力ちからの図ずと運動方程式うんどうほうていしき

date2026-05-26description力の図と運動方程式を、物体を一つに固定して力を描く手順から整理し、どの向きに式を立てるかまで説明します。prerequisites単位・次元・有効数字 / ベクトルの基本 / 一次方程式type講義statusactive

physicsfoundationhighschoollecture

導入どうにゅう

この講義こうぎで最重要さいじゅうようなのは、運動方程式うんどうほうていしきを立式りっしきする前まえに、対象たいしょうを1物体ぶったいに固定こていして自由体図じゆうたいずFree-body diagramを作成さくせいすることが必須ひっすであるという点てんだ。

式しきを先さきに記述きじゅつしようとすると、どの力ちからがどの物体ぶったいに作用さようしているかが曖昧あいまいになり、誤答ごとうの原因げんいんとなる。自由体図じゆうたいずの作成さくせいから立式りっしきまでの手順てじゅんを確立かくりつすることで、力学りきがくの計算けいさんミスを防止ぼうしできる。

用語ようごと定義ていぎ

自由体図じゆうたいずFree-body diagram とは、ある1個この物体ぶったいだけを取とり出だし、その物体ぶったいに作用さようする力ちからのみを矢印やじるしで図示ずしした図ずである。

運動方程式うんどうほうていしきEquation of motion とは、

m \vec{a} = \sum \vec{F}

質量しつりょう $m [k g; M]$ 、加速度かそくど $\vec{a} [m \cdot s^{- 2}]$ 、合力ごうりょく $\sum \vec{F} [N; M L T^{- 2}]$ の関係かんけい式しきである。

垂直抗力すいちょくこうりょくNormal force とは、接触面せっしょくめんが物体ぶったいを面めんに垂直すいちょくな方向ほうこうに押おし返かえす力ちからである。

張力ちょうりょくTension とは、糸いとや棒ぼうが引ひく力ちからである。

摩擦力まさつりょくFriction とは、接触面せっしょくめんに沿そって運動うんどうを妨さまたげる方向ほうこうに作用さようする力ちからである。

方針ほうしん

力学りきがくの問題もんだいに対たいする基本きほん手順てじゅんは次つぎのとおりである。

対象たいしょうの設定せってい：複数ふくすうの物体ぶったいがある場合ばあい、まず「いずれの物体ぶったいについて立式りっしきするか」を決定けっていする。
自由体図じゆうたいずの作成さくせい：対象たいしょう物体ぶったいに作用さようするすべての力ちからを矢印やじるしで図示ずしする。
座標ざひょう軸じくの設定せってい：運動うんどう方向ほうこうまたは変位へんいの方向ほうこうに沿そって軸じくを設定せっていする。
立式りっしき：軸じく方向ほうこうごとに運動方程式うんどうほうていしきを組くみ立たてる。

直感的ちょっかんてきな説明せつめい

自由体図じゆうたいずは、「いまこの物体ぶったいには何なにが作用さようしているか」を可視化かしかする道具どうぐである。この可視化かしかが不十分ふじゅうぶんなまま式しきを記述きじゅつすると、重力じゅうりょくと垂直抗力すいちょくこうりょくの混同こんどう、作用さよう・反作用はんさようの誤あやまった同一視どういつし、座標ざひょうの方向ほうこう不一致ふいっちといった誤あやまりが発生はっせいする。

作用さよう・反作用はんさように関かんする注意ちゅうい：物体ぶったい A が物体ぶったい B に及およぼす力ちからと、B が A に及およぼす力ちからは、大おおきさが等ひとしく向むきが反対はんたいだが、異ことなる物体ぶったいに作用さようしている。したがって、1物体ぶったいの自由体図じゆうたいずに両方りょうほうを記入きにゅうしてはならない。

厳密げんみつな説明せつめい

1. 対象たいしょうの固定こてい

運動方程式うんどうほうていしき $m \vec{a} = \sum \vec{F}$ は、特定とくていの1物体ぶったいに対たいして成立せいりつする関係かんけい式しきである。複数ふくすうの物体ぶったいからなる系けいでは、各かく物体ぶったいについて独立どくりつに立式りっしきする必要ひつようがある。

