ボーア模型もけいの基本きほん

date2026-03-27descriptionボーア模型を、原子のエネルギー準位を具体的に計算する最初の模型として導入し、軌道半径と線スペクトルの関係まで説明します。type講義statusactive

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導入どうにゅう

この講義こうぎで最重要さいじゅうようなのは、ボーア模型もけいは「どの軌道きどうでもよい」のではなく、特定とくていの軌道きどうだけが許ゆるされる、と仮定かていして線せんスペクトルを説明せつめいする模型もけいだと捉とらえることです。

原子げんしの電子でんしが古典力学こてんりきがくどおりに自由じゆうな軌道きどうを取とれるなら、原子げんしは連続れんぞくスペクトルを出だしそうです。ところが実際じっさいには離散的りさんてきな線せんスペクトルが現あらわれます。ボーア模型もけいは、この事実じじつを最小限さいしょうげんの仮定かていで説明せつめいしようとした模型もけいです。

用語ようごと定義ていぎ

量子条件りょうしじょうけんQuantum condition とは、電子でんしの角運動量かくうんどうりょうが

m v r = n ℏ (n = 1, 2, 3, [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"dots\")")])

を満みたす、という条件じょうけんです。

エネルギー準位じゅんいEnergy level とは、電子でんしが取とれる離散的りさんてきなエネルギーの値あたいです。

方針ほうしん

まず、水素すいそ原子げんしで電子でんしが受うける力ちからを円運動えんうんどうの式しきで書かきます。そのあとボーアの量子条件りょうしじょうけんを加くわえて、軌道半径きどうはんけいとエネルギーが飛とび飛とびになることを見みます。

直感的ちょっかんてきな説明せつめい

ボーア模型もけいの発想はっそうは、「電子でんしはどんな軌道きどうでも回まわれるわけではない」と割わり切きることです。弦げんの振動しんどうで定常波ていじょうはだけが残のこるのと少すこし似にていて、原子げんしの中なかでも許ゆるされた状態じょうたいだけが安定あんていに存在そんざいすると考かんがえます。

この見方みかたを取とると、電子でんしが高たかい準位じゅんいから低ひくい準位じゅんいへ移うつるとき、その差さだけのエネルギーを光ひかりとして出だす、という線せんスペクトルの説明せつめいが自然しぜんにつながります。

厳密げんみつな説明せつめい

1. 円運動えんうんどうの式しき

水素すいそ原子げんしでは、電子でんしに働はたらくクーロン力りょくが向心力こうしんりょくになります。したがって

\frac{m v^{2}}{r} = \frac{k e^{2}}{r^{2}}

です。

2. ボーアの量子条件りょうしじょうけん

さらに

m v r = n ℏ

を課かします。これによって許ゆるされる軌道きどうが離散化りさんかされます。

3. 軌道半径きどうはんけいとエネルギー

この 2 つの式しきを組くみ合あわせると、半径はんけいは

r_{n} \propto n^{2}

となり、エネルギーは

E_{n} \propto - \frac{1}{n^{2}}

となります。つまり、軌道きどうもエネルギーも連続れんぞくではありません。

4. 線せんスペクトル

準位じゅんい $m$ から $n$ へ遷移せんいするとき、

h ν = E_{m} - E_{n}

です。これが水素すいそ原子げんしの線せんスペクトルを与あたえます。

見分みわけ方かた

水素すいそ原子げんし、ボーア模型もけい、線せんスペクトルが出でたら、まず準位じゅんいが離散的りさんてきだと考かんがえます。
半径はんけいや速はやさを問とうなら、円運動えんうんどうの式しきと量子条件りょうしじょうけんを連立れんりつします。
出でる光ひかりの振動数しんどうすうや波長はちょうを問とうなら、準位じゅんい差さと $h ν$ を結むすびます。

最終形さいしゅうけい

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] \frac{m v^{2}}{r} = \frac{k e^{2}}{r^{2}}

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] m v r = n ℏ

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] h ν = E_{m} - E_{n}

一言ひとことでいうと

ボーア模型もけいは、許ゆるされた軌道きどうだけを認みとめることで、原子げんしの線せんスペクトルを説明せつめいする模型もけいです。