一次いちじ漸化式ぜんかしき

date2026-03-27description一次漸化式を、平衡点による標準解法から説明し、差分方程式や線形代数の見方とも対応づけます。prerequisites等比数列 / 数列と漸化式 / 一次方程式type講義statusactive

mathhighschoolsequencelecture

導入どうにゅう

この講義こうぎで最重要さいじゅうようなのは、漸化式ぜんかしきの中なかに隠かくれた平衡点へいこうてんを見みつけて、等比数列とうひすうれつへ変形へんけいすることです。

$a_{n + 1} = p a_{n} + q$ の形かたちは、そのままだと等差数列とうさすうれつでも等比数列とうひすうれつでもありません。ここで定数項ていすうこう $q$ をどう処理しょりするかが核心かくしんです。

用語ようごと定義ていぎ

一次いちじ漸化式ぜんかしきFirst-order linear recurrence とは、

a_{n + 1} = p a_{n} + q

の形かたちをした漸化式ぜんかしきです。

平衡点へいこうてんFixed point とは、

α = p α + q

を満みたす値あたい $α$ のことです。

方針ほうしん

この形かたちでは、定数項ていすうこう $q$ が邪魔じゃまをしています。そこで「その点てんに来くれば、次つぎも同おなじ値あたいのまま」という平衡点へいこうてん $α$ を探さがし、 $a_{n} - α$ を新あたらしい数列すうれつとして考かんがえます。

data/lecture/math/sequence/数列と漸化式-講義.n.md data/lecture/math/sequence/差分方程式の基本-講義.n.md

直感的ちょっかんてきな説明せつめい

1. なぜ平衡点へいこうてんを引ひくのか

平衡点へいこうてんは、「そこにいれば動うごかない値あたい」です。したがって $a_{n}$ そのものではなく、「平衡点へいこうてんからどれだけ離はなれているか」を見みると、毎回まいかいの変化へんかが単純たんじゅんになります。

2. どこが等比型とうひがたになるのか

平衡点へいこうてんからのずれだけを見みると、次つぎの項こうのずれは前まえのずれの $p$ 倍ばいになります。つまり、「等比数列とうひすうれつが隠かくれている」と見みるのが直感ちょっかんです。

厳密げんみつな説明せつめい

a_{n + 1} = p a_{n} + q

を考かんがえます。 $α$ を

α = p α + q

を満みたす定数ていすうとします。

ここで

b_{n} := a_{n} - α

とおくと

b_{n + 1} = a_{n + 1} - α

です。もとの漸化式ぜんかしきを使つかえば

b_{n + 1} = p a_{n} + q - α

です。さらに $α = p α + q$ より $q = α - p α$ なので

b_{n + 1} = p a_{n} + α - p α - α = p (a_{n} - α) = p b_{n}

となります。したがって $b_{n}$ は等比数列とうひすうれつで、

b_{n} = b_{1} p^{n - 1}

です。 $b_{1} = a_{1} - α$ だから

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] a_{n} = α + (a_{1} - α) p^{n - 1}

を得えます。

具体例ぐたいれい

たとえば

a_{n + 1} = 2 a_{n} + 3, a_{1} = 1

を考かんがえます。平衡点へいこうてん $α$ は

α = 2 α + 3

より

α = - 3

です。そこで

b_{n} = a_{n} + 3

とおくと

b_{n + 1} = a_{n + 1} + 3 = 2 a_{n} + 6 = 2 (a_{n} + 3) = 2 b_{n}

だから $b_{n}$ は公比こうひ 2 の等比数列とうひすうれつです。 $b_{1} = 4$ なので

b_{n} = 4 \cdot 2^{n - 1} = 2^{n + 1}

です。よって

a_{n} = 2^{n + 1} - 3

となります。

別べつの見方みかた

代数的だいすうてきな見方みかた

一次いちじ漸化式ぜんかしきは、「定数項ていすうこうつきの等比とうひ」と見みることができます。その定数項ていすうこうを消けすために平衡点へいこうてんへ座標ざひょうをずらす、という見方みかたです。

この見方みかたの利点りてんは、高校数学こうこうすうがくの標準的ひょうじゅんてきな解法かいほうそのものが、「定数項ていすうこうを消けして同次化どうじかする」という代数操作だいすうそうさとして整理せいりできることです。

線形代数的せんけいだいすうてきな見方みかた

大学数学だいがくすうがくの言葉ことばで見みると、 $a_{n + 1} = p a_{n} + q$ はそのままでは線形写像せんけいしゃぞうではなく、平行移動へいこういどうつきの変換へんかんです。そこで 1 を付つけ足たして

(\begin{matrix} a_{n + 1} \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} p & q \\ 0 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} a_{n} \\ 1 \end{matrix})

と書かくと、2 次元じげんの線形変換せんけいへんかんとして読よめます。

このとき

(\begin{matrix} α \\ 1 \end{matrix})

が

(\begin{matrix} p & q \\ 0 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} α \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} α \\ 1 \end{matrix})

を満みたすのは、ちょうど $α = p α + q$ の平衡点へいこうてんだからです。つまり平衡点へいこうてんは、固有値こゆうち 1 に対応たいおうする不動ふどうの向むきとして見みることができます。

この見方みかたの利点りてんは、「なぜ平衡点へいこうてんを引ひくのか」が、座標ざひょうの原点げんてんを不動点ふどうてんへ移うつして変換へんかんを単純たんじゅんにしているからだと分わかることです。

解析的かいせきてきな見方みかた

$a_{n + 1} - a_{n}$ を離散的りさんてきな変化量へんかりょうと見みれば、一次いちじ漸化式ぜんかしきは微分方程式びぶんほうていしき

y^{'} = c y + d

の離散版りさんばんに近ちかい構造こうぞうを持もっています。どちらも「平衡点へいこうてんを引ひくと同次どうじになる」という同おなじ発想はっそうで解とけます。

この見方みかたの利点りてんは、数列すうれつと微分方程式びぶんほうていしきが別物べつものではなく、「離散りさんか連続れんぞくかが違ちがうだけで、平衡点へいこうてんまわりの構造こうぞうはよく似にている」と分わかることです。

どこまで成なり立たつか

この方法ほうほうは、 $a_{n + 1} = p a_{n} + q$ の形かたちでは有効ゆうこうです。しかし非線形ひせんけいの漸化式ぜんかしきや、係数けいすうが変化へんかする場合ばあいには、そのままでは使つかえません。

最終形さいしゅうけい

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] α = p α + q

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] b_{n} := a_{n} - α \Rightarrow b_{n + 1} = p b_{n}

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] a_{n} = α + (a_{1} - α) p^{n - 1}

一言ひとことでいうと

一次いちじ漸化式ぜんかしきでは、まず平衡点へいこうてんを探さがします。
平衡点へいこうてんを引ひくと、等比数列とうひすうれつへ直なおります。