2. 自由体図じゆうたいずの作成さくせい手順てじゅん

対象たいしょう物体ぶったいを点てんまたは矩形くけいで表あらわし、以下いかの力ちからを図示ずしする。

重力じゅうりょく：鉛直えんちょく下向したむきに $m g [N; M L T^{- 2}]$
垂直抗力すいちょくこうりょく：接触面せっしょくめんに垂直すいちょくかつ物体ぶったいから離はなれる方向ほうこうに $N [N; M L T^{- 2}]$
張力ちょうりょく：糸いとの延長えんちょう方向ほうこうに $T [N; M L T^{- 2}]$
摩擦力まさつりょく：運動うんどう（または運動うんどうの傾向けいこう）と反対はんたい方向ほうこうに $f [N; M L T^{- 2}]$

物体ぶったいの運動うんどうの向むきを力ちからとして図示ずしすることは誤あやまりである。慣性力かんせいりょく（非慣性系ひかんせいけいのみに登場とうじょう）と実在じつざいの力ちからとを混同こんどうしないよう注意ちゅういする。

3. 座標ざひょう軸じくの設定せっていと立式りっしき

水平すいへい方向ほうこうを $x$ 軸じく、鉛直えんちょく方向ほうこうを $y$ 軸じくに設定せっていするなら

m a_{x} = \sum F_{x}, m a_{y} = \sum F_{y}

と分解ぶんかいして立式りっしきする。運動うんどうしない方向ほうこうでは $a = 0$ となるため、釣つり合あいの式しき

\sum F = 0

が成立せいりつする。

具体例ぐたいれい：斜面しゃめん上うえの物体ぶったい

傾斜角けいしゃかく $θ$ の斜面しゃめん上うえで質量しつりょう $m$ の物体ぶったいが滑落かつらくする場合ばあい、斜面しゃめん方向ほうこう（下した向むきを正せい）と斜面しゃめんに垂直すいちょくな方向ほうこうに座標ざひょうを設定せっていすると、

斜面しゃめん方向ほうこう： $m a = m g \sin θ$

垂直すいちょく方向ほうこう： $N - m g \cos θ = 0$

を得える。斜面しゃめんに沿そった軸じくを選択せんたくすることで、重力じゅうりょくの分解ぶんかいが一度いちどで完了かんりょうし、垂直抗力すいちょくこうりょくが垂直すいちょく方向ほうこうに現あらわれることが確認かくにんできる。

見分みわけ方かた

複数ふくすうの力ちからが登場とうじょうする問題もんだいでは、まず自由体図じゆうたいずを作成さくせいする。
斜面しゃめんや糸いとが登場とうじょうする場合ばあい、座標ざひょう軸じくを運動うんどう方向ほうこうに合あわせると立式りっしきが簡便かんべんになる。
運動うんどうしない方向ほうこうが存在そんざいする場合ばあい、その方向ほうこうでは $a = 0$ として釣つり合あいの式しきを適用てきようする。
作用さよう・反作用はんさようで混乱こんらんした場合ばあいは、「いずれの物体ぶったいについて立式りっしきしているか」に立たち返かえる。

どこまで成なり立たつか

$m \vec{a} = \sum \vec{F}$ は慣性系かんせいけいにおいてのみ成立せいりつする。加速かそくする乗のり物ものの内部ないぶ（非慣性系ひかんせいけい）では慣性力かんせいりょくを追加ついかする必要ひつようがあるが、高校こうこう物理ぶつりでは通常つうじょう、地面じめんに固定こていした座標系ざひょうけい（慣性系かんせいけい）を使用しようするため、この点てんは問題もんだいにならない。

最終形さいしゅうけい

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] m \vec{a} = \sum \vec{F}

座標ざひょう成分せいぶんごとに

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] m a_{x} = \sum F_{x}, m a_{y} = \sum F_{y}

一言ひとことでいうと

運動方程式うんどうほうていしきは、自由体図じゆうたいずで対象たいしょうと力ちからを確定かくていしてから立式りっしきする関係かんけい式しきである。