面積分めんせきぶんと流束りゅうそく

date2026-04-23description面積分と流束を、曲面を貫くベクトル場の法線成分を足し合わせる操作として整理する。prerequisites曲線・曲面のパラメータ表示 / 勾配・発散・回転type講義statusactive

mathvector-calculussurface-integrallecture

導入どうにゅう

このページの核心かくしんは、面積分めんせきぶんを曲面きょくめんを貫つらぬく量りょうの総和そうわとして整理せいりすることである。

用語ようごと定義ていぎ

流束りゅうそくFlux は、ベクトル場ばが曲面きょくめんをどれだけ通過つうかするかを表あらわす量りょうである。

面積分めんせきぶんSurface integral は、曲面きょくめん上じょうのスカラー量りょうまたはベクトル場ばの法線成分ほうせんせいぶんを積分せきぶんする操作そうさである。

方針ほうしん

曲面きょくめんを $r (u, v)$ で表示ひょうじし、接せつベクトル $r_{u}, r_{v}$ から法線方向ほうせんほうこうを構成こうせいする。流束りゅうそくでは、ベクトル場ばのうち法線方向ほうせんほうこうの成分せいぶんだけを数かぞえる。

向むき付づき曲面きょくめん

流束りゅうそくでは、曲面きょくめんの表裏おもてうらを区別くべつする必要ひつようがある。法線方向ほうせんほうこうを反転はんてんすると、流束りゅうそくの符号ふごうも反転はんてんする。閉曲面へいきょくめんでは、通常つうじょうは外向そとむき法線ほうせんを選択せんたくする。

厳密げんみつな説明せつめい

曲面きょくめん $S$ が $r (u, v)$ で表示ひょうじされるとき、

\iint_{S} F \cdot n d S = \iint_{D} F (r (u, v)) \cdot (r_{u} \times r_{v}) d u d v

である。向むきを反転はんてんすると流束りゅうそくの符号ふごうも反転はんてんする。

$r_{u} \times r_{v}$ は、接平面せつへいめんに垂直すいちょくな方向ほうこうと微小面積びしょうめんせきを同時どうじに表あらわす。 $| r_{u} \times r_{v} | d u d v$ は面積要素めんせきようそであり、向むき付づき流束りゅうそくでは絶対値ぜったいちを取とらずに $r_{u} \times r_{v} d u d v$ を使用しようする。

具体計算ぐたいけいさん

上向うわむきの平面へいめん $z = 0$ 、 $0 [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"le\")")] x [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"le\")")] 1, 0 [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"le\")")] y [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"le\")")] 1$ を考かんがえる。 $F = (0, 0, z + 1)$ なら、法線ほうせんは $(0, 0, 1)$ であり、流束りゅうそくは

\iint_{S} F \cdot n d S = \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} 1 d x d y = 1

である。下向したむきの法線ほうせんを選択せんたくすると値あたいは $- 1$ になる。

球面きゅうめんの例れい

$F = (x, y, z)$ とし、半径はんけい $R$ の球面きゅうめんを外向そとむきに向むき付づける。球面きゅうめんでは $F \cdot n = R$ であるため、流束りゅうそくは $4 π R^{3}$ になる。Gauss 定理ていりでは divergence が 3 で、体積たいせきが $4 π R^{3} / 3$ なので同おなじ値あたいを得える。

円柱えんちゅうの例れい

半径はんけい $R$ 、高たかさ $H$ の円柱側面えんちゅうそくめんを

r (θ, z) = (R \cos θ, R \sin θ, z)

で表示ひょうじする。 $0 [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"le\")")] θ [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"le\")")] 2 π$ 、 $0 [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"le\")")] z [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"le\")")] H$ である。外向そとむきの向むき付づき面要素めんようそは

r_{θ} \times r_{z} = (R \cos θ, R \sin θ, 0)

である。 $F = (x, y, 0)$ なら、流束りゅうそくは

\int_{0}^{H} \int_{0}^{2 π} R^{2} d θ d z = 2 π R^{2} H

である。

比較例ひかくれい: 面めんに平行へいこうな場ば

$z = 0$ の上向うわむき平面片へいめんへんに対たいし、 $F = (1, 0, 0)$ は面めんに平行へいこうである。したがって $F \cdot n = 0$ であり、流束りゅうそくは 0 になる。矢印やじるしが曲面上きょくめんじょうに存在そんざいしても、法線成分ほうせんせいぶんがなければ貫通量かんつうりょうは発生はっせいしない。

Gauss 定理ていりへの橋渡はしわたし

閉曲面へいきょくめんを通過つうかする総流束そうりゅうそくは、内部ないぶの発散はっさんの総和そうわと一致いっちする。この事実じじつが Gauss の発散定理はっさんていりである。面積分めんせきぶんは境界上きょうかいじょうの量りょう、divergence は内部ないぶの局所量きょくしょりょうであり、次つぎのページで両者りょうしゃを接続せつぞくする。

よくある誤あやまり

法線方向ほうせんほうこうを指定していせずに流束りゅうそくを計算けいさんする。
面積要素めんせきようそ $| r_{u} \times r_{v} |$ と向むき付づき面要素めんようそ $r_{u} \times r_{v}$ を混同こんどうする。
曲面きょくめんの境界きょうかいを確認かくにんせず、Stokes 定理ていりの向むきを誤あやまる。