熱機関ねつきかんとカルノーサイクルの基本きほん

date2026-07-14document_iddoc_1e394a8c74cac1234f811cfae4b1bfaddescription熱機関を循環過程として定義し、効率、カルノー効率、可逆機関が上限を与える理由を証明付きで整理する講義である。prerequisites熱力学第一法則 / 熱力学第二法則の入口type講義statusactive

physicsthermodynamicsheat-enginecarnotlecture

1導入どうにゅう

この講義こうぎでは、熱機関ねつきかんを「熱ねつを仕事しごとへ変かえる装置そうち」としてだけでなく、高温熱源こうおんねつげん、低温熱源ていおんねつげん、循環過程じゅんかんかていの組くみ合あわせとして解説かいせつする。

熱機関ねつきかんは、高温熱源こうおんねつげんから熱ねつを受うけ取とり、その一部いちぶを仕事しごととして取とり出だし、残のこりを低温熱源ていおんねつげんへ捨すてる。全部ぜんぶを仕事しごとにできないことが第二法則だいにほうそくの内容ないようである。

2用語ようごと定義ていぎ

熱機関ねつきかんheat engineとは、周期的しゅうきてきに元もとの状態じょうたいへ戻もどりながら、熱ねつの一部いちぶを仕事しごとへ変換へんかんする装置そうちである。

熱効率ねつこうりつthermal efficiency $η$ とは、高温熱源こうおんねつげんから受うけ取とった熱量ねつりょう $Q_{h}$ のうち、仕事しごと $W$ として取とり出だせた割合わりあいである。

η = \frac{W}{Q_{h}}

カルノーサイクルCarnot cycleとは、2 つの等温過程とうおんかていと 2 つの断熱過程だんねつかていからなる可逆かぎゃくな熱機関ねつきかんの循環過程じゅんかんかていである。

3方針ほうしん

熱機関ねつきかんでは、熱ねつの出入でいりを符号ふごうではなく大おおきさで整理せいりする。

高温熱源こうおんねつげんから受うけ取とる熱量ねつりょうを $Q_{h} > 0$ とする。
低温熱源ていおんねつげんへ捨すてる熱量ねつりょうを $Q_{c} > 0$ とする。
1 周期しゅうきでは $Δ U = 0$ なので、 $W = Q_{h} - Q_{c}$ と書かく。
可逆かぎゃくなら、熱源ねつげんのエントロピー変化へんかから $Q_{c} / Q_{h} = T_{c} / T_{h}$ を使つかう。

4関係式かんけいしき 1：熱機関ねつきかんの効率こうりつ

熱機関ねつきかんが 1 周期しゅうきで高温熱源こうおんねつげんから $Q_{h}$ を受うけ取とり、低温熱源ていおんねつげんへ $Q_{c}$ を捨すてるなら、取とり出だす仕事しごとは

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] W = Q_{h} - Q_{c}

であり、熱効率ねつこうりつは

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] η = 1 - \frac{Q_{c}}{Q_{h}}

である。

4.1証明しょうめい

熱機関ねつきかんは 1 周期しゅうきで元もとの状態じょうたいへ戻もどるので、内部ないぶエネルギーの変化へんかは

Δ U = 0

である。系けいへ入はいる正味しょうみの熱ねつは、受うけ取とる $Q_{h}$ から捨すてる $Q_{c}$ を引ひいた

Q = Q_{h} - Q_{c}

である。第一法則だいいちほうそく $Δ U = Q - W$ より

0 = (Q_{h} - Q_{c}) - W

だから

W = Q_{h} - Q_{c}

である。効率こうりつの定義ていぎ $η = W / Q_{h}$ に代入だいにゅうして

η = \frac{Q_{h} - Q_{c}}{Q_{h}} = 1 - \frac{Q_{c}}{Q_{h}}

を得える。

5関係式かんけいしき 2：カルノー効率こうりつ

高温熱源こうおんねつげんの温度おんどを $T_{h}$ 、低温熱源ていおんねつげんの温度おんどを $T_{c}$ とする。可逆かぎゃくなカルノー熱機関ねつきかんの効率こうりつは

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] η_{C} = 1 - \frac{T_{c}}{T_{h}}

である。

5.1証明しょうめい

カルノーサイクルは可逆かぎゃくなので、熱機関ねつきかんと 2 つの熱源ねつげんを合あわせた全体ぜんたいのエントロピー変化へんかは 0 である。

高温熱源こうおんねつげんは熱量ねつりょう $Q_{h}$ を失うしなうので、

Δ S_{h} = - \frac{Q_{h}}{T_{h}}

である。低温熱源ていおんねつげんは熱量ねつりょう $Q_{c}$ を受うけ取とるので、

Δ S_{c} = \frac{Q_{c}}{T_{c}}

である。可逆かぎゃくより

Δ S_{h} + Δ S_{c} = 0

なので、

- \frac{Q_{h}}{T_{h}} + \frac{Q_{c}}{T_{c}} = 0

である。したがって

\frac{Q_{c}}{Q_{h}} = \frac{T_{c}}{T_{h}}

である。関係式かんけいしき 1 の $η = 1 - Q_{c} / Q_{h}$ に代入だいにゅうして

η_{C} = 1 - \frac{T_{c}}{T_{h}}

を得える。

6帰結きけつ 3：カルノー効率こうりつは上限じょうげんである

同おなじ $T_{h}$ と $T_{c}$ の間あいだで動うごく熱機関ねつきかんの効率こうりつは、カルノー効率こうりつを超こえない。

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] η [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"le\")")] η_{C}

6.1証明しょうめい

背理法はいりほうで示しめす。カルノー熱機関ねつきかんより高たかい効率こうりつをもつ熱機関ねつきかん $E$ があると仮定かていする。

同おなじ 2 つの熱源ねつげんの間あいだで、カルノー熱機関ねつきかんを逆向ぎゃくむきに動うごかすと、これは冷凍機れいとうきとして働はたらく。 $E$ が生うむ仕事しごとで、この逆向ぎゃくむきカルノー機関きかんを動うごかすように組くみ合あわせる。

$E$ の効率こうりつがカルノー効率こうりつより高たかいなら、同おなじ仕事しごとを出だすために $E$ が高温熱源こうおんねつげんから受うけ取とる熱量ねつりょうは、逆向ぎゃくむきカルノー機関きかんが高温熱源こうおんねつげんへ戻もどす熱量ねつりょうより少すくない。

すると、外部がいぶから正味しょうみの仕事しごとを受うけ取とらずに、低温熱源ていおんねつげんから高温熱源こうおんねつげんへ熱ねつを移うつす装置そうちができる。これは第二法則だいにほうそくに反はんする。したがって、そのような熱機関ねつきかん $E$ は存在そんざいせず、

η [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"le\")")] η_{C}

である。

7単位たんいの確認かくにん

効率こうりつは

η = \frac{W}{Q_{h}}

であり、分子ぶんしと分母ぶんぼがどちらも [J] なので無次元むじげんである。

8具体例ぐたいれい

$T_{h} = 600 [K; Θ]$ 、 $T_{c} = 300 [K; Θ]$ の間あいだで動うごくカルノー熱機関ねつきかんでは、

η_{C} = 1 - \frac{300}{600} = \frac{1}{2}

である。受うけ取とった熱ねつの最大さいだい 50% までしか仕事しごとにできない。

9見分みわけ方かた

1 周期しゅうきなら $Δ U = 0$ 。
効率こうりつなら $η = W / Q_{h}$ 。
可逆かぎゃくな上限じょうげんなら $η_{C} = 1 - T_{c} / T_{h}$ 。
全部ぜんぶの熱ねつを仕事しごとにできるかを問とうなら第二法則だいにほうそくで判断はんだんする。

10どこまで成立せいりつするか

カルノー効率こうりつは、2 つの熱源ねつげんの間あいだで動うごく可逆熱機関かぎゃくねつきかんの上限じょうげんである。実際じっさいの熱機関ねつきかんでは、摩擦まさつ、有限時間ゆうげんじかんでの熱移動ねついどう、排熱はいねつなどにより不可逆性ふかぎゃくせいがあるため、効率こうりつはこの上限じょうげんより小ちいさい。

11最終形さいしゅうけい

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] W = Q_{h} - Q_{c}

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] η = 1 - \frac{Q_{c}}{Q_{h}}

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] η_{C} = 1 - \frac{T_{c}}{T_{h}}

12一言ひとこと

熱機関ねつきかんは、熱ねつの一部いちぶを仕事しごとにし、残のこりを低温側ていおんがわへ捨すてる。捨すてる熱ねつを 0 にはできない。