鏡かがみと像ぞうの基本きほん

date2026-07-14document_iddoc_3a79d4eb0d9521c53e9c6f2de427f2a9description鏡による像を反射の法則から整理し、平面鏡の像、球面鏡の焦点、鏡の公式と倍率を証明する講義である。prerequisites反射と屈折 / 三角関数 / 図形と方程式の基本type講義statusactive

physicsopticsmirrorimagelecture

1導入どうにゅう

この講義こうぎでは、像ぞうを「目めに見みえる場所ばしょ」ではなく、反射後はんしゃごの光線こうせんまたはその延長線えんちょうせんが集あつまる場所ばしょとして定義ていぎを説明せつめいする。

鏡かがみの問題もんだいでは、反射はんしゃの法則ほうそくが出発点しゅっぱつてんである。平面鏡へいめんきょうでは対称性たいしょうせいで像ぞうが決きまり、球面鏡きゅうめんきょうでは近軸近似きんじくきんじにより焦点しょうてんと鏡かがみの公式こうしきが出でる。

2用語ようごと定義ていぎ

実像じつぞうreal imageとは、反射はんしゃまたは屈折くっせつした光線こうせんそのものが集あつまる像ぞうである。

虚像きょぞうvirtual imageとは、反射はんしゃまたは屈折くっせつした光線こうせんの延長線えんちょうせんが集あつまるように見みえる像ぞうである。

焦点しょうてんfocusとは、平行光線へいこうこうせんが鏡かがみで反射はんしゃしたあとに集あつまる点てんである。

3整理せいり 1：平面鏡へいめんきょうの像ぞうは鏡かがみの裏側うらがわに同距離どうきょりでできる

物体ぶったいが平面鏡へいめんきょうの前まえに距離きょり $a$ だけ離はなれているとき、像ぞうは鏡かがみの裏側うらがわに距離きょり $a$ だけ離はなれた位置いちにできる。

3.1証明しょうめい

物体ぶったいの点てん $P$ から出でた光ひかりが鏡かがみの点てん $A$ で反射はんしゃして目めに届とどくとする。反射はんしゃの法則ほうそくより、入射角にゅうしゃかくと反射角はんしゃかくは等ひとしい。

鏡面きょうめんに関かんして $P$ と対称たいしょうな点てんを $P^{'}$ とする。幾何きかより、 $P$ から $A$ へ向むかう線せんと、 $A$ から $P^{'}$ へ向むかう線せんは鏡面きょうめんの法線ほうせんに対たいして対称たいしょうである。

したがって反射光はんしゃこうを後うしろへ延長えんちょうすると $P^{'}$ を通とおる。観察者かんさつしゃには光ひかりが $P^{'}$ から来きたように見みえるので、像ぞうは $P^{'}$ にできる。 $P^{'}$ は鏡面きょうめんに関かんして $P$ と対称たいしょうだから、距離きょりは同おなじである。

4関係式かんけいしき 2：球面鏡きゅうめんきょうの焦点距離しょうてんきょり

曲率半径きょくりつはんけい $R$ の凹面鏡おうめんきょうでは、近軸光線きんじくこうせんについて

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] f = \frac{R}{2}

である。

4.1証明しょうめい

球面鏡きゅうめんきょうの中心ちゅうしんを $C$ 、頂点ちょうてんを $O$ とする。主軸しゅじくに平行へいこうな近軸光線きんじくこうせんが鏡面きょうめんの点てん $P$ で反射はんしゃする。

球面きゅうめんの法線ほうせんは中心ちゅうしん $C$ へ向むかうので、法線ほうせんは $P C$ である。反射はんしゃの法則ほうそくより、入射光にゅうしゃこうと反射光はんしゃこうは $P C$ に対たいして対称たいしょうである。

近軸近似きんじくきんじでは、 $P$ が主軸しゅじくに近ちかく、角度かくどが小ちいさい。このとき反射光はんしゃこうは主軸しゅじくを $O$ と $C$ の中点ちゅうてんに近ちかい点てんで横切よこぎる。したがって焦点しょうてん $F$ は $O C$ の中点ちゅうてんであり、

f = O F = \frac{O C}{2} = \frac{R}{2}

である。

5公式こうしき 3：鏡かがみの公式こうしき

近軸近似きんじくきんじで、物体距離ぶったいきょりを $a$ 、像距離ぞうきょりを $b$ 、焦点距離しょうてんきょりを $f$ とすると、

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{f}

である。

5.1証明しょうめい

主軸しゅじくに平行へいこうに入はいった光線こうせんは、反射後はんしゃごに焦点しょうてんを通とおる。鏡かがみの中心ちゅうしんに向むかう光線こうせんは法線ほうせんに沿そって入射にゅうしゃするので、そのまま戻もどる。

この 2 本ほんの光線こうせんと主軸しゅじくでできる相似三角形そうじさんかくけいを比くらべる。物体ぶったいの高たかさを $h$ 、像ぞうの高たかさを $h^{'}$ とすると、

\frac{h^{'}}{h} = - \frac{b}{a}

である。また焦点しょうてんを通とおる光線こうせんから、

\frac{h^{'}}{h} = - \frac{b - f}{f}

である。2 つを等ひとしくして

\frac{b}{a} = \frac{b - f}{f}

を得える。両辺りょうへんに $a f$ を掛かけると

b f = a (b - f)

すなわち

a b = a f + b f

である。 $a b f$ で割わると

\frac{1}{f} = \frac{1}{b} + \frac{1}{a}

である。

6関係式かんけいしき 4：倍率ばいりつ

横倍率よこばいりつ $m$ は

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] m = \frac{h^{'}}{h} = - \frac{b}{a}

である。

6.1証明しょうめい

物体ぶったいの先端せんたんから鏡かがみの頂点ちょうてんへ向むかう光線こうせんと、像ぞうの先端せんたんから頂点ちょうてんへ向むかう線せんを考かんがえる。近軸近似きんじくきんじでは頂点ちょうてんでの反射はんしゃを平面鏡へいめんきょうの反射はんしゃとして扱あつかえるので、主軸しゅじくとの角かくが等ひとしい。

したがって物体側ぶったいがわと像側ぞうがわにできる直角三角形ちょっかくさんかくけいは相似そうじであり、

\frac{| h^{'} |}{| h |} = \frac{| b |}{| a |}

である。実像じつぞうでは上下じょうげが反転はんてんするので符号ふごうを含ふくめて

m = \frac{h^{'}}{h} = - \frac{b}{a}

である。

7見分みわけ方かた

平面鏡へいめんきょうは対称たいしょうな虚像きょぞう。
凹面鏡おうめんきょうは集あつめる鏡かがみで、 $f = R / 2$ 。
像ぞうの位置いちは $1 / a + 1 / b = 1 / f$ 。
大おおきさと向むきは $m = - b / a$ 。

8最終形さいしゅうけい

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] f = \frac{R}{2}

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{f}

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] m = - \frac{b}{a}

9一言ひとこと

鏡かがみの像ぞうは、反射光はんしゃこうまたはその延長線えんちょうせんが集あつまる場所ばしょとして決きまる。