Green・Gauss・Stokes の定理ていり

date2026-04-24descriptionGreen・Gauss・Stokes の定理を、局所的な微分量と境界上の積分量を結ぶ同一原理として整理し、適用条件と計算例も確認する。prerequisites線積分と保存場 / 面積分と流束type講義statusactive

mathvector-calculusstokes-theoremlecture

導入どうにゅう

このページの核心かくしんは、Green・Gauss・Stokes の定理ていりを、領域内部りょういきないぶの微分量びぶんりょうと境界上きょうかいじょうの積分量せきぶんりょうを結むすぶ同一原理どういつげんりとして確認かくにんすることである。

方針ほうしん

Green の定理ていりは平面領域へいめんりょういきの回転かいてんと境界線きょうかいせんの循環じゅんかんを結むすぶ。Gauss の発散定理はっさんていりは体積領域たいせきりょういきの発散はっさんと境界面きょうかいめんの流束りゅうそくを結むすぶ。Stokes の定理ていりは曲面上きょくめんじょうの curl と境界曲線きょうかいきょくせんの循環じゅんかんを結むすぶ。

定理ていりを適用てきようする前まえの確認事項かくにんじこう

このページで重要じゅうようなのは、式しきを暗記あんきすることではなく、「積分対象せきぶんたいしょうは何なにか」「向むきはどう付つくか」「場ばは内部ないぶで滑なめらかか」を先さきに確認かくにんすることである。Green では平面領域へいめんりょういきと正向せいこうきの境界きょうかい、Gauss では閉曲面へいきょくめんと外向がいこうき法線ほうせん、Stokes では向むき付づけられた曲面きょくめんと右手系みぎてけいに従したがう境界曲線きょうかいきょくせんが前提ぜんていになる。

代表式だいひょうしき

Green の定理ていりの一形いっけいは

\oint_{\partial D} P d x + Q d y = \iint_{D} (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}) d A

である。Gauss の発散定理はっさんていりは

$D$ は区分的くぶんてきに滑なめらかな単純閉曲線たんじゅんへいきょくせんを境界きょうかいに持もつ平面領域へいめんりょういき、 $P, Q$ は近傍きんぼうで $C^{1}$ 級きゅうとする。このとき左辺さへんは境界きょうかいの循環じゅんかん、右辺うへんは内部ないぶの回転密度かいてんみつどの総和そうわである。

\iint_{\partial V} F \cdot n d S = ∭_{V} \nabla \cdot F d V

である。

$V$ は区分的くぶんてきに滑なめらかな境界きょうかいを持もつ有界領域ゆうかいりょういき、 $F$ は近傍きんぼうで $C^{1}$ 級きゅうとする。左辺さへんは境界面きょうかいめんを通とおる総流束そうりゅうそく、右辺うへんは内部ないぶの発散密度はっさんみつどの体積積分たいせきせきぶんである。

Stokes の定理ていりは、向むき付づけられた曲面きょくめん $S$ とその境界きょうかい $\partial S$ に対たいして

\oint_{\partial S} F \cdot d r = \iint_{S} (\nabla \times F) \cdot n d S

と述のべられる。 $S$ は区分的くぶんてきに滑なめらかな向むき付づけ可能かのうな曲面きょくめん、 $F$ は近傍きんぼうで $C^{1}$ 級きゅうとする。境界曲線きょうかいきょくせんの向むきは、曲面きょくめんの法線ほうせんと右手系みぎてけいで対応たいおうさせる。

各定理かくていりの役割やくわり

Green の定理ていりは平面領域へいめんりょういきで、境界曲線きょうかいきょくせんに沿そう循環じゅんかんを内部ないぶの curl の積分せきぶんへ変換へんかんする。Gauss の定理ていりは閉曲面へいきょくめんを通過つうかする流束りゅうそくを内部ないぶの divergence の積分せきぶんへ変換へんかんする。Stokes の定理ていりは曲面きょくめんの境界きょうかいに沿そう循環じゅんかんを曲面上きょくめんじょうの curl の流束りゅうそくへ変換へんかんする。

定理ていり	境界側きょうかいがわ	内部側ないぶがわ
Green	平面境界へいめんきょうかいの循環じゅんかん	領域内りょういきないの回転密度かいてんみつど
Gauss	閉曲面へいきょくめんの流束りゅうそく	体積内たいせきないの発散密度はっさんみつど
Stokes	境界曲線きょうかいきょくせんの循環じゅんかん	曲面上きょくめんじょうの curl の法線成分ほうせんせいぶん

なぜ同一原理どういつげんりと言いえるか

領域りょういきを小片しょうへんへ分割ぶんかつすると、内部ないぶで接せっする境界きょうかいの寄与きよは向むきが逆ぎゃくになるため相殺そうさいされる。最後さいごに残のこるのは外側そとがわの境界きょうかいだけである。この相殺そうさいが、Green・Gauss・Stokes の背後はいごにある共通構造きょうつうこうぞうである。

計算例けいさんれい

$F = (- y / 2, x / 2)$ とし、 $D$ を単位円板たんいえんばんとする。Green の定理ていりにより、

\oint_{\partial D} F \cdot d r = \iint_{D} 1 d A = π

である。境界きょうかいを直接ちょくせつパラメータ表示ひょうじしても同おなじ値あたいを得える。この一致いっちが、境界積分きょうかいせきぶんと内部積分ないぶせきぶんの対応たいおうを示しめす。

直接計算ちょくせつけいさんでは、 $\partial D$ を $r (t) = (\cos t, \sin t)$ 、 $0 [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"le\")")] t [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"le\")")] 2 π$ と置おけば、

F (r (t)) = (- \frac{\sin t}{2}, \frac{\cos t}{2}), r^{'} (t) = (- \sin t, \cos t)

だから

F (r (t)) \cdot r^{'} (t) = \frac{1}{2}

となり、

\oint_{\partial D} F \cdot d r = \int_{0}^{2 π} \frac{1}{2} d t = π

を得える。Green の定理ていりは、この直接計算ちょくせつけいさんを内部積分ないぶせきぶんへ移うつして構造こうぞうを見みえやすくする。

Gauss の計算例けいさんれい

$F = (x, y, z)$ とし、 $V$ を半径はんけい $R$ の球きゅうとする。 $\nabla \cdot F = 3$ なので、

∭_{V} \nabla \cdot F d V = 3 \cdot \frac{4 π R^{3}}{3} = 4 π R^{3}

である。一方いっぽう、境界球面きょうかいきゅうめんでは $F \cdot n = R$ であり、面積めんせきは $4 π R^{2}$ なので流束りゅうそくも $4 π R^{3}$ である。

この例れいは、各点かくてんで 3 だけ湧わき出だす場ばの総流束そうりゅうそくが、体積たいせきに比例ひれいして増加ぞうかすることを示しめしている。Gauss の定理ていりは、表面ひょうめんの直接積分ちょくせつせきぶんより内部ないぶの divergence のほうが簡単かんたんな場合ばあいに特とくに有効ゆうこうである。

Stokes の計算例けいさんれい

$F = (- y / 2, x / 2, 0)$ とし、 $S$ を単位円板たんいえんばん、法線ほうせんを上向うわむきとする。 $\nabla \times F = (0, 0, 1)$ なので、

\iint_{S} (\nabla \times F) \cdot n d S = π

である。境界きょうかいは反時計回はんとけいまわりの単位円たんいえんであり、線積分せんせきぶんも $π$ になる。Green の定理ていりは、この平面へいめん Stokes 定理ていりの形かたちとして解釈かいしゃくできる。

直接計算ちょくせつけいさんと定理利用ていりりようの使つかい分わけ

境界きょうかいが単純たんじゅんで、場ばの表示ひょうじも簡単かんたんなら直接計算ちょくせつけいさんで十分じゅうぶんである。一方いっぽう、境界きょうかいが複雑ふくざつで内部量ないぶりょうのほうが簡単かんたんなら、Green・Gauss・Stokes により積分対象せきぶんたいしょうを交換こうかんしたほうが有利ゆうりである。

微分形式びぶんけいしきへの接続せつぞく

三さん定理ていりは、次元じげんや積分対象せきぶんたいしょうが異ことなるだけで、内部ないぶの微分びぶんと境界きょうかいの積分せきぶんを結むすぶ同一構造どういつこうぞうを持もつ。この構造こうぞうは微分形式びぶんけいしきにより一般化いっぱんかされる。

data/lecture/math/exterior-algebra/一般Stokes定理とベクトル解析辞書-講義.n.md

直感的ちょっかんてきな説明せつめい

内部ないぶを小領域しょうりょういきに分割ぶんかつすると、隣接りんせつする小領域しょうりょういきの境界寄与きょうかいきよは互たがいに打うち消けし合あう。最後さいごに外側そとがわの境界きょうかいだけが残のこる。これが局所量きょくしょりょうと境界量きょうかいりょうを接続せつぞくする基本構造きほんこうぞうである。

適用条件てきようじょうけん

領域りょういきの向むき、境界きょうかい、滑なめらかさを確認かくにんする。特異点とくいてんが領域内部りょういきないぶにある場合ばあいは、その点てんを除外じょがいした領域りょういきで再構成さいこうせいする必要ひつようがある。たとえば

F (x, y) = (- \frac{y}{x^{2} + y^{2}}, \frac{x}{x^{2} + y^{2}})

は原点げんてんで定義ていぎされないため、原点げんてんを含ふくむ円板えんばんへ Green の定理ていりをそのまま適用てきようしてはならない。