線積分せんせきぶんと保存場ほぞんば

導入どうにゅう

このページの核心かくしんは、線積分せんせきぶんを曲線きょくせんに沿そって場ばの接線成分せっせんせいぶんを総和そうわする操作そうさとして理解りかいすることである。

用語ようごと定義ていぎ

線積分せんせきぶんLine integral は、曲線きょくせん $$C$$C に沿そってスカラー量りょうまたはベクトル場ばの成分せいぶんを積分せきぶんする操作そうさである。

保存場ほぞんばConservative field は、あるポテンシャル関数かんすう $$\varphi$$\phi により $$\mathit{F}=\nabla \varphi$$\boldsymbol{F}=\nabla\phi と表現ひょうげんできるベクトル場ばである。

方針ほうしん

ベクトル場ばの線積分せんせきぶんでは、移動方向いどうほうこうと同おなじ成分せいぶんだけが仕事しごとに寄与きよする。そのため内積ないせき $$\mathit{F}\left(\mathit{r}\right(t\left)\right)·r^{\prime }\left(t\right)$$\boldsymbol{F}(\boldsymbol{r}(t))\cdot\boldsymbol{r}'(t) を積分せきぶんする。保存場ほぞんばでは、線積分せんせきぶんは経路けいろではなく始点してんと終点しゅうてんだけに依存いぞんする。

厳密げんみつな説明せつめい

曲線きょくせん $$C$$C を $$\mathit{r}\left(t\right)$$\boldsymbol{r}(t)、$$a\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("le")")]}t\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("le")")]}b$$a\le t\le b で表示ひょうじすると、

である。$$\mathit{F}=\nabla \varphi$$\boldsymbol{F}=\nabla\phi なら、この値あたいは $$\varphi \left(\mathit{r}\right(b\left)\right)-\varphi \left(\mathit{r}\right(a\left)\right)$$\phi(\boldsymbol{r}(b))-\phi(\boldsymbol{r}(a)) になる。

曲線きょくせんのパラメータを滑なめらかに取とり替かえても、向むきが同おなじなら線積分せんせきぶんの値あたいは変化へんかしない。理由りゆうは、置換積分ちかんせきぶんにより $$r^{\prime }\left(t\right)dt$$\boldsymbol{r}'(t)\,dt が同おなじ微小変位びしょうへんい $$d\mathit{r}$$d\boldsymbol{r} を表あらわすためである。速はやく進すすむパラメータ表示ひょうじでは $$\left|r^{\prime }\right|$$|\boldsymbol{r}'| が大おおきくなるが、対応たいおうする時間幅じかんはばが小ちいさくなり、積分量せきぶんりょうは保たもたれる。

基本定理きほんていりとしての保存場ほぞんば

$$\mathit{F}=\nabla \varphi$$\boldsymbol{F}=\nabla\phi なら、連鎖律れんさりつにより

である。したがって線積分せんせきぶんは端点たんてんの値あたいの差さだけで決定けっていされる。経路けいろを変更へんこうしても値あたいが変化へんかしない理由りゆうはここにある。

領域条件りょういきじょうけんと反例はんれい

curl が 0 であることは保存場ほぞんばの重要じゅうような候補条件こうほじょうけんである。ただし領域りょういきに穴あながある場合ばあいは十分じゅうぶんではない。$$R^2\setminus \left\{0\right\}$$\mathbb{R}^2\setminus\{0\} 上じょうの

は局所的きょくしょてきに curl が 0 であるが、単位円たんいえんに沿そう線積分せんせきぶんは $$2\pi$$2\pi になる。単連結たんれんけつという条件じょうけんが必要ひつようになる理由りゆうである。

物理例ぶつりれい

力場りきばが保存場ほぞんばである場合ばあい、仕事しごとは始点してんと終点しゅうてんだけで決定けっていされる。重力場じゅうりょくばのような保存力ほぞんりょくでは、閉曲線へいきょくせんに沿そう仕事しごとは 0 である。

判別はんべつの手順てじゅん

• 閉曲線へいきょくせんで線積分せんせきぶんが 0 なら保存場ほぞんばの候補こうほになる。
• 単連結領域たんれんけつりょういきで curl が 0 なら保存場ほぞんばを期待きたいできる。
• 穴あなのある領域りょういきでは、curl が 0 であっても経路依存けいろいぞんが残存ざんぞんすることがある。

具体例ぐたいれい 1: 保存場ほぞんば

$$\varphi (x,y)=x^{2}y$$\phi(x,y)=x^2y とすると、$$\nabla \varphi =(2xy,x^2)$$\nabla\phi=(2xy,x^2) である。点てん $$(0,0)$$(0,0) から $$(1,1)$$(1,1) までの任意にんいの曲線きょくせん $$C$$C に対たいして、

である。経路けいろを直線ちょくせんにしても折線せっせんにしても値あたいは変化へんかしない。

具体例ぐたいれい 2: 非保存場ひほぞんば

$$\mathit{F}=(-y,x)$$\boldsymbol{F}=(-y,x) を単位円たんいえん $$\mathit{r}\left(t\right)=(\cos t,\sin t)$$\boldsymbol{r}(t)=(\cos t,\sin t)、$$0\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("le")")]}t\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("le")")]}2\pi$$0\le t\le 2\pi に沿そって積分せきぶんする。このとき $$\mathit{F}\left(\mathit{r}\right(t\left)\right)=(-\sin t,\cos t)$$\boldsymbol{F}(\boldsymbol{r}(t))=(-\sin t,\cos t)、$$r^{\prime }\left(t\right)=(-\sin t,\cos t)$$\boldsymbol{r}'(t)=(-\sin t,\cos t) なので、

である。閉曲線へいきょくせんの積分せきぶんが 0 でないため、この場ばは保存場ほぞんばではない。

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