反射はんしゃと屈折くっせつ

date2026-07-14document_iddoc_bacc8d493443e4820dec36b2cf38a93cdescription反射と屈折を境界での光線の向きの変化として定義し、反射の法則、屈折の向き、全反射の条件を証明する講義である。prerequisitesホイヘンスの原理の基本 / 三角関数type講義statusactive

physicsopticsreflectionrefractionlecture

1導入どうにゅう

この講義こうぎでは、反射はんしゃと屈折くっせつを、境界きょうかいで光ひかりの向むきが変かわる現象げんしょうとして統一的とういつてきに解説かいせつする。

同おなじ媒質ばいしつへ戻もどるのが反射はんしゃで、別べつの媒質ばいしつへ進すすむのが屈折くっせつである。反射はんしゃでは速はやさが変かわらないため角度かくどが対称たいしょうになり、屈折くっせつでは速はやさが変かわるため光線こうせんが折おれ曲まがる。

2用語ようごと定義ていぎ

入射角にゅうしゃかくangle of incidenceとは、入射光線にゅうしゃこうせんと境界面きょうかいめんの法線ほうせんがなす角かくである。

反射角はんしゃかくangle of reflectionとは、反射光線はんしゃこうせんと法線ほうせんがなす角かくである。

屈折角くっせつかくangle of refractionとは、屈折光線くっせつこうせんと法線ほうせんがなす角かくである。

3方針ほうしん

境界きょうかいの問題もんだいでは、法線ほうせんを先さきに引ひく。

入射角にゅうしゃかくは面めんからではなく法線ほうせんから測はかる。
反射はんしゃなら $θ_{i} = θ_{r}$ 。
屈折くっせつなら、速はやさが遅おそい媒質ばいしつへ入はいると法線側ほうせんがわへ曲まがる。
定量計算ていりょうけいさんはスネルの法則ほうそくへ進すすむ。

4法則ほうそく 1：反射はんしゃの法則ほうそく

平面境界へいめんきょうかいでの反射はんしゃでは、

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] θ_{i} = θ_{r}

である。

4.1証明しょうめい

反射はんしゃでは、光ひかりは同おなじ媒質ばいしつの中なかを戻もどる。したがって入射波にゅうしゃはと反射波はんしゃはの速はやさは同おなじである。

ホイヘンスの原理げんりで波面はめんを考かんがえる。ある点てん $A$ が先さきに境界きょうかいへ届とどき、別べつの点てん $B$ が時間じかん $Δ t$ 後あとに境界きょうかいへ届とどくとする。その間あいだに反射波はんしゃはは $v Δ t$ だけ進すすむ。入射波にゅうしゃはも同おなじ時間じかんに $v Δ t$ だけ進すすんでいた。

この 2 つの直角三角形ちょっかくさんかくけいは、斜辺しゃへんを境界上きょうかいじょうの同おなじ線分せんぶんとして共有きょうゆうし、対応たいおうする進行距離しんこうきょりが等ひとしい。したがって対応たいおうする角かくが等ひとしく、法線ほうせんから測はかった入射角にゅうしゃかくと反射角はんしゃかくは等ひとしい。

5帰結きけつ 2：遅おそい媒質ばいしつへ入はいると法線側ほうせんがわへ曲まがる

光ひかりが速はやさ $v_{1}$ の媒質ばいしつから、より遅おそい速はやさ $v_{2}$ の媒質ばいしつへ入はいるとき、屈折角くっせつかくは入射角にゅうしゃかくより小ちいさくなる。

5.1証明しょうめい

スネルの法則ほうそくを速はやさで書かくと、

\frac{\sin θ_{1}}{v_{1}} = \frac{\sin θ_{2}}{v_{2}}

である。 $v_{2} < v_{1}$ なので、

\sin θ_{2} = \frac{v_{2}}{v_{1}} \sin θ_{1}

となり、

\sin θ_{2} < \sin θ_{1}

である。 $0^{\circ}$ から $90^{\circ}$ の範囲はんいでは $\sin θ$ は増加ぞうかするので、

θ_{2} < θ_{1}

を得える。したがって光線こうせんは法線側ほうせんがわへ曲まがる。

6条件じょうけん 3：全反射ぜんはんしゃの条件じょうけん

屈折率くっせつりつ $n_{1} > n_{2}$ の媒質ばいしつから $n_{2}$ の媒質ばいしつへ進すすむとき、入射角にゅうしゃかくが

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] \sin θ_{c} = \frac{n_{2}}{n_{1}}

で定さだまる臨界角りんかいかく $θ_{c}$ より大おおきいと、全反射ぜんはんしゃが起おこる。

6.1証明しょうめい

スネルの法則ほうそくは

n_{1} \sin θ_{1} = n_{2} \sin θ_{2}

である。屈折光くっせつこうが境界面きょうかいめんに沿そう限界げんかいでは、

θ_{2} = 90^{\circ}

である。したがって

n_{1} \sin θ_{c} = n_{2} \sin 90^{\circ} = n_{2}

より

\sin θ_{c} = \frac{n_{2}}{n_{1}}

である。 $θ_{1} > θ_{c}$ なら、スネルの法則ほうそくは $\sin θ_{2} > 1$ を要求ようきゅうするが、そのような実数角じっすうかくは存在そんざいしない。したがって屈折光くっせつこうは出でず、全反射ぜんはんしゃが起おこる。

7見分みわけ方かた

角度かくどは境界面きょうかいめんからではなく法線ほうせんから測はかる。
反射はんしゃは対称たいしょう、屈折くっせつは速はやさの変化へんかで曲まがる。
密みつから疎そへ出でるときだけ全反射ぜんはんしゃが起おこりうる。

8最終形さいしゅうけい

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] θ_{i} = θ_{r}

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] \sin θ_{c} = \frac{n_{2}}{n_{1}} (n_{1} > n_{2})

9一言ひとこと

反射はんしゃは同おなじ速はやさで戻もどるから対称たいしょうになり、屈折くっせつは速はやさが変かわるから曲まがる。