(a) \neq f(b) なら、$f\left(a\right)$f(a) と $f\left(b\right)$f(b) の中間ちゅうかんの値あたい $c$c に対たいして $f\left(\xi \right)=c$f(\xi) = c となる $\xi \in (a,b)$\xi \in (a, b) が存在そんざいする。

意味いみ：連続れんぞくな関数かんすうは値あたいを「飛とばす」ことができない。$f\left(0\right)<0$f(0) < 0 かつ $f\left(1\right)>0$f(1) > 0 なら零点ぜろてんが $[0,1]$[0,1] に存在そんざいする（二分法にぶんほうの理論的りろんてき根拠こんきょ）。

最大値さいだいち・最小値さいしょうち定理ていり：$[a,b]$[a,b] で連続れんぞくな $f$f は最大値さいだいちと最小値さいしょうちを必かならず達成たっせいする（コンパクト性せいの帰結きけつ）。

5. なぜ $\epsilon$\varepsilon-$\delta$\delta が必要ひつようか

「近ちかづく」を言葉ことばだけで扱あつかうと循環じゅんかんする。例れい：「$f\left(x\right)$f(x) は $x\to a$x \to a のとき $L$L に近ちかづく」= 「$x$x が $a$a に近ちかいとき $f\left(x\right)$f(x) は $L$L に近ちかい」—「近ちかい」が循環じゅんかん。

$\epsilon$\varepsilon-$\delta$\delta は「近ちかい」を量りょう化かする：「$|x-a|<\delta$|x-a| < \delta のとき $\left|f\right(x)-L|<\epsilon$|f(x)-L| < \varepsilon」。これで近ちかさの制御せいぎょを不等式ふとうしきに帰着きちゃくさせ、数学的すうがくてきに操作そうさできる。