差分方程式さぶんほうていしきの基本きほん

date2026-03-27description差分方程式を、隣り合う項どうしの関係から数列を決める方程式として説明し、微分方程式との対応も含めて整理します。prerequisites数列と漸化式 / 一次漸化式 / 数列の極限type講義statusactive

mathsequenceundergraduatelecture

導入どうにゅう

この講義こうぎで最重要さいじゅうようなのは、差分方程式さぶんほうていしきは連続れんぞくな変化へんかを微分方程式びぶんほうていしきで書かくのに対たいして、離散的りさんてきな変化へんかを隣となり合あう項こうの差さで書かく方程式ほうていしきだということです。

漸化式ぜんかしきを学まなんでも、それを方程式ほうていしきとして見みる視点してんがないと、微分方程式びぶんほうていしきとの共通点きょうつうてんが見みえません。ここでは $a_{n + 1} - a_{n}$ を離散りさんな変化率へんかりつとして読よみます。

用語ようごと定義ていぎ

差分方程式さぶんほうていしきDifference equation とは、数列すうれつの隣となり合あう項こうの関係かんけいを表あらわす方程式ほうていしきです。

前進差分ぜんしんさぶんForward difference とは、

Δ a_{n} = a_{n + 1} - a_{n}

で定義ていぎされる差さです。

方針ほうしん

まず $a_{n + 1} - a_{n}$ を連続れんぞくな微分びぶんの代かわりに使つかう理由りゆうを見みます。そのあと、一次いちじの差分方程式さぶんほうていしきを変形へんけいして、等比数列とうひすうれつや和わの操作そうさから解とく流ながれを整理せいりします。

data/lecture/math/sequence/一次漸化式-講義.n.md data/lecture/math/calculus/微分方程式の入口-講義.n.md

直感的ちょっかんてきな説明せつめい

微分方程式びぶんほうていしきで $y^{'} (x)$ が「少すこし動うごいたときの変化率へんかりつ」を表あらわしたように、差分方程式さぶんほうていしきでは $a_{n + 1} - a_{n}$ が「1 歩ぽ先さきへ進すすんだときの増減ぞうげん」を表あらわします。

だから差分方程式さぶんほうていしきは、時間じかんや回数かいすうが整数せいすうで進すすむ現象げんしょうを書かくのに向むいています。

厳密げんみつな説明せつめい

1. 差分さぶんを使つかう理由りゆう

数列すうれつでは変数へんすう $n$ は 1, 2, 3, ... と飛とび飛とびに動うごきます。したがって微分びぶん

\frac{d a}{d n}

をそのまま考かんがえるより、

Δ a_{n} = a_{n + 1} - a_{n}

で変化量へんかりょうを見みるほうが自然しぜんです。

2. 最もっとも基本きほんの形かたち

a_{n + 1} = r a_{n}

なら

a_{n} = a_{1} r^{n - 1}

です。これは等比数列とうひすうれつそのものです。この式しきは既知きちの結果けっかとして覚おぼえていてもよいですが、差分方程式さぶんほうていしきとして読よむなら「1 歩ぽ進すすむごとに前まえの項こうを $r$ 倍ばいする」という規則きそくが続つづくので、

a_{2} = r a_{1}, a_{3} = r a_{2} = r^{2} a_{1}, [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"dots\")")]

となり、帰納的きのうてきに

a_{n} = a_{1} r^{n - 1}

が自然しぜんに出でます。

3. 一次いちじ非同次ひどうじ差分方程式さぶんほうていしき

a_{n + 1} = r a_{n} + b

を考かんがえます。まず定数解ていすうかい $α$ を探さがすと

α = r α + b

だから

α = \frac{b}{1 - r} (r \neq 1)

です。定数解ていすうかいを探さがす理由りゆうは、「そこに来くれば次つぎも同おなじ値あたいのまま」という基準点きじゅんてんを見みつけたいからです。その基準点きじゅんてんからのずれだけを新あたらしい数列すうれつとして見みると、定数項ていすうこう $b$ の効果こうかを消けして同次どうじの問題もんだいへ直なおせます。

そこで

c_{n} = a_{n} - α

とおくと

c_{n + 1} = a_{n + 1} - α = r a_{n} + b - α = r (a_{n} - α) = r c_{n}

となります。したがって

c_{n} = C r^{n - 1}

で、

a_{n} = α + C r^{n - 1}

です。つまり非同次ひどうじの問題もんだいを、平衡点へいこうてんを引ひくことで同次どうじの問題もんだいへ直なおせます。

ただし $r = 1$ のときは

a_{n + 1} = a_{n} + b

なので、

a_{n + 1} - a_{n} = b

です。これは毎回まいかい $b$ ずつ増ふえるという意味いみです。実際じっさい、

a_{2} - a_{1} = b, a_{3} - a_{2} = b, [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"dots\")")], a_{n} - a_{n - 1} = b

を全部ぜんぶ足たし合あわせると途中とちゅうの項こうが打うち消けし合あって

a_{n} - a_{1} = (n - 1) b

となるので、

a_{n} = a_{1} + (n - 1) b

となります。したがって $r \neq 1$ の公式こうしきをそのまま使つかうのではなく、 $r = 1$ は別べつに扱あつかう必要ひつようがあります。

別べつの見方みかた

行列ぎょうれつによる見方みかた

一次いちじの差分方程式さぶんほうていしき

a_{n + 1} = r a_{n} + b

は、1 を付つけ足たして

(\begin{matrix} a_{n + 1} \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} r & b \\ 0 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} a_{n} \\ 1 \end{matrix})

と書かけば、行列ぎょうれつの反復はんぷくとして見みられます。

この見方みかたでは、漸化式ぜんかしきを何回なんかいも適用てきようすることは、行列ぎょうれつを何回なんかいも掛かけることに対応たいおうします。したがって高階こうかいの漸化式ぜんかしきでは、行列ぎょうれつを対角化たいかくかできるかどうかが解ときやすさに直結ちょっけつします。

この見方みかたの利点りてんは、一次いちじだけでなく二階にかいや高階こうかいの漸化式ぜんかしきまで、同おなじ枠組わくぐみで整理せいりできることです。

解析的かいせきてきな見方みかた

a_{n + 1} - a_{n} = k a_{n}

は

Δ a_{n} = k a_{n}

であり、これは微分方程式びぶんほうていしき

y^{'} = k y

の離散版りさんばんと見みられます。連続れんぞくでは指数関数しすうかんすうが現あらわれ、離散りさんでは等比数列とうひすうれつが現あらわれます。

複素関数ふくそかんすうによる見方みかた

差分方程式さぶんほうていしきで $r^{n}$ が自然しぜんに出でるのは、複素指数関数ふくそしすうかんすうまで含ふくめるとさらに見通みとおしがよくなります。たとえば $r = ρ e^{i θ}$ と書かけると

r^{n} = ρ^{n} e^{i n θ}

です。ここで

e^{i n θ} = \cos (n θ) + i \sin (n θ)

なので、振動しんどうしながら増減ぞうげんする数列すうれつは、複素数ふくそすうを使つかうと 1 つの指数型しすうがたでまとめて扱あつかえます。

この見方みかたの利点りてんは、「倍率ばいりつ」と「回転かいてん」を同時どうじに表あらわせることです。とくに二階にかい差分方程式さぶんほうていしきで複素数ふくそすうの解かいが出でるとき、実数解じっすうかいが三角関数さんかくかんすうの形かたちになる理由りゆうもここから見みえます。

見分みわけ方かた

隣となり合あう項こう $a_{n + 1}, a_{n}$ の関係かんけいが与あたえられたら、差分方程式さぶんほうていしきとして見みます。
定数ていすうを足たす形かたち $a_{n + 1} = r a_{n} + b$ では、まず平衡点へいこうてんを引ひいて同次化どうじかできないかを考かんがえます。
連続れんぞくな微分方程式びぶんほうていしきとの対応たいおうを見みると、式しきの意味いみがつかみやすくなります。

どこまで成なり立たつか

ここでは一次いちじの基本形きほんけいだけを扱あつかいました。また $a_{n + 1} = r a_{n} + b$ の解法かいほうは $r \neq 1$ と $r = 1$ で場合分ばあいわけが必要ひつようです。高階こうかいの差分方程式さぶんほうていしきや非線形ひせんけいの差分方程式さぶんほうていしきでは、別べつの手法しゅほうが必要ひつようです。

最終形さいしゅうけい

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] Δ a_{n} = a_{n + 1} - a_{n}

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] a_{n + 1} = r a_{n} + b \Rightarrow a_{n} = \frac{b}{1 - r} + C r^{n - 1} (r \neq 1)

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] a_{n + 1} = a_{n} + b \Rightarrow a_{n} = a_{1} + (n - 1) b (r = 1)

一言ひとことでいうと

差分方程式さぶんほうていしきは、数列すうれつの変化へんかを離散りさんな変化率へんかりつで書かいた方程式ほうていしきです。