スネルの法則ほうそくの基本きほん

date2026-07-14document_iddoc_b3126d60e81f0c5b651978cd77911f3fdescriptionスネルの法則を屈折率と光速の関係から定義し、ホイヘンスの原理による導出と全反射の判定を証明する講義である。prerequisites反射と屈折 / ホイヘンスの原理の基本 / 三角関数type講義statusactive

physicsopticssnell-lawlecture

1導入どうにゅう

この講義こうぎでは、スネルの法則ほうそくを「屈折くっせつの公式こうしき」としてではなく、媒質ばいしつが変かわると光ひかりの速はやさが変かわることの結果けっかとして解説かいせつする。

光ひかりは速はやさが遅おそい媒質ばいしつへ入はいると法線側ほうせんがわへ曲まがる。この曲まがり方かたを定量化ていりょうかしたものがスネルの法則ほうそくである。

2用語ようごと定義ていぎ

屈折率くっせつりつrefractive index $n$ とは、真空中しんくうちゅうの光速こうそく $c$ と媒質中ばいしつちゅうの光速こうそく $v$ の比ひであり、

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] n = \frac{c}{v}

で定義ていぎする。

3法則ほうそく：スネルの法則ほうそく

媒質ばいしつ 1 から媒質ばいしつ 2 へ光ひかりが進すすむとき、

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] n_{1} \sin θ_{1} = n_{2} \sin θ_{2}

である。

4法則ほうそく 1：スネルの法則ほうそくは速はやさの比ひから出でる

媒質ばいしつ 1 での速はやさを $v_{1}$ 、媒質ばいしつ 2 での速はやさを $v_{2}$ とすると、

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] \frac{\sin θ_{1}}{v_{1}} = \frac{\sin θ_{2}}{v_{2}}

である。これは $n = c / v$ によりスネルの法則ほうそくと同値どうちである。

4.1証明しょうめい

境界きょうかいへ斜ななめに入射にゅうしゃする平面波へいめんはを考かんがえる。波面はめんの端はし $A$ が先さきに境界きょうかいへ届とどき、別べつの端はし $B$ が時間じかん $Δ t$ 後あとに境界きょうかいへ届とどくとする。

この時間じかんに、媒質ばいしつ 1 では波面はめんが

v_{1} Δ t

だけ進すすむ。媒質ばいしつ 2 では、 $A$ から出でた二次波にじはが

v_{2} Δ t

だけ広ひろがる。

幾何きかから、境界上きょうかいじょうの同おなじ長ながさ $L$ に対たいして

\sin θ_{1} = \frac{v_{1} Δ t}{L}, \sin θ_{2} = \frac{v_{2} Δ t}{L}

である。したがって

\frac{\sin θ_{1}}{v_{1}} = \frac{Δ t}{L} = \frac{\sin θ_{2}}{v_{2}}

を得える。

$n = c / v$ だから $v = c / n$ である。これを代入だいにゅうすると

\frac{\sin θ_{1}}{c / n_{1}} = \frac{\sin θ_{2}}{c / n_{2}}

すなわち

n_{1} \sin θ_{1} = n_{2} \sin θ_{2}

である。

5整理せいり 2：屈折率くっせつりつが大おおきい媒質ばいしつでは光ひかりは遅おそい

$n_{2} > n_{1}$ なら $v_{2} < v_{1}$ である。

5.1証明しょうめい

屈折率くっせつりつの定義ていぎは

n = \frac{c}{v}

である。したがって

v = \frac{c}{n}

である。 $c > 0$ なので、 $n$ が大おおきいほど $v$ は小ちいさい。よって $n_{2} > n_{1}$ なら

v_{2} = \frac{c}{n_{2}} < \frac{c}{n_{1}} = v_{1}

である。

6整理せいり 3：平行平板へいこうへいばんを通とおる光ひかりは出射後しゅっしゃごに元もとの向むきと平行へいこうになる

平行へいこうな 2 つの面めんをもつ透明板とうめいばんを通とおる光ひかりは、入射前にゅうしゃまえと出射後しゅっしゃごで平行へいこうになる。

6.1証明しょうめい

空気くうきの屈折率くっせつりつを $n_{1}$ 、板いたの屈折率くっせつりつを $n_{2}$ とする。第だい 1 面めんで

n_{1} \sin θ_{1} = n_{2} \sin θ_{2}

である。第だい 2 面めんは第だい 1 面めんと平行へいこうなので、板内ばんないでの入射角にゅうしゃかくは同おなじ $θ_{2}$ である。第だい 2 面めんで

n_{2} \sin θ_{2} = n_{1} \sin θ_{3}

である。2 つの式しきより

n_{1} \sin θ_{1} = n_{1} \sin θ_{3}

である。 $n_{1} > 0$ だから

\sin θ_{1} = \sin θ_{3}

である。 $0^{\circ}$ から $90^{\circ}$ の範囲はんいでは

θ_{1} = θ_{3}

である。したがって出射光しゅっしゃこうは入射光にゅうしゃこうと平行へいこうである。

7見分みわけ方かた

屈折くっせつで角度かくどを求もとめるなら $n_{1} \sin θ_{1} = n_{2} \sin θ_{2}$ 。
$n$ が大おおきいほど光ひかりは遅おそい。
法線側ほうせんがわへ曲まがるかどうかは、入はいる先さきの $n$ を見みる。

8最終形さいしゅうけい

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] n = \frac{c}{v}

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] n_{1} \sin θ_{1} = n_{2} \sin θ_{2}

9一言ひとこと

スネルの法則ほうそくは、光ひかりの速はやさが媒質ばいしつで変かわることを角度かくどの式しきにしたものである。