代数的構造だいすうてきこうぞうalgebraic structureと二項演算にこうえんざんbinary operation 基本きほん演習えんしゅう

algebraic structures代数的構造だいすうてきこうぞう and binary operations二項演算にこうえんざん: basic exercises

1対応たいおうする講義こうぎ

1Corresponding lectures

2関連かんれん演習えんしゅう

2Related exercises

3問題もんだい1：二項演算にこうえんざんbinary operationか判定はんていする

$$\mathbb{N}$$\mathbb N 上うえの引ひき算ざんsubtractionは二項演算にこうえんざんbinary operationか。理由りゆうも述のべよ。

3Problem 1: decide whether an operation is binary

Is subtraction[引き算] on $$\mathbb{N}$$\mathbb N a binary operation二項演算にこうえんざん? Give a reason.

3.1解答かいとう

二項演算にこうえんざんbinary operationではない。たとえば

であり、$$-3\notin \mathbb{N}$$-3\notin\mathbb N だからである。

3.1Answer

It is not a binary operation二項演算にこうえんざん. For example,

and $$-3\notin \mathbb{N}$$-3\notin\mathbb N.

3.2解説かいせつ

二項演算にこうえんざんbinary operation $$\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ast")")]}:S\times S\to S$$\ast:S\times S\to S では、任意にんいの二ふたつの元げんelementから得えられる結果けっかが同おなじ集合しゅうごうset $$S$$S に戻もどる必要ひつようがある。ここでは閉包性へいほうせいclosureが壊こわれている。

3.2Explanation

For a binary operation二項演算にこうえんざん $$\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ast")")]}:S\times S\to S$$\ast:S\times S\to S, the result obtained from any two elements must return to the same set $$S$$S. Here closure閉包性へいほうせい fails.

4問題もんだい2：単位元たんいげんidentity elementを求もとめる

$$\mathbb{Z}$$\mathbb Z 上うえの演算えんざんoperation $$a\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ast")")]}b=a+b-3$$a\ast b=a+b-3 を考かんがえる。単位元たんいげんidentity elementを求もとめよ。

4Problem 2: find an identity element単位元たんいげん

On $$\mathbb{Z}$$\mathbb Z, consider the operation $$a\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ast")")]}b=a+b-3$$a\ast b=a+b-3. Find the identity element単位元たんいげん.

4.1解答かいとう

単位元たんいげんidentity elementを $$e$$e とすると、任意にんいの $$a$$a について

である。したがって

より $$e=3$$e=3 である。同どう様ように $$e\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ast")")]}a=a$$e\ast a=a も成なり立たつので、単位元たんいげんidentity elementは 3 である。

4.1Answer

Let the identity element単位元たんいげん be $$e$$e. For every $$a$$a, we need

Therefore

so $$e=3$$e=3. Similarly, $$e\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ast")")]}a=a$$e\ast a=a also holds, so the identity element単位元たんいげん is 3.

4.2解説かいせつ

単位元たんいげんidentity elementは「何なにもしない元げんelement」である。通常つうじょうの足たし算ざんadditionの 0 とは限かぎらない。演算えんざんoperationが変かわると単位元たんいげんidentity elementも変かわる。

4.2Explanation

An identity element単位元たんいげん is an element that does nothing with respect to the operation. It is not necessarily 0 from ordinary addition. When the operation changes, the identity element単位元たんいげん can also change.

5問題もんだい3：逆元ぎゃくげんinverse elementを求もとめる

問題もんだい2の演算えんざんoperationで、元げんelement $$a$$a の逆元ぎゃくげんinverse elementを求もとめよ。

5Problem 3: find an inverse

For the operation in Problem 2, find the inverse element逆元ぎゃくげん of an element $$a$$a.

5.1解答かいとう

逆元ぎゃくげんinverse elementを $$b$$b とすると、単位元たんいげんidentity elementが 3 なので

である。つまり

だから

である。

5.1Answer

Let the inverse be $$b$$b. Since the identity element単位元たんいげん is 3, we need

That is,

so

5.2解説かいせつ

ここでは文字もじ式しきの引ひき算ざんsubtractionだけを使つかっており、文字もじで割わっていない。したがって零れい除算じょざんの確認かくにんは不要ふようである。

5.2Explanation

Only subtraction of symbolic expressions is used here; we are not dividing by a symbol. Therefore no check for division by zero is needed.