等差数列とうさすうれつと等比数列とうひすうれつ

date2026-03-27type講義statusactive

mathhighschoolsequencelecture

導入どうにゅう

この講義こうぎで最重要さいじゅうようなのは、数列すうれつの変化へんかが「足たし算ざん」なのか「掛かけ算ざん」なのかを見抜みぬくことです。

数列すうれつの公式こうしきだけを覚おぼえると、問題もんだいを見みたときにどれを使つかえばよいかが分わからなくなります。毎回まいかいの変化へんかが差さで一定いっていなのか、比ひで一定いっていなのかを見みることが出発点しゅっぱつてんです。

用語ようごと定義ていぎ

等差数列とうさすうれつArithmetic sequence とは、隣となり合あう項こうの差さが一定いっていの数列すうれつです。

等比数列とうひすうれつGeometric sequence とは、隣となり合あう項こうの比ひが一定いっていの数列すうれつです。

方針ほうしん

数列すうれつを見みたら、まず「足たし算ざんの規則きそくか」「掛かけ算ざんの規則きそくか」を確認かくにんします。差さが一定いっていなら等差数列とうさすうれつ、比ひが一定いっていなら等比数列とうひすうれつです。

直感的ちょっかんてきな説明せつめい

1. 等差数列とうさすうれつ

等差数列とうさすうれつは、毎回まいかい「同おなじだけ進すすむ」数列すうれつです。たとえば 3, 5, 7, 9, ... は、毎回まいかい 2 ずつ増ふえています。

2. 等比数列とうひすうれつ

等比数列とうひすうれつは、毎回まいかい「同おなじ倍率ばいりつで変かわる」数列すうれつです。たとえば 3, 6, 12, 24, ... は、毎回まいかい 2 倍ばいになっています。

3. 見分みわけ方かた

引ひき算ざんして一定いっていなら等差数列とうさすうれつ、割わり算ざんして一定いっていなら等比数列とうひすうれつです。この見分みわけが、あとで漸化式ぜんかしきを見みるときの基本きほんになります。

厳密げんみつな説明せつめい

1. 等差数列とうさすうれつの一般項いっぱんこう

a_{n + 1} - a_{n} = d

なら

a_{2} = a_{1} + d, a_{3} = a_{1} + 2 d, a_{4} = a_{1} + 3 d

と続つづくので、

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] a_{n} = a_{1} + (n - 1) d

です。

2. 等比数列とうひすうれつの一般項いっぱんこう

a_{n + 1} = r a_{n}

なら

a_{2} = a_{1} r, a_{3} = a_{1} r^{2}, a_{4} = a_{1} r^{3}

と続つづくので、

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] a_{n} = a_{1} r^{n - 1}

です。

3. 具体例ぐたいれい

数列すうれつ 2, 5, 8, 11, ... では

5 - 2 = 3, 8 - 5 = 3

だから公差こうさ 3 の等差数列とうさすうれつです。したがって

a_{n} = 2 + 3 (n - 1) = 3 n - 1

です。

数列すうれつ 5, 10, 20, 40, ... では

\frac{10}{5} = 2, \frac{20}{10} = 2

だから公比こうひ 2 の等比数列とうひすうれつです。したがって

a_{n} = 5 \cdot 2^{n - 1}

です。

別べつの見方みかた

等差数列とうさすうれつは一次関数いちじかんすうの離散版りさんばん、等比数列とうひすうれつは指数関数しすうかんすうの離散版りさんばんと見みることができます。この見方みかたを持もつと、増ふえ方かたの違ちがいが整理せいりしやすくなります。

どこまで成なり立たつか

差さや比ひが一定いっていでない数列すうれつには、そのままでは使つかえません。そのときは差さを取とり直なおすか、別べつの量りょうを作つくる必要ひつようがあります。

最終形さいしゅうけい

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] a_{n + 1} - a_{n} = d \Rightarrow a_{n} = a_{1} + (n - 1) d

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] a_{n + 1} = r a_{n} \Rightarrow a_{n} = a_{1} r^{n - 1}

一言ひとことでいうと

差さが一定いっていなら等差数列とうさすうれつ、比ひが一定いっていなら等比数列とうひすうれつです。
問題もんだいでは、まず引ひき算ざんか割わり算ざんかを試ためします